К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников, страница 9

Таким образом,1W ( s) =.s+2Для этой передаточной функции модель в пространстве состояний выглядит так:A = −2, B = 1, C = 1, D = 0 .(35)Вместо исходной модели второго порядка (два уравнения, две переменные состояния) мы получили модель первого порядка. Что же произошло? Оказалось, что при нулевых начальных условиях состояние объекта определяется одной переменной, а зависимость между входом и выходом системы – одним уравнением первого порядка. Поэтому произошло сокращение числителя и знаменателя передаточной функции.Если нас интересуют только связь входа и выхода (а не внутренние сигналы в объекте) иначальные условия нулевые, можно использовать модель первого порядка.

Однако при ненулевых начальных условиях нужно использовать исходную модель в пространстве состояний, потому что передаточная функция дает неполную информацию. Это особенно важно при анализеустойчивости системы (см. разд. 6.4).30© К.Ю. Поляков, 20083.8. Частотные характеристикиЕще один популярный эталонный сигнал – гармонический (синус, косинус), например:(36)x(t ) = sin ωt ,где ω – угловая частота (в радианах в секунду). Можно показать, что при таком входе на выходе линейной системы в установившемся режиме (при больших t ) будет синус той же частоты6,но с другой амплитудой A и сдвигом фазы φ :xy (t ) = A(ω ) ⋅ sin(ωt + φ (ω )) .Для каждой частоты входного сигнала будет своя ампли- 1туда и свой сдвиг фазы.

Чтобы определить по графикуфазовый сдвиг φ , нужно найти расстояние ∆t по осивремени между соответствующими точками синусоидt(например, точками пересечения с осью t или вершинами). Если ∆t умножить на частоту ω , получаем сдвигyφфазы φ (в радианах).∆t =ωНа рисунке показан случай φ > 0 (опережение поAфазе), когда выход сдвинут «влево» по оси времени относительно входа, то есть, «идет раньше» входного.Зная передаточную функцию системы W (s ) , можноtвычислить амплитуду и сдвиг фазы по формуламImW ( jω ).A(ω ) = W ( jω ) , φ (ω ) = arg W ( jω ) = arctgRe W ( jω )Запись W ( jω ) означает, что в передаточную функцию W (s ) подставляется чисто мнимое числоs = jω , где j = − 1 . Для каждой частоты ω значение W ( jω ) = P + jQ – это некоторое комQплексное число, имеющее амплитуду W ( jω ) = P 2 + Q 2 и фазу arg W ( jω ) = arctg .PФункция W ( jω ) называется частотной характеристикой звена, поскольку она характеризует выход системы при гармонических сигналах разной частоты.

Зависимости P(ω ) и Q(ω )(вещественная и мнимая части W ( jω ) ) – это вещественная и мнимая частотные характеристики.Функции A(ω ) и φ (ω ) (они для каждой частоты принимают вещественные значения) называются соответственно амплитудной и фазовой частотными характеристиками (АЧХ иФЧХ). Амплитудная частотная характеристика – это коэффициент усиления гармоническогосигнала. Если на какой-то частоте ω значение A(ω ) > 1 , входной сигнал усиливается, еслиA(ω ) < 1 , то вход данной частоты ослабляется.По форме АЧХ различают несколько основных типов звеньев:1) фильтр низких частот – пропускает низкочастотные сигналы примерно с одинаковымкоэффициентом усиления, блокирует высокочастотные шумы и помехи;2) фильтр высоких частот – пропускает высокочастотные сигналы, блокирует сигналынизкой частоты;3) полосовой фильтр – пропускает только сигналы с частотами в полосе от ω1 до ω2 ;4) полосовой режекторный фильтр – блокирует только сигналы с частотами в полосе отω1 до ω2 , остальные пропускает.На рисунке показаны амплитудные частотные характеристики идеальных фильтров этих четырех типов:6Здесь, конечно, предполагается, что при синусоидальном входном сигнале система не «идет вразнос», то есть, еевыходной сигнал не растет неограниченно (система является устойчивой).31© К.Ю.

Поляков, 2008A(ω )0A(ω )A(ω )фильтр низкихчастотω0ωA(ω )ω10фильтр высокихчастотω2 ωполосовойфильтр0ω1ω2 ωполосовойрежекторный фильтрВ радиотехнике используется понятие полосы пропускания – это ширина полосы частот, в которой значение АЧХ больше, чем 1 / 2 от ее максимального значения.Частотные характеристики во многих случаях можно снять экспериментально. Если объект устойчивый, на его вход подается гармонический сигнал (36) и записывается сигнал y (t ) навыходе. Определив амплитуду и сдвиг фазы для разных частот, можно построить по точкам амплитудную и фазовую частотные характеристики.yxустойчивыйобъектЕсли объект неустойчив, то при подаче на вход синуса амплитуда колебаний на выходебудет неограниченно расти.

Однако частотную характеристику все равно можно определитьэкспериментально. Для этого нужно сначала найти какой-нибудь регулятор, который сделаетзамкнутую систему устойчивой. Затем на вход r (t ) подают синусоидальный сигнал и сравнивают сигналы x(t ) и y (t ) на входе и выходе интересующего нас объекта, определяя для каждойчастоты ω «коэффициент усиления» A(ω ) (отношение амплитуд сигналов x(t ) и y (t ) ) и сдвигфазы φ (ω ) .ryxрегуляторнеустойчивыйобъект3.9. Логарифмические частотные характеристикиЧастотные характеристики достаточно сложно строить вручную. В 60-е годы, когда развивалась классическая теория управления, не было мощных компьютеров, поэтому наибольшую популярность приобрели приближенные методы, с помощью которых можно было проектировать регуляторы с помощью ручных вычислений и построений.

Один из таких подходовоснова на использовании логарифмических частотных характеристик.Вместо A(ω ) было предложено использовать логарифмическую амплитудную частотныххарактеристику (ЛАЧХ): график, на котором по оси абсцисс откладывается десятичный логарифм частоты ( lg ω ), а по оси ординат – величина Lm (ω ) = 20 lg A(ω ) , измеряемая в децибелах(дБ). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) по осиабсцисс также откладывается логарифм частоты lg ω .Единицей отсчета на логарифмической оси частот является декада – диапазон, на которомчастота увеличивается в 10 раз (а значение ее логарифма увеличивается на единицу). ВместеЛАЧХ и ЛФЧХ называются логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой(ЛАФЧХ) или диаграммой Боде.Логарифмические характеристики обладают двумя ценными свойствами:32© К.Ю.

Поляков, 20081) ЛАЧХ и ЛФЧХ для произведения W1 ( s ) W2 ( s ) вычисляются как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХотдельных звеньев:20 lg A(ω ) = 20 lg A1 (ω ) + 20 lg A2 (ω ) ;(37)φ (ω ) = φ11 (ω ) + φ2 (ω ) ;(38)2) в области высоких и низких частот ЛАЧХ асимптотически приближаются к прямым,наклон которых составляет ± 20 дБ/дек (децибел на декаду), ± 40 дБ/дек и т.д.В классической теории управления хорошо разработаны методы анализа и синтеза системна основе асимптотических ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и легко строятся вручную.

C появлением компьютерных средств расчета практическая ценность ЛАФЧХнесколько снизилась, однако они по сей день остаются простейшим инструментом прикидочных расчетов для инженера.Lm(ω)0-20-40 -11010010110ω0101φ(ω)0-45-90 -110На рисунке показаны точная (сплошная синяя линия) и асимптотическая (штриховая краснаялиния) ЛАФЧХ для звена первого порядка с передаточной функцией1при T = 1 с.W ( s) =Ts + 1Первая асимптота, определяющая поведение ЛАЧХ на низких частотах, имеет нулевой наклон, потому что звено относится к классу позиционных звеньев, имеющих постоянный ненулевой статический коэффициент усиления, то естьW (0) = 1 ≠ 0 .Если W (0) = 0 , передаточная функция содержит множитель s k ( k > 0 ), который соответствует производной порядка k .

В этом случае наклон ЛАЧХ на низких частотах равенk ⋅ 20 дБ/дек.Если W (0) = ∞ , звено содержит один или несколько интеграторов, то есть в знаменателеесть сомножитель s k . Тогда наклон ЛАЧХ на низких частотах равен − k ⋅ 20 дБ/дек.Наклон ЛАЧХ на высоких частотах определяется разностью степеней числителя и знаменателя передаточной функции. Если числитель имеет степень m , а знаменатель – степень n ,то наклон последней асимптоты равен 20 ⋅ (m − n) дБ/дек. В нашем примере m − n = 0 − 1 = −1 .Поэтому вторая асимптота, определяющая свойства звена на высоких частотах, имеет наклон− 20 дБ/дек, то есть, за одну декаду значение уменьшается на 20 дБ (проверьте по графику!).33© К.Ю. Поляков, 20084.

Типовые динамические звеньяОбычно система управления состоит из отдельных блоков, каждый из которых описывается уравнениями низкого порядка (чаще всего – первого или второго). Для понимания работысистемы в целом желательно хорошо представлять, как ведут себя ее отдельные элементы.Кроме того, при построении ЛАФЧХ сложной системы передаточную функцию разбивают напростейшие сомножителиW ( s ) = W1 ( s ) ⋅ W2 ( s )... ⋅ WN ( s )и далее, воспользовавшись свойствами ЛАФЧХ, строят характеристики для всей системы каксуммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев.4.1.

УсилительЗвенья, имеющие конечный ненулевой коэффициент усиления постоянного сигнала, тоесть W (0) = k ≠ 0 , называются позиционными. Это значит, что числитель и знаменатель передаточной функции имеют ненулевые свободные члены (постоянные слагаемые).Простейшее позиционное звено – идеальный (безынерционный) усилитель. Его передаточная функция W ( s ) = k . Строго говоря, он не является динамическим звеном, поскольку изменение выхода происходит мгновенно, сразу вслед за изменением входа. При действии навход единичного ступенчатого сигнала 1(t) (или дельта-функции δ (t ) ) на выходе будет такойже сигнал, усиленный в k раз, поэтому переходная и импульсная характеристики звена равныh(t ) = k (t > 0)иw(t ) = k ⋅ δ (t ) .Если на вход усилителя действует синусоидальный сигнал, на выходе он усиливается в kраз без изменения фазы, поэтому амплитудная и фазовая частотная характеристики не зависятот частоты входного сигнала:A(ω ) = k ,φ (ω ) = 0 .4.2.