К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников, страница 6

У вдумчивого читателя неизбежно должны были возникнуть вопросы следующего характера:• любым ли объектом можно управлять с помощью регулятора-усилителя?• как правильно выбрать коэффициент K (на каком значении остановиться)?• можно ли добиться улучшения управления с помощью более сложного регулятора?• какой регулятор нужно применить, чтобы улучшить управление?• как обеспечить нулевую установившуюся ошибку (постоянный уровень при любом расходе q ) и можно ли это сделать вообще?• как подавить шумы измерений, чтобы они не приводили к «дерганию» насоса?В следующих разделах представлены основы теории автоматического управления, которая отвечает на такие вопросы и предлагает надежные методы проектирования регуляторов, решающих задачу управления в соответствии с заданными требованиями.19© К.Ю.

Поляков, 20083. Модели линейных объектов3.1. Дифференциальные уравненияRСоставляя модель объекта на основании физических законов, мы чаще всего получаем систему дифференциальныхуравнений первого и второго порядка.Для примера покажем, как построить модель двигателяueпостоянного тока, используя законы механики и электро- ωтехники. Вход этого объекта – напряжение якоря u (t ) (ввольтах), выход – угол поворота вала θ (t ) (в радианах).iСначала вспомним некоторые «житейские» знания обэлектродвигателях.

Вал двигателя начинает вращаться, когда приложено напряжение питания.Если напряжение не меняется, угловая скорость вращения ω (t ) (в радианах в секунду) остаетсяпостоянной, при этом угол θ (t ) равномерно увеличивается.Чем больше напряжение, тем быстрее вращается вал. Если зажать вал рукой (или подключить нагрузку, например, заставить двигатель вращать турбину), скорость вращения постепенноуменьшается до нового значения, при котором вращающий момент двигателя будет равен моменту сопротивления (нагрузки).

Пока эти моменты равны, скорость вращения остается постоянной и ее производная равна нулю.Теперь переведем эти рассуждения на строгий язык математики. Угловая скорость вращеdθ (t )ния ω (t ) вычисляется как производная от угла поворота вала θ (t ) , то есть ω (t ) =. Соотdtветственно, угол θ (t ) – это интеграл от угловой скорости. В механике уравнение вращательного движения обычно записывают в видеdω (t )J= M (t ) − M H (t ) ,dtгде M (t) – вращающий момент (измеряется в H·м), MH (t) – момент нагрузки (возмущение, такжев H·м).

Буквой J обозначен суммарный момент инерции якоря и нагрузки (в кг·м2). Величинамомента инерции говорит о том, насколько легко «разогнать» двигатель (чем больше моментинерции, тем сложнее «разогнать»).Перейдем к электротехнике. В нашем случае момент M (t) – это электромагнитный моментдвигателя, который вычисляется по формулеM (t ) = CM ⋅ Φ ⋅ i (t ) ,где C M – коэффициент, Φ – магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения (измеряется в веберах); i (t ) – ток якоря (в амперах), который может быть найден из уравненияu (t ) = e(t ) + R ⋅ i (t ) ,где e(t ) – электродвижущая сила (ЭДС) якоря (в вольтах) и R – сопротивление якорной цепи (вомах). В свою очередь, ЭДС рассчитывается через магнитный поток и частоту вращения:e(t ) = Cω ⋅ Φ ⋅ ω (t ) ,где Cω – коэффициент.

Вводя новые постоянные k1 = CM ⋅ Φ и k 2 = Cω ⋅ Φ , можно записать модель двигателя в виде системы уравненийdθ (t )dω (t )J= k1 ⋅ i (t ) − M H (t ) , e(t ) = k 2 ⋅ ω , ω (t ) =, u (t ) = e(t ) + R ⋅ i (t ) .(11)dtdtМодель (11) описывает связи реальных сигналов в системе, ее внутреннее устройство.Часто нам достаточно знать, как будет реагировать объект на заданный входной сигнал(управление). При этом его внутреннее устройство нас не очень интересует, то есть мы рас-20© К.Ю. Поляков, 2008сматриваем объект в качестве «черного ящика».

Подставив второе уравнение из системы (11) втретье, найдем i (t ) и подставим в первое уравнение. Переходя к переменной θ (t ) , получаем:d 2θ (t ) k1 ⎡dθ (t ) ⎤= ⋅ ⎢u (t ) − k2 ⋅− M H (t )2dtR ⎣dt ⎥⎦или, перенося все члены, зависящие от θ (t ) , в левую часть равенстваJd 2θ (t ) k1k 2 dθ (t )+⋅= k 2 ⋅ u (t ) − M H (t ) .(12)dt 2RdtЭто дифференциальное уравнение второго порядка, связывающее вход u (t ) и нагрузку M H (t )с выходом θ (t ) . В сравнении с системой (11), все внутренние сигналы исходной модели ( e(t ) иi (t ) ) были исключены из уравнений.

Поэтому уравнение (12) называется уравнением «входвыход».Порядком модели называют порядок соответствующего дифференциального уравнения. Вданном случае мы получили модель второго порядка.В этом разделе на простом примере мы посмотрели, как на основе физических законовстроятся математические модели объектов управления. Как правило, они представляют собойдифференциальные уравнения. В дальнейшем мы будем использовать готовые модели объектовуправления, предполагая, что они были кем-то получены ранее (например, предоставлены заказчиком).J3.2.

Модели в пространстве состоянийДля того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к некоторому стандартному виду, для которого уже есть готовые общие решения. Таким «стандартом» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка,которая называется нормальной формой Коши.Рассмотрим снова модель электродвигателя, считая, что M H (t ) = 0 (нагрузки нет). Вспомнив, что ω (t ) = θ&(t ) , можно записать (12) в виде системыθ&(t ) = ω (t )k1k 2k⋅ ω (t ) + 1 ⋅ u (t )JRJRЭта система дифференциальных уравнений первого порядка быть записана в матричной форме:1 ⎤ ⎡θ (t ) ⎤ ⎡ 0 ⎤⎡θ&(t ) ⎤ ⎡0kk⎢=(13)⎢⎥ 0 − 1k 2 ⎥ ⋅ ⎢⎥ + ⎢ 1 ⎥ ⋅ u (t )tω()&⎥(t)⎢ω⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ⎣J R⎦⎣J R⎦Значения θ (t ) и ω (t ) определяют состояние двигателя в момент времени t . Это значит,что зная их значения в некоторый момент времени t0 и входной сигнал u (t ) при всех t ≥ t0можно рассчитать поведение объекта для любого последующего момента.

При этом предыдущие значения θ (t ) , ω (t ) и u (t ) (при t < t0 ) не играют никакой роли. Поэтому θ (t ) и ω (t ) назы-ω& (t ) = −ваются переменными состояния, а вектор ⎡⎢θ (t ) ⎤⎥ – вектором состояния.⎣ω (t )⎦В теории управления принято обозначать вектор состояния через x(t ) , вход объекта (сигнал управления) – через u (t ) . Тогда модель (13) может быть записана в видеx& (t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ u (t )(14)1 ⎤⎡0⎡ 0 ⎤⎡θ (t ) ⎤k1k 2 ⎥ и B = ⎢ k1 ⎥ . Модель (14) связывает вход u (t ) и вектор со⎢где x(t ) = ⎢,A=⎥⎢0 − J R ⎥⎢J R⎥⎣ω (t )⎦⎣⎦⎣⎦стояния x(t ) , поэтому она называется моделью вход-состояние.21© К.Ю.

Поляков, 2008Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравнение выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y (t ) :x& (t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ u (t )(15)y (t ) = C ⋅ x(t ) + D ⋅ u (t )Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателяпостоянного тока – это угол поворота вала:⎡θ (t ) ⎤y (t ) = θ (t ) = [1 0]⋅ ⎢⎥ = [1 0]⋅ x(t ) ,⎣ω (t )⎦так что C = [1 0] и D = 0 . Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то C = [0 1] .С помощью модели (15), изменяя матрицы C и D , можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа.

Во многих практических задачах выход –это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.Поскольку момент инерции J , сопротивление якоря R и коэффициенты k1 и k 2 не зависят от времени, матрицы A , B , C и D в модели (15) – постоянные. Такие объекты называютсястационарными, в отличие от нестационарных объектов, параметры которых изменяются вовремени.Запись моделей в единой форме (15) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах.Покажем, как уравнения вида (15) могут быть решены и чем удобна именно такая формазаписи.

Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x(0) приt = 0 . Вспомним, что знание x(0) и входа u (t ) при всех t > 0 дает возможность однозначно определить дальнейшее поведение этого объекта.Первое уравнение в (15) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения вектора состояния x(t ) в любой момент времени. Будем считать, что при 0 ≤ t ≤ ∆t , где ∆t – малый интервал времени, эта производная не меняется. Тогда значение вектора состояния приt = ∆t приближенно определяется формулойx(∆t ) ≈ x(0) + x& (0) ⋅ ∆t = x(0) + [ A ⋅ x(0) + B ⋅ u (0)]⋅ ∆t ,то есть, его можно легко вычислить.

Зная x(∆t ) и сигнал управления u (∆t ) , находим выходсистемы в тот же моментy (∆t ) ≈ C ⋅ x(∆t ) + D ⋅ u (∆t ) .Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаемx(2 ⋅ ∆t ) ≈ x(∆t ) + x& (∆t ) ⋅ ∆t = x(∆t ) + [ A ⋅ x(∆t ) + B ⋅ u (∆t )]⋅ ∆t ,y (2 ⋅ ∆t ) ≈ C ⋅ x(2 ⋅ ∆t ) + D ⋅ u (2 ⋅ ∆t ) .Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > 0 .

Конечно, точность будет тем выше, чем меньше ∆t , однако объем вычислений при этом также увеличится.Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйлера. Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A , B , C и D , его(как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решениялюбых уравнений вида (15).3.3.

Переходная функцияОдин из методов построения моделей «вход-выход» – определение реакции объекта нанекоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичныйскачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с0 до 1 в момент t = 0 . Формально этот сигнал определяется так:⎧0, t < 01(t ) = ⎨⎩1, t ≥ 022© К.Ю. Поляков, 2008Реакция объекта на единичный скачок называется переходной функцией и обозначается h(t):h(t)1(t)11(t)h(t)Ut0t0При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, тоесть, имеет нулевые начальные условия.