К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников, страница 8

Здесь s – это комплексная переменная, которая выбирается так, чтобы интеграл (23) сходился3.Обратное преобразование Лапласа L -1 {F ( s)} позволяет вычислить оригинал f (t ) поизвестному изображению F ( s) :f (t ) = L {F ( s)} =-11σ + j∞F ( s) e2π j σ ∫stds ,(24)− j∞где j = − 1 , а постоянная σ выбирается так, чтобы интеграл сходился4.На практике вместо интеграла (24) чаще всего используют готовые таблицы, по которымможно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот.

Например, изображения по Лапласу для дельта-функции, единичного скачка и функции e − at равны, соответственно11L{δ (t )} = 1 , L{1(t )} = , L{e − at } =.(25)s+as3.6.2. Свойства преобразования ЛапласаПреобразование Лапласа имеет несколько замечательных свойств. Во-первых, используя(23) и (24), легко доказать, что принцип суперпозиции выполняется как для прямого, так и дляобратного преобразования Лапласа:L{ f1 (t ) + f 2 (t )} = L{ f1 (t )} + L{ f 2 (t )} ,(26)-1-1-1L {F1 ( s ) + F2 ( s)} = L {F1 ( s)} + L {F2 ( s)} .(27)Во-вторых, изображение для производной функции f (t ) равно⎧ df (t ) ⎫L⎨⎬ = s ⋅ F ( s) − f (0) ,⎩ dt ⎭где F ( s ) – изображение функции f (t ) , и f (0) – ее значение5 при t = 0 .

Поэтому при нулевыхначальных условиях изображение производной равно изображению самой функции, умноженному на s . Аналогично для построения изображения i -ой производной нужно умножить изображение функции на s i (это также справедливо только при нулевых начальных условиях).Кроме того, с помощью преобразование Лапласа можно сразу найти начальное и конечное значения функции-оригинала (при t = 0 и t → ∞ ), не вычисляя самого оригинала:f (0) = lim s ⋅ F ( s ) ,f (∞) = lim s ⋅ F ( s ) .(28)s →∞3s →0αtПреобразование Лапласа определяется для функций ограниченного роста, таких что f (t ) < Me , где M ипостоянные, иαα–называется показателем роста функции f (t ) .

Для всех s, вещественная часть которых боль-α ( в области Re s > α ) функция f (t )e − st затухает при t → ∞ и интеграл (23) сходится.4Постоянная σ должна быть больше, чем показатель роста α функции-оригинала f (t ) . При этом можно показать, что значение интеграла (24) не зависит от выбора σ .5Если функция имеет разрыв при t = 0 , нужно брать предел слева, то есть ее значение при бесконечно малом отрицательном t .ше27© К.Ю. Поляков, 20083.6.3.

Снова передаточная функцияРассмотрим снова уравнение (18):d 2 y (t )dy (t )dx(t )b2+ b1+ b0 y (t ) = a1+ a0 x(t )(29)2dtdtdtПрименим к левой и правой частям преобразование Лапласа, считая, что все начальные условиянулевые. Получается уравнение в изображениях, связывающее преобразования Лапласа входаX (s ) и выхода Y (s ) :b2 ⋅ s 2Y ( s ) + b1 ⋅ sY ( s ) + b0 ⋅ Y ( s ) = a1 ⋅ sX ( s ) + a0 ⋅ X ( s )Можно вынести за скобки Y ( s) в левой части и X ( s ) в правой части:(b2 s 2 + b1s + b0 ) ⋅ Y ( s ) = (a1s + a0 ) ⋅ X ( s ) .Разделив обе части этого равенства на b2 s 2 + b1s + b0 , получаемa1s + a0a1s + a0Y (s) =⋅ X ( s ) = W ( s ) ⋅ X ( s ) , где W ( s ) =.(30)2b2 s + b1s + b0b2 s 2 + b1s + b0Сравнение (22) и (30) показывает, что W ( s) – это передаточная функция объекта, записанная ввиде функции от комплексной переменной s , а не от оператора дифференцирования p , какв (22).Таким образом, при нулевых начальных условиях изображение выхода линейного объекта вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигнала.Из (30) следует и другой важный вывод: передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу выхода и входа при нулевых начальных условиях.3.6.4.

ПримерРассмотрим пример использования преобразования Лапласа для вычисления выхода системы при известном входном сигнале. Пусть объект управления описывается уравнением первого порядка (16):dy (t )T+ y (t ) = k ⋅ x(t )(31)dtи на его вход поступает единичный ступенчатый сигнал x(t ) = 1(t ) . Требуется найти сигнал выхода y (t ) , который в данном случае представляет собой переходную характеристику.Решим эту задачу с помощью передаточных функций и изображений сигналов по Лапласу. Чтобы найти изображение выхода по формуле (30), нужно знать изображение входного сигнала X (s ) и передаточную функцию звена W (s ) . Изображение входа находим по табличнымданным (см.

(25)), а передаточную функцию – из (31), повторяя приведенные выше рассуждения:1kX ( s) = , W ( s) =.sTs + 1Теперь находим изображение выхода1kkkT.Y (s) = ⋅= −s Ts + 1 s Ts + 1и представляем его в виде суммы элементарных дробей:kkY (s) = −.s s + 1/ TИспользуя принцип суперпозиции для изображений (27), вычисляем оригинал – сигнал выхода:⎧1 ⎫⎧ 1 ⎫y (t ) = k ⋅ L −1 ⎨ ⎬ − k ⋅ L −1 ⎨⎬.⎩s⎭⎩ s + 1/ T ⎭Обратные преобразования Лапласа находим по таблице (25):28© К.Ю. Поляков, 2008⎛ t⎞y (t ) = k − k ⋅ exp⎜ − ⎟ при t > 0 ,⎝ T⎠что совпадает с (17). Таким способом можно вычислять реакцию системы на известный входной сигнал без прямого решения дифференциального уравнения.Применяя формулы (28) для вычисления начального и конечного значений сигнала выхода y (t ) :y (0) = lim s ⋅ Y ( s ) , y (∞) = lim s ⋅ Y ( s ) .s →∞s →01получаемsy (∞) = W (0) .При ступенчатом входном сигнале с изображением X ( s ) =y (0) = limW ( s ) ,s →∞Таким образом, для рассмотренного выше примераk= 0 , y (∞) = W (0) = k .y (0) = lims→∞ Ts + 1Значение W (0) называют статическим коэффициентом усиления звена, поскольку он показывает, во сколько раз усиливается постоянный сигнал.3.7.

Передаточная функция и пространство состоянийИспользуя преобразование Лапласа, можно построить передаточную функцию для моделиобъекта в пространстве состоянийx& (t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ u (t )y (t ) = C ⋅ x(t ) + D ⋅ u (t )Напомним, что здесь u (t ) , y (t ) и x(t ) обозначают соответственно вход, выход и вектор состояния объекта.

Преобразуя левые и правые части каждого уравнения по Лапласу (переходя к изображениям сигналов по Лапласу при нулевых начальных условиях), получаемs ⋅ X ( s) = A ⋅ X ( s) + B ⋅U ( s)(32)Y ( s) = C ⋅ X ( s) + D ⋅U ( s)В первом уравнении перенесем все члены, зависящие от X ( s ) , в левую часть:( s ⋅ I − A) ⋅ X ( s ) = B ⋅ U ( s) ,где I обозначает единичную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы – нули. Умножая обе части последнего равенства на ( s ⋅ I − A) −1 , получимвыражение для X ( s ) :X ( s ) = ( s ⋅ I − A) −1 ⋅ B ⋅ U ( s )которое при подстановке во второе уравнение в (32) даетY ( s ) = C ⋅ ( s ⋅ I − A) −1 ⋅ B ⋅U ( s ) + D ⋅ U ( s ) = C ⋅ ( s ⋅ I − A) −1 ⋅ B + D ⋅ U ( s ) .Чтобы определить передаточную функцию, найдем отношение изображений выхода и входа:Y (s)W ( s) == C ⋅ ( s ⋅ I − A) −1 ⋅ B + D .(33)U (s)Обратный переход, от передаточной функции к модели в пространстве состояний, болеесложен и неоднозначен.

Дело в том, что каждой передаточной функции соответствует бесчисленное множество моделей в пространстве состояний. Одну из них можно найти следующимобразом. Для передаточной функцииa s 2 + a s + a0W (s) = d + 3 2 2 1,s + b2 s + b1 s + b0где d, ai (i = 0,1,2) и bi (i = 0,1,2) – постоянные коэффициенты, модель в пространстве состоянийзадается матрицами[]29© К.Ю. Поляков, 200810 ⎤⎡ 0⎡0 ⎤⎢⎥(34)A=⎢ 001 ⎥, B = ⎢⎢0⎥⎥, C = [a0 a1 a2 ], D = d .⎢⎣− b0 − b1 − b2 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦При увеличении порядка передаточной функции (степени ее знаменателя), эти матрицы расширяются.

В нижней строке матрицы A записываются коэффициенты знаменателя с обратнымзнаком, над главной диагональю – единицы, а остальные элементы – нули. В матрице B толькосамый последний элемент – единица, а остальные – нули. Наконец, матрица С строится из коэффициентов числителя передаточной функции.Отметим, что модель, заданную неправильной передаточной функцией (у которой степеньчислителя больше степени знаменателя) нельзя представить в пространстве состояний.Рассмотрим простой объект, модель которого задана в пространстве состояний матрицами⎡3 − 0,5⎤⎡1⎤A=⎢, B = ⎢ ⎥ , C = [1 0,25] , D = 0 .⎥0 ⎦⎣4⎣0 ⎦Используя формулу (33), получаем−1⎛ ⎡ s 0⎤ ⎡3 − 0,5⎤ ⎞ ⎡1⎤s +1⎟ ⎢ ⎥= 2−⎢.W ( s ) = C ( sI − A) B + D = [1 0,25] ⎜⎜ ⎢⎥⎥⎟0 ⎦ ⎠ ⎣ 0 ⎦ s + 3s + 2⎝ ⎣0 s ⎦ ⎣ 4Теперь выполним обратный переход.

По формулам (34) сразу находим матрицы1⎤~ ⎡0~ ⎡0 ⎤ ~~A=⎢, B = ⎢ ⎥ , C = [1 1] , D = 0 .⎥⎣− 2 − 3⎦⎣1⎦Заметим, что эти матрицы отличаются от исходных, однако если найти передаточную функциюпо формулам (33), мы получим тот же самый результат. Это говорит о том, что одной и той жепередаточной функции могут соответствовать разные модели в пространстве состояний. Еслиизвестна одна такая модель с матрицами A, B, C и D, то все остальные модели могут быть получены по формулам~~~~A = PAP −1 , B = PB , C = CP −1 , D = D ,где P – некоторая обратимая матрица (ее определитель должен быть ненулевым). При такомпреобразовании передаточная функция не меняется (проверьте это!). Фактически мы переходимк другому вектору состояния x' (t ) , который связан с исходным зависимостью x' (t ) = P ⋅ x(t ) .Легко проверить, что в данном случае нужное преобразование выполняет матрица⎡0 0.25⎤P=⎢.0 ⎥⎦⎣1Внимательно посмотрев на функцию W (s ) , можно заметить, что ее числитель и знаменатель имеют одинаковый множитель s + 1 , который можно сократить.