К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников, страница 11

Поскольку передаточная функцияo39© К.Ю. Поляков, 2008Lm(ω)имеет равные степени числителя и знаменателя, на высоких частотах (выше сопрягающей частоты ωc = 1 / T ) ЛАЧХ имеет нулевой наклон, поэтому неограниченного роста коэффициентаусиления не происходит. Одновременно теряется точность дифференцирования, так как фазовая характеристика изменяется от 90° до нуля.20 дБ/декω = 1/ Tφ(ω)904504.6. ЗапаздываниеПредставим себе трубу, через которую вентилятор прокачивает воздух. В начале трубыустановлен нагреватель, а температура воздуха измеряется датчиком в точке А.заданнаятемпературадатчиктемпературы АнагревательпотоквоздухаLОчевидно, что при изменении температуры воздуха дат- xчик обнаружит это не сразу, а через время τ = L / v , где L– длина трубы (в метрах), а v – скорость потока воздуха(в м/с).

В этом случае говорят, что в системе есть транспортное запаздывание на величину τ (в секундах).Другой распространенный пример – вычислительное запаздывание в компьютере. Так называется время,которое необходимо для расчета нового управляющегоyсигнала после получения всех исходных данных.Запаздывание в системе просто сдвигает сигналвправо на временной оси, не меняя его формы. Математически это можно записать в видеy (t ) = x(t − τ ) .Изображение сигнала на выходе звена запаздывания вычисляется по теореме о смещении аргумента для преобразования Лапласа:∞∞00tτtY ( s ) = L{ y (t )} = ∫ x(t − τ ) e −st dt = e −sτ ∫ x(t ) e −st dt =e −sτ X ( s ) ,поэтому передаточная функция звена чистого запаздывания равна Wτ ( s ) = e − sτ .40© К.Ю.

Поляков, 2008Очевидно, что при гармоническом входном сигнале запаздывание не изменяет амплитуду,но вносит дополнительный отрицательный сдвиг фазы. Частотная характеристика этого звенаимеет вид Wτ ( jω ) = e − jωτ . По общим формулам находим:A( jω ) = Wτ ( jω ) = 1 , φ ( jω ) = arg Wτ ( jω ) = −ωτ .Таким образом, фазовая частотная характеристика звена запаздывания – линейная функция частоты ω , чем больше частота, тем больше фазовый сдвиг.4.7. «Обратные» звенья1назовем «обратным» звеном для звена сW (s)передаточной функцией W ( s) (или инверсией для этого звена).

Предположим, что мы знаемЛАФЧХ для исходного звена и хотим найти ЛАФЧХ «обратного» звена без вычислений. Этазадача имеет простое решение.Для исходного звена W ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) , где P(ω ) и Q(ω ) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики. Амплитудная и фазовая характеристики имеют видQ(ω )A(ω ) = P 2 (ω ) + Q 2 (ω ) , φ (ω ) = arctg.P(ω )Для «обратного» звена получим11P(ω ) − jQ(ω )~W ( jω ) === 2,W ( jω ) P (ω ) + jQ (ω ) P (ω ) + Q 2 (ω )что после простых преобразований дает~~Q(ω )11A(ω ) ==, φ (ω ) = − arctg= −φ (ω ) .22P(ω )P (ω ) + Q (ω ) A(ω )~Звено с передаточной функцией W ( s ) =Таким образом, для логарифмических характеристик получаем~~120 lg A(ω ) = 20 lg= −20 lg A(ω ) , φ (ω ) = −φ (ω ) .A(ω )Это значит, что при переходе к «обратной» передаточной функции ЛАЧХ и ЛФЧХ просто меняют знак.Рассмотрим, например, звено с передаточной функцией W ( s ) = Ts + 1 .

Оно является «обратным» для апериодического звена, поэтому можно сразу нарисовать его ЛАФЧХ так, как нарисунке.Lm(ω)20 дБ/дек0ωc =φ(ω)901T450Для звена чистого запаздывания «обратным» будет звено с передаточной функцией~Wτ ( s ) = e sτ , его амплитудная частотная характеристика равна 1 на всех частотах, а фазовая вычисляется как φ (ω ) = ωτ . Положительный сдвиг фазы говорит о том, что сигнал на выходе по41© К.Ю. Поляков, 2008является раньше, чем на входе.

Такое звено называется звеном упреждения или предсказания.Понятно, что в реальных системах нельзя «заглянуть в будущее», поэтому звено упрежденияфизически нереализуемо. Тем не менее, модели некоторых практических задач могут включатьзвенья упреждения. Например, известны «автопилоты» для автомобилей, которые используютданные о рельефе дороги на некотором расстоянии впереди машины (будущие значения!), полученные с помощью лазерного измерителя.4.8.

ЛАФЧХ сложных звеньевLm(ω)Для построения ЛАФЧХ звеньев со сложными передаточными функциями их числитель изнаменатель разбивают на сомножители первого и второго порядков. Фактически сложное звено при этом представляется как последовательное соединение простых звеньев, для которыхизвестны все характеристики. При этом асимптотическую ЛАЧХ можно легко построить дажевручную.Рассмотрим звено второго порядка с передаточной функциейa1s + a0k (T2 s − 1)=W ( s) =.2b2 s + b1s + b0 (T1s + 1)(T3 s + 1)Здесь Ti (i = 1,...3) – положительные постоянные времени. Для определенности примемT1 > T2 > T3 .Представим передаточную функцию в виде произведения11W (s) = k ⋅.(43)⋅ (T2 s − 1) ⋅T1s + 1T3s + 1Таким образом, это звено представляет собой последовательное соединение усилителя, двухапериодических звеньев и усилителя с дифференцированием (его передаточная функцияT2 s − 1 ).Как следует из свойств ЛАФЧХ (37)–(38), для построения ЛАЧХ системы с передостадаточной функцией W ( s) (43)20 lg k− 20 дБ/декточно сложить ЛАЧХ всех ее сомножителей.− 20 дБ/декНа низких частотах, до первой сопря1гающей частоты ωc1 = , «работает» толькоT1усилитель, и асимптотическая ЛАЧХ идетна постоянном уровне 20 lg k .

Начиная с1частоты ωc1 =первое апериодическое111T1ωc1 =ωc 2 =ωc 3 =T1T2T3звено дает наклон ЛАЧХ − 20 дБ/дек, а с11частоты ωc 2 =звено T2 s − 1 восстанавливает нулевой наклон. На частотах выше ωc 3 =T2T3включается второе (быстродействующее) апериодическое звено, которое определяет наклон− 20 дБ/дек оставшейся высокочастотной части ЛАЧХ.Для построения фазовой характеристики желательно использовать компьютерные программы. Однако принцип остается тот же, что и для ЛАЧХ: полная фазовая характеристикаравна сумме фазовых характеристик отдельных звеньев, входящих в произведение.42© К.Ю. Поляков, 20085. Структурные схемы5.1. Условные обозначенияСистему управления можно разбить на блоки, имеющие вход и выход (объект, регулятор,привод, измерительная система).

Для того, чтобы показать взаимосвязи этих блоков, используют структурные схемы. На них каждый элемент изображается в виде прямоугольника, внутрикоторого записывается его передаточная функция. Вход и выход блока показывают соответственно «входящей» и «выходящей» стрелками.x(t )W ( p)y (t )X (s)W ( s)Y ( s)Строго говоря, есть две формы записи:• операторная запись, когда передаточная функция записывается как функция операторадифференцирования p , входы и выходы блоков – функции времени;• запись в изображениях, когда передаточная функция записывается как функция комплексной переменной s, а для обозначения входов и выходов используют их изображения по Лапласу.Однако суть дела от этого не меняется.

Поэтому дальше при обозначении сигналов мы, несколько жертвуя строгостью ради простоты записи, будем обозначать сигналы строчными буквами, не указывая независимую переменную (t или s), а в записи передаточных функций будемиспользовать переменную s, как принято в литературе.Для суммирующих элементов используют специальное обозначение – круг, разбитый насектора.

Если сектор залит черным цветом, поступающий в него сигнал вычитается, а не складывается с другими. Разветвление сигнала обозначается точкой, как и радиотехнике.x2x1x1 + x2 + x3x1x1 − x2xxxx3x2На следующем рисунке показана типичная схема системы управления кораблем по курсу. Здесьвход x – заданный курс, выход y – фактический курс.

Сигналы e , u и δ обозначают соответственно ошибку регулирования, сигнал управления и управляющее воздействие привода наобъект (угол поворота руля). Сигнал g – это возмущение (влияние ветра и морского волнения),а m – шум измерений.приводgрегуляторобъектδx +yueR0(s)C(s)P(s)–H(s)измерительнаясистемаmВ этой системе кроме «большого» контура управления (регулятор – привод – объект) есть ещевнутренний контур привода (звено с передаточной функцией R0 ( s ) охвачено отрицательнойобратной связью).43© К.Ю. Поляков, 20085.2. Правила преобразованияМногие инженерные (классические) методы исследования систем управления основанына использовании передаточных функций.

Для построения передаточной функции системы между заданными входом и выходом нужно преобразовать структурную схему так, чтобы в конечном счете остался один блок с известной передаточной функцией. Для этого используютструктурные преобразования.Легко показать, что передаточные функции параллельного и последовательного соединений равны соответственно сумме и произведению исходных передаточных функций:y1W1(s)yxyxW1(s)+W2(s)W2(s)y2xW1(s)y1W1(s)xyyW1(s)W2(s)Действительно, в изображениях по Лапласу для параллельного соединения получаемY ( s ) = Y1 ( s ) + Y2 ( s ) = W1 ( s ) X ( s ) + W2 ( s ) X ( s ) = [W1 ( s ) + W2 ( s )]X ( s ) ,а для последовательногоY ( s ) = W2 ( s ) Y1 ( s ) = W1 ( s ) W2 ( s ) X ( s ) .Для контура с отрицательной обратной связью имеемeyxyW1(s)W1 ( s )x1 + W1 ( s ) W2 ( s )fW2(s)Для доказательства заметим, что Y ( s ) = W1 ( s ) E ( s ) , а изображение ошибки равноE ( s ) = X ( s ) − F ( s ) = X ( s ) − W2 ( s ) Y ( s ) .ПоэтомуY ( s ) = W1 ( s )[ X ( s ) − W2 ( s )Y ( s )] .Перенося X ( s ) в левую часть, получаемW1 ( s )Y ( s )[1 + W1 ( s ) W2 ( s )] = W1 ( s ) X ( s )X ( s) .⇒ Y (s) =1 + W1 ( s ) W2 ( s )Если обратная связь – положительная (сигналы x и f складываются), в знаменателе будет стоять знак «минус»:W1 ( s )W (s) =.1 − W1 ( s ) W2 ( s )Звено можно переносить через сумматор как вперед, так и назад.

Чтобы при этом передаточные функции не изменились, перед сумматором нужно поставить дополнительное звено:fW ( s)fxyW ( s)xW ( s)yОбратите внимание, что передаточные функции от обоих входов к выходу на двух схемах одинаковые. Для следующей пары это условие тоже выполняется:44© К.Ю. Поляков, 2008ff1/W(s)yxxW ( s)W ( s)yЗвено можно переносить также через точку разветвления, сохраняя все передаточные функции:y1xy1xW ( s)W ( s)y2W ( s)y2Эти две схемы тоже равносильны:y1y1xxW ( s)W ( s)y2y21/W(s)5.3.