К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников, страница 3

Поэтому в инженерных расчетах стараются иногда упрощенно представить многомерную систему как несколько одномерных, и довольно часто такой метод приводит к успеху.1.3.3. Непрерывные и дискретные системыПо характеру сигналов системы могут быть• непрерывными, в которых все сигналы – функции непрерывного времени, определенныена некотором интервале;• дискретными, в которых используются дискретные сигналы (последовательности чисел), определенные только в отдельные моменты времени;7© К.Ю. Поляков, 2008• непрерывно-дискретными, в которых есть как непрерывные, так и дискретные сигналы.Непрерывные (или аналоговые) системы обычно описываются дифференциальными уравнениями. Это все системы управления движением, в которых нет компьютеров и других элементов дискретного действия (микропроцессоров, логических интегральных схем).Микропроцессоры и компьютеры – это дискретные системы, поскольку в них вся информация хранится и обрабатывается в дискретной форме.

Компьютер не может обрабатывать непрерывные сигналы, поскольку работает только с последовательностями чисел. Примеры дискретных систем можно найти в экономике (период отсчета – квартал или год) и в биологии (модель «хищник-жертва»). Для их описания применяют разностные уравнения.Существуют также и гибридные непрерывно-дискретные системы, например, компьютерные системы управления движущимися объектами (кораблями, самолетами, автомобилями идр.).

В них часть элементов описывается дифференциальными уравнениями, а часть – разностными. С точки зрения математики это создает большие сложности для их исследования, поэтому во многих случаях непрерывно-дискретные системы сводят к упрощенным чисто непрерывным или чисто дискретным моделям.1.3.4. Стационарные и нестационарные системыДля управления очень важен вопрос о том, изменяются ли характеристики объекта современем.

Системы, в которых все параметры остаются постоянными, называются стационарными, что значит «не изменяющиеся во времени». В этом пособии рассматриваются толькостационарные системы.В практических задачах часто дело обстоит не так радужно. Например, летящая ракетарасходует топливо и за счет этого ее масса изменяется. Таким образом, ракета – нестационарный объект.

Системы, в которых параметры объекта или регулятора изменяются со временем,называются нестационарными. Хотя теория нестационарных систем существует (формулы написаны), применить ее на практике не так просто.1.3.5. Определенность и случайностьСамый простой вариант – считать, что все параметры объекта определены (заданы) точно,так же, как и внешние воздействия. В этом случае мы говорим о детерминированных системах,которые рассматривались в классической теории управления.Тем не менее, в реальных задачах точных данных у нас нет. Прежде всего, это относится квнешним воздействиям. Например, для исследования качки корабля на первом этапе можносчитать, что волна имеет форму синуса известной амплитуды и частоты. Это детерминированная модель. Так ли это на практике? Естественно нет. С помощью такого подхода можно получить только приближенные, грубые результаты.По современным представлениям форма волны приближенно описывается как сумма синусоид, которые имеют случайные, то есть неизвестные заранее, частоты, амплитуды и фазы.Помехи, шум измерений – это тоже случайные сигналы.Системы, в которых действуют случайные возмущения или параметры объекта могут изменяться случайным образом, называются стохастическими (вероятностными).

Теория стохастических систем позволяет получать только вероятностные результаты. Например, нельзя гарантировать, что отклонение корабля от курса всегда будет составлять не более 2° , но можнопопытаться обеспечить такое отклонение с некоторой вероятностью (вероятность 99% означает, что требование будет выполнено в 99 случаях из 100).1.3.6. Оптимальные системыЧасто требования к системе можно сформулировать в виде задачи оптимизации.

В оптимальных системах регулятор строится так, чтобы обеспечить минимум или максимум какого-токритерия качества. Нужно помнить, что выражение «оптимальная система» не означает, что онадействительно идеальная. Все определяется принятым критерием – если он выбран удачно, система получится хорошая, если нет – то наоборот.8© К.Ю. Поляков, 20081.3.7. Особые классы системЕсли параметры объекта или возмущений известны неточно или могут изменяться со временем (в нестационарных системах), применяют адаптивные или самонастраивающиеся регуляторы, в которых закон управления меняется при изменении условий.

В простейшем случае(когда есть несколько заранее известных режимов работы) происходит простое переключениемежду несколькими законами управления. Часто в адаптивных системах регулятор оцениваетпараметры объекта в реальном времени и соответственно изменяет закон управления по заданному правилу.Самонастраивающаяся система, которая пытается настроить регулятор так, чтобы «найти»максимум или минимум какого-то критерия качества, называется экстремальной (от слова экстремум, обозначающего максимум или минимум).Во многих современных бытовых устройствах (например, в стиральных машинах) используются нечеткие регуляторы, построенные на принципах нечеткой логики. Этот подход позволяет формализовать человеческий способ принятия решения: «если корабль ушел сильно вправо, руль нужно сильно переложить влево».Одно из популярных направлений в современной теории – применение достижений искусственного интеллекта для управления техническими системами.

Регулятор строится (илитолько настраивается) на основе нейронной сети, которую предварительно обучает человекэксперт.9© К.Ю. Поляков, 20082. Математические модели2.1. Что нужно знать для управления?Цель любого управления – изменить состояние объекта нужным образом (в соответствиис заданием). Теория автоматического регулирования должна ответить на вопрос: «как построить регулятор, который может управлять данным объектом так, чтобы достичь цели?» Для этого разработчику необходимо знать, как система управления будет реагировать на разные воздействия, то есть нужна модель системы: объекта, привода, датчиков, каналов связи, возмущений, шумов.Модель – это объект, который мы используем для изучения другого объекта (оригинала).Модель и оригинал должны быть в чем-то похожи, чтобы выводы, сделанные при изучении модели, можно было бы (с некоторой вероятностью) перенести на оригинал.

Нас будут интересовать в первую очередь математические модели, выраженные в виде формул. Кроме того, внауке используются также описательные (словесные), графические, табличные и другие модели.2.2. Связь входа и выходаЛюбой объект взаимодействует с внешней средой с помощью входов и выходов.

Входы –это возможные воздействия на объект, выходы – это те сигналы, которые можно измерить. Например, для электродвигателя входами могут быть напряжение питания и нагрузка, а выходами– частота вращения вала, температура.Входы независимы, они «приходят» из внешней среды. При изменении информации навходе меняется внутреннее состояние объекта (так называют его изменяющиеся свойства) и,как следствие, выходы:вход xUвыход yЭто значит, что существует некоторое правило, по которому элемент преобразует вход x в выход y. Это правило называется оператором. Запись y = U [x] означает, что выход y получен врезультате применения оператора U ко входу x.Построить модель – это значит найти оператор, связывающий входы и выходы.

С его помощью можно предсказать реакцию объекта на любой входной сигнал.Рассмотрим электродвигатель постоянного тока. Вход этого объекта – это напряжение питания (в вольтах), выход – частота вращения (в оборотах в секунду). Будем считать, что при напряжении 1 В частота вращения равна 1 об/сек, а при напряжении 2 В – 2 об/сек, то есть частота вращения равна по величине напряжению1. Легко видеть, что действие такого оператораможно записать в видеU [ x] = x .Теперь предположим, что этот же двигатель вращает колесо и в качестве выхода объектамы выбрали число оборотов колеса относительно начального положения (в момент t = 0 ). Вэтом случае при равномерном вращении произведение x ⋅ ∆t дает нам количество оборотов завремя ∆t , то есть y (t ) = x ⋅ ∆t (здесь запись y (t ) явно обозначает зависимость выхода от времени t ).

Можно ли считать, что этой формулой мы определили оператор U ? Очевидно, что нет,потому что полученная зависимость справедлива только для постоянного входного сигнала. Если напряжение на входе x(t ) меняется (все равно как!), угол поворота запишется в виде интеграла1Конечно, это будет справедливо только в некотором диапазоне напряжений.10© К.Ю. Поляков, 2008tU [ x] = ∫ x(t ) dt .0Оператор, который действует по такому правилу, называется оператором интегрирования. С помощью этого оператора можно, например, описать наполнение пустого бака водой.Если сечение бака S (в м2) постоянно по всей его высоте, то уровень воды h определяется какинтеграл от потока воды q (в м3/с), деленный на S:t1h(t ) = ∫ q (t ) dt ,S0Обратный оператор – оператор дифференцирования – вычисляет производную:dx(t )U [ x(t )] = x& (t ) =.dtКак мы увидим, этот оператор играет очень важную роль в описании объектов управления.Обычно оператор дифференцирования обозначается буквой p.

Запись y (t ) = p x(t ) внешневыглядит как «умножение» оператора p на сигнал x(t ) , но на самом деле обозначает действиеэтого оператора, то есть дифференцирование:dx(t ).(1)p x(t ) =dtГде встречаются такие операторы? Приведем примеры из электротехники. Например, известно, что ток i (в амперах), проходящий по цепи с конденсатором, пропорционален производной от разности потенциалов u (в вольтах) на его пластинах:idu (t )i (t ) = C= C p u (t )dtuЗдесь C – емкость конденсатора (измеряется в фарадах).