К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников, страница 4

Кроме того, падение напряжения u накатушке индуктивности пропорционально производной от проходящего тока i :idi (t )u (t ) = L= L p i (t )dtuгде L – индуктивность (измеряется в генри).Оператор дифференцирования – это идеальный (физически нереализуемый) оператор, егоневозможно реализовать на практике. Чтобы понять это вспомним, что при мгновенном изменении сигнала его производная (скорость возрастания) будет равна бесконечности, а никакоереальное устройство не может работать с бесконечными сигналами.2.3. Как строятся модели?Во-первых, математические модели могут быть получены теоретически из законов физики (законы сохранения массы, энергии, импульса).

Эти модели описывают внутренние связи вобъекте и, как правило, наиболее точны.Рассмотрим RLC-цепочку, то есть последовательное соединение резистора с сопротивлением R (в омах), катушки индуктивности с индуктивностью L и конденсатора с емкостью C.Она может быть описана с помощью двух уравнений:Ru (t )Li (t )u (t ) = uc (t ) + LCuc (t )i (t ) = Cdi (t )+ R ⋅ i (t )dtduc (t )dtПервое уравнение означает, что разность потенциалов на концах RLC-цепочки равна суммеразностей потенциалов на всех промежуточных участках. Разность потенциалов R ⋅ i (t ) на рези-11© К.Ю.

Поляков, 2008сторе вычисляется по закону Ома, а на катушке – по формуле, приведенной в предыдущем параграфе. Второе уравнение описывает связь между напряжением и током для конденсатора.Вход этого объекта – напряжение u (t ) на концах цепочки, а выход – разность потенциаловuc (t ) на пластинах конденсатора.Второй способ – построение модели в результате наблюдения за объектом при различных входных сигналах (этим занимается теория идентификации). Объект рассматривается как«черный ящик», то есть, его внутреннее устройство неизвестно. Мы смотрим, как он реагируетна входные сигналы, и стараемся подстроить модель так, чтобы выходы модели и объекта совпадали как можно точнее при разнообразных входах.На практике часто используется смешанный способ: структура модели (вид уравнения,связывающего вход и выход) определяется из теории, а коэффициенты находят опытным путем.Например, общий вид уравнений движения корабля хорошо известен, однако в этих уравненияхесть коэффициенты, которые зависят от многих факторов (формы корпуса, шероховатости поверхности и т.п.), так что их крайне сложно (или невозможно) найти теоретически.

В этом случае для определения неизвестных коэффициентов строят масштабные модели и испытывают ихв бассейнах по специальным методикам. В авиастроении для тех же целей используют аэродинамические трубы.Для любого объекта управления можно построить множество различных моделей, которые будут учитывать (или не учитывать) те или иные факторы.

Обычно на первом этапе стараются описать объект как можно более подробно, составить детальную модель. Однако при этомбудет трудно теоретически рассчитать закон управления, который отвечает заданным требованиям к системе. Даже если мы сможем его рассчитать, он может оказаться слишком сложнымдля реализации или очень дорогим.С другой стороны, можно упростить модель объекта, отбросив некоторые «детали», которые кажутся разработчику маловажными. Для упрощенной модели закон управления также получается проще, и с его помощью часто можно добиться желаемого результата. Однако в этомслучае нет гарантии, что он будет так же хорошо управлять полной моделью (и реальным объектом).Обычно используется компромиссный вариант.

Начинают с простых моделей, стараясьспроектировать регулятор так, чтобы он «подходил» и для сложной модели. Это свойство называют робастностью (грубостью) регулятора (или системы), оно означает нечувствительность кошибкам моделирования. Затем проверяют работу построенного закона управления на полноймодели или на реальном объекте. Если получен отрицательный результат (простой регулятор«не работает»), усложняют модель, вводя в нее дополнительные подробности. И все начинаетсясначала.2.4. Линейность и нелинейностьИз школьной математики известно, что проще всего решать линейные уравнения.

С нелинейными уравнениями (квадратными, кубическими и др.) работать намного сложнее, многиетипы уравнений математика пока не умеет решать аналитически (точно).Среди операторов самые простые – также линейные. Они обладают двумя свойствами2:• умножение на константу: U [α ⋅ x] = α ⋅ U [ x] , где α – любая постоянная (то есть, приувеличении входа в несколько раз выход увеличивается во столько же раз);• принцип суперпозиции: если на вход подать сумму двух сигналов, выход будет представлять собой сумму реакций того же оператора на отдельные сигналы:U [ x1 + x2 ] = U [ x1 ] + U [ x2 ].Модели, которые описываются линейными операторами, называются линейными.

С нимиможно работать с помощью методов теории линейных систем, которая наиболее развита и позволяет точно решать большинство известных практических задач.2В математике эти свойства называют однородность и аддитивность.12© К.Ю. Поляков, 2008Однако, все модели реальных систем – нелинейные. Это легко понять хотя бы потому, чтовсегда есть предельно допустимое значение входного сигнала – при его превышении объектможет просто выйти из строя или даже разрушиться (линейность нарушается). Методы исследования нелинейных операторов очень сложны математически, в теории нелинейных системточные решения известны только для достаточно узкого круга задач.

Здесь пока больше «белыхпятен», чем полученных результатов, хотя это научное направление активно развивается в последние годы.Что же делать? Чаще всего сначала проводят линеаризацию нелинейной модели объекта(привода), то есть строят приближенную линейную модель. Затем на основе этой модели проектируют закон управления, применяя точные методы теории линейных систем. Наконец, проверяют полученный регулятор с помощью компьютерного моделирования на полной нелинейной модели.Нужно отметить, что если объект или привод имеют так называемую «существенную» нелинейность, этот подход может не сработать.

Тогда приходится использовать методы нелинейной теории, а также компьютерное моделирование. Моделирование стало очень популярным впоследнее время, поскольку появились мощные компьютерные программы для проведения вычислительных экспериментов, и можно проверить поведение системы при разнообразных допустимых входных сигналах.Таким образом, в классификацию систем управления в разделе 1.3 нужно добавить ещеодно деление, может быть, самое существенное – системы бывают линейные и нелинейные.

Влинейных системах все звенья описываются линейными операторами, и это значительно упрощает работу с ними.2.5. Линеаризация уравненийВы уже знаете, что в теории управления лучше всего разработаны методы исследованиялинейных систем. Однако строго линейных систем в окружающем нас мире не существует. Поэтому для того, чтобы эти методы можно было применить на практике, нужно выполнить линеаризацию – построить приближенную линейную модель на основе более реалистичной нелинейной модели объекта.2.5.1.

Алгебраические уравненияПредставим себе бак с водой. В нижней части бака просверленоотверстие, через которое вытекает вода. Площадь сечения бака обоSзначим через S, а площадь сечения отверстия – через S0.Построим модель, которая связывает уровень воды в баке h (вметрах) и расход вытекающей воды q (в м3/с). Эту связь можно найтиhс помощью закона Бернулли, который в данном случае принимает видS0 q2ρvρ gh=.2Здесь ρ – плотность жидкости (в кг/м3), g ≈ 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения, v – скорость вытекания жидкости (в м/с). Отсюда получаем v = 2 gh .

Учитывая, что расход воды вычисляется как q = S 0 ⋅ v , находимq =α h,(2)где α = S 0 2 g – постоянная величина. Это статическая модель, потому что она не содержитпроизводных, характеризующих изменение сигналов во времени. Статическая модель описывает установившееся состояние (статический режим), когда в баке поддерживается постоянныйуровень воды и поток вытекающей воды тоже постоянный.13© К.Ю.

Поляков, 2008Очевидно, что модель (2) – нелинейная, поскольку содержит h . Линеаризовать ее – значит приближенно заменить уравнение (2) линейным уравнением q = k ⋅ h , где k – некоторый коэффициент. Как его выбрать? На этот вопрос нет однозначного ответа.Предположим, что уровень воды изменяется в интервале от 0 до 1 м. Тогда один из вариантов – вычислить коэффициент как угол наклона отрезка, соединяющего точки кривойq = α h на концах этого интервала.

Для определенности далее везде принимаем α = 1 , тогдаполучаем k = 1 .Конечно, эта модель очень грубая и дает большую ошибку, особенно для уровней в диапазоне от 0,1 до 0,6. Чтобы уменьшить ошибку, можно попробовать несколько изменить k (например, увеличив его до 1,2), однако точность приближения по-прежнему будет невысока, хотяи чуть-чуть лучше, чем в первом случае.qq11k = 1,2k = 0,707k =1h0h100.51Теперь предположим, что обычно уровень мало изменяется вблизи среднего значенияh = 0,5 м. В этом случае можно применить другой подход. Заметим, что в этой области криваяq = α h почти совпадает с касательной в точке (0,5;2) , угол наклона которой равен произ2воднойk=dq1=dh h=0,5 2 h=h =0 , 52≈ 0,707 .2Касательная – это прямая с наклоном k, проходящая через точку (0,5;вид q = kh + b .

Свободный член b определим из равенства2) , ее уравнение имеет2222= kh + b =⋅ 0,5 + b⇒ b=≈ 0,354 ,224так что получаем модель22q=h+.(3)24Это линейное уравнение, однако модель (3) – нелинейная, поскольку для нее не выполняется,например, свойство умножения на константу. Это легко проверить, сравнив U [2 ⋅ h] и 2 ⋅U [h] :22,2 ⋅ U [ h] = 2 h +≠ U [ 2 ⋅ h] .24Принцип суперпозиции также не выполняется.Для того, чтобы получить из (3) линейную модель, нужно записать уравнения в отклонениях от рабочей точки (h0 ; q0 ) , в которой мы определяли наклон касательной. Из (3) следует, чтоU [ 2 ⋅ h] = 2h +14© К.Ю.

Поляков, 200822⋅ (h0 + ∆h) +.(4)24Поскольку график зависимости (3) проходит через точку (h0 ; q0 ) , можно применить равенствоq0 + ∆q =q0 =22h0 +. Тогда из (4) находим242(5)⋅ ∆h .2Полученное таким образом уравнение – это линейная модель объекта, записанная в отклонениях входа и выхода от номинальной (рабочей) точки (h0 ; q0 ) . Приближенная модель (5) точнеевсего соответствует объекту вблизи этой точки, а при больших отклонениях от нее ошибка может значительно возрастать.На этом простом примере мы познакомились с основными принципами линеаризации нелинейных алгебраических уравнений.