К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников, страница 12

Типовая одноконтурная системаПрименим показанные выше приемы для вычисления передаточных функций рассмотренной выше системы. Здесь три входа (x, g и m), а в качестве выходов обычно рассматриваютвыход системы y, сигнал управления u и ошибку e. Таким образом, всего можно записать 9 передаточных функций, соединяющих все возможные пары вход-выход.приводgx +eC(s)–uR0(s)δP(s)yH(s)mСначала найдем полную передаточную функцию привода (обведенного штриховой рамкой), используя формулу для контура с отрицательной обратной связью:R0 ( s ).R( s) =1 + R0 ( s )Получаем следующую схему:gx +–eC(s)uR ( s)δP(s)yH(s)mТеперь найдем передаточные функции от входа x ко всем выходам.

Для этого все остальные входы будем считать нулевыми и удалим со схемы. Кроме того, заменим последовательноесоединение звеньев с передаточными функциями C ( s ) , R( s ) и P( s ) на одно звено:45© К.Ю. Поляков, 2008x +e–yC(s)R(s)P(s)H(s)Для получения окончательного результата снова используем формулу для контура с отрицательной обратной связью:C ( s) R( s) P( s).W ( s) =1 + H ( s )C ( s ) R ( s ) P( s )Принимая в качестве выходов управление u и ошибку e, получим похожие схемы:x +–eC(s)H(s)R(s)P(s)ux +–e1eH(s)C(s)R(s)P(s)Первая из этих схем дает передаточную функцию по управлению Wu ( s ) , а вторая – передаточную функцию по ошибке We ( s ) (здесь блок с передаточной функцией, равной единице, можнобыло вообще не рисовать).

Снова применяя формулу для контура с отрицательной обратнойсвязью, получаем:C ( s)1We ( s ) =,.Wu ( s ) =1 + H ( s )C ( s ) R( s ) P( s )1 + H ( s )C ( s ) R( s ) P ( s )Используя этот подход, легко найти передаточные функции для других входов. Теперь вы вполне можете сделать это самостоятельно.46© К.Ю. Поляков, 20086. Анализ систем управления6.1. Требования к управлениюЧто мы хотим от управления? Это зависит, прежде всего, от решаемой задачи. В задачестабилизации наиболее важны свойства установившегося режима.

Для следящих систем в первую очередь нужно обеспечить высокое качество переходных процессов при изменении задающего сигнала (уставки).В целом можно выделить четыре основных требования:• точность – в установившемся режиме система должна поддерживать заданное значениевыхода системы, причем ошибка (разница между заданным и фактическим значением)не должна превышать допустимую;• устойчивость – система должна оставаться устойчивой на всех режимах, не должна идти «вразнос» (корабль не должен идти по кругу при смене курса);• качество переходных процессов – при смене заданного значения система должна переходить в нужное состояние по возможности быстро и плавно;• робастность – система должна сохранять устойчивость и приемлемое качество даже втом случае, если динамика объекта и свойства внешних возмущений немного отличаются от тех, что использовались при проектировании.6.2.

Процесс на выходеНачнем с простого – покажем, как вычислить процесс на выходе системы с передаточнойфункцией W ( s) при входном сигнале, для которого известно изображение по Лапласу X ( s ) .При нулевых начальных условиях изображение выхода равно Y ( s ) = W ( s ) X ( s ) . Предположим, что W ( s ) и X ( s ) – рациональные функции, то есть их можно представить в виде отношения полиномовn ( s)n ( s)., X (s) = XW (s) = W∆( s)d X ( s)Для простоты будем считать, что полиномы ∆( s ) и d X (s ) имеют только простые вещественныекорни, так что∆( s ) = ( s − α1 )( s − α 2 )...( s − α N ) , d X ( s ) = ( s − β1 )( s − β 2 )...( s − β M ) ,причем общих корней у них нет7.

Числа α i (i = 1,...N ) и β j ( j = 1,...M ) называются полюсамифункций W ( s) и X ( s ) соответственно.При этих условиях произведение Y ( s ) = W ( s ) X ( s) можно разложить на простые дробиa1aaNbbb+ 2 + ... ++ 1 + 2 + ... + M .Y (s) =s − α1 s − α 2s − α N s − β1 s − β 2s − βMЗдесь ai (i = 1,...N ) и b j ( j = 1,...M ) – постоянные, которые в данном случае определяются поформулам:ai = W ( s ) X ( s )( s − α i ) s=α ,ib j = W ( s ) X ( s )( s − β j )s=β j.Далее мы предположим, что произведение W ( s ) X ( s ) несократимо. В этом случае все числа aiи b j не равны нулю.Чтобы найти выход y (t ) , нужно вычислить обратное преобразование Лапласа для Y (s ) .По таблицам (см., например, формулы (25)) находим7Более сложные случаи (комплексно-сопряженные и кратные полюса) рассматриваются аналогично.47© К.Ю.

Поляков, 2008y (t ) = a1eα1t + a2eα 2t + ... + aN eα N t + b1e β1t + b2e β 2t + ... + bM e β Mt .(44)λtВспомним, что функция e при t → ∞ стремится к нулю, если λ < 0 ; остается постоянной(равной 1) при λ = 0 и уходит в бесконечность при λ > 0 .

Поэтому выражение (44) позволяетсделать следующие выводы:• сигнал на выходе системы зависит как от свойств передаточной функции системы, так иот входного сигнала;• для того, чтобы переходный процесс затухал (функция y (t ) стремилась к нулю), всечисла α i (i = 1,...N ) и β i (i = 1,...M ) должны быть отрицательными (иметь отрицательныевещественные части);• если один из полюсов W (s ) или X (s ) равен нулю, y (t ) может иметь постоянную (незатухающую) составляющую;• если хотя бы один из полюсов W (s ) или X (s ) больше нуля (имеет положительную вещественную часть), выход системы неограниченно растет.Еще раз отметим, что мы предполагали несократимость произведения W ( s ) X ( s ) , иначе некоторые коэффициенты ai и/или b j могут оказаться нулевыми и соответствующие экспоненты«исчезают» из формулы (44).

Тогда, например, может оказаться, что выход не «уходит в бесконечность» даже если W ( s) или X ( s ) имеет полюс с положительной вещественной частью (и онсократился в произведении W ( s) X ( s ) ).Как следует из (44), часть показателей экспонент (числа α i (i = 1,...N ) ) полностью определяются свойствами системы – это корни полинома ∆( s) . Если среди них есть числа с положительной вещественной частью, сигнал выхода будет неограниченно возрастать при любом входе, для которого произведение W ( s) X ( s ) несократимо. В этом случае говорят, что система неустойчива, а соответствующие полюса также называют неустойчивыми.

Полином ∆( s) называется характеристическим полиномом, так как расположение его корней определяет устойчивость (или неустойчивость) системы (подробнее см. разд. 6.4).6.3. ТочностьТочность системы обычно оценивается для одного из эталонных входных сигналов. Этоможет быть, например, единичный скачок⎧0, t < 01, X ( s) =x(t ) = 1(t ) = ⎨s⎩1, t ≥ 0или линейно возрастающий сигнал⎧0, t < 01x(t ) = ⎨, X ( s) = 2s⎩t, t ≥ 0или гармонический сигнал с частотой ω :x(t ) = sin ωt ,X ( s) =ω.s +ω22Точность системы в установившемся режиме определяется ошибкой e(t ) или ее изображениемE ( s) .

Для ее исследования используют передаточную функцию по ошибке We (s ) , которая связывает изображения ошибки и входного сигнала:E ( s ) = We ( s ) X ( s ) .Рассмотрим контур управления, состоящий из регулятора и объекта:48© К.Ю. Поляков, 2008регуляторx +–eC(s)объектuP(s)yПредставим передаточные функции C (s ) и P(s ) , а также изображение входа X (s ) в виде отношения полиномовn (s)n ( s)n( s )C ( s) = C, X (s) = X, P(s) =.d (s)dC ( s)d X ( s)В данном случае передаточная функция по ошибке равна1d (s) d (s)We ( s ) == C,1 + C ( s) P( s)∆( s)где ∆( s ) = dC ( s ) d ( s ) + nC ( s ) n( s ) – характеристический полином замкнутой системы.Рассмотрим реакцию системы на единичный ступенчатый входной сигнал, изображениекоторого равно X ( s ) = 1 / s .

Как следует из разд. 6.2, сигнал ошибки определяется полюсами передаточной функции We (s ) (то есть корнями характеристического полинома ∆( s) ) и полюсамиизображения X ( s ) . На практике все полюса We (s ) должны иметь отрицательные вещественныечасти, иначе система будет неустойчивой (подробнее см. в разд. 6.4). Поэтому нулевых полюсов у функции We (s ) быть не может. Тогдаb11We ( s ) X ( s ) =⋅ = Y0 ( s ) + .s1 + C ( s) P( s) sЗдесь изображение Y0 ( s ) имеет полюса только с отрицательной вещественной частью, а постоянная b рассчитывается по формуле разложения на простые дроби:1d (0) d (0)b== C.1 + C (0) P(0)∆(0)Как следует из разд.

6.2, после затухания всех экспонент с отрицательными показателями получим lim e(t ) = b .t →∞Заметим, что для того, чтобы сделать нулевой статическую ошибку, достаточно обеспечить d C (0) = 0 (то есть регулятор должен содержать интегратор) или d (0) = 0 (объект содержитинтегратор).Этот результат можно обобщить для любых незатухающих входных сигналов, изображения которых имеют полюса на мнимой оси (в точке s = 0 или в точках s = ± jω ).

Для того, чтобы ошибка стремилась к нулю при t → ∞ необходимо, чтобы эти полюса сократились в произведенииd ( s) d ( s) nX ( s)We ( s ) X ( s ) = C⋅.d X (s)∆( s)А это, в свою очередь, возможно только тогда, когда они являются корнями полиномаd C ( s ) d ( s ) , то есть, внутри системы есть модель входного сигнала. Этот принцип называетсяпринципом внутренней модели.Например, для точного отслеживания ступенчатого сигнала нужно, чтобы объект или регулятор содержали интегрирующее звено (с передаточной функцией 1 / s ). Тогда произведениеd C ( s ) d ( s ) имеет сомножитель s , и полюс X (s ) в точке s = 0 сократится в произведенииWe ( s ) X ( s ) . Таким образом, если передаточная функция разомкнутого контура C ( s ) P( s ) содержит множитель s в знаменателе, обеспечивается нулевая ошибка слежения за постояннымсигналом (нулевая статическая ошибка).