К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников, страница 13

Поэтому такую систему называют астатической.49© К.Ю. Поляков, 2008Для отслеживания линейно возрастающего сигнала в контуре должно быть уже два интегратора (нужно сократить двойной полюс X ( s ) в точке s = 0 ). Такая система обладает астатизмом второго порядка. В общем случае система, в которой1C ( s) P( s) = ν G ( s) ,sгде ν > 0 – натуральное число и функция G (s ) не имеет нулей и полюсов в точке s = 0 , называется астатической системой ν -ого порядка. Такая система в установившемся режиме безошибки отслеживает сигнал видаx(t ) = x0 + x1t + x2t 2 + ...

+ xν −1tν −1при любых значениях коэффициентов xi (i = 0,...ν − 1) .Казалось бы, для повышения точности можно поставить много интеграторов, и все проблемы будут решены. Но при этом нужно учесть, что мы говорили только о точности в установившемся режиме, не затрагивая переходные процессы (переход с режима на режим) и вопросыустойчивости. Добавление каждого нового интегратора ухудшает переходные процессы, осложняет стабилизацию системы, снижает быстродействие. Например, двойным интегратором впринципе невозможно управлять с помощью простого регулятора-усилителя (так называемогопропорционального регулятора или П-регулятора).

Кроме того, если разомкнутая система включает два интегратора и более, для сигнала ошибки e(t ) справедливо ограничение∞∫ e(t ) dt = 0 .0На вопрос «ну и что?» можно ответить так: поскольку интеграл от ошибки равен нулю, частьвремени ошибка должна быть положительной, а часть – отрицательной. Поэтому при любомуправлении не удастся получить монотонный переходный процесс (когда сигнал выхода подходит к заданному значению «с одной стороны», как у апериодического звена).Для стохастической системы, в которой все процессы имеют случайный характер, точность оценивается с помощью математического ожидания и дисперсии ошибки.

Но эти вопросывыходят за рамки пособия.6.4. Устойчивость6.4.1. Что такое устойчивость?«Бытовое» понятие устойчивости известно нам с детства. Например, табуретка с двумяножками неустойчива, она упадет при малейшем дуновении ветра, а с тремя – устойчива. Всемзнакомый пример неустойчивой системы – близко расположенные микрофон и колонки, которые начинают «свистеть». Неустойчивость может привести к трагическим последствиям.

Достаточно вспомнить аварии самолетов, попавших в грозовой фронт или в штопор, взрыв ядерного реактора на Чернобыльской атомной станции в 1986 г.Термин «устойчивость» используется в численных методах, механике, экономике, социологии, психологии. Во всех этих науках имеют в виду, что устойчивая система возвращается всостояние равновесия, если какая-то сила выведет ее из этого состояния. Шарик на рисунке находится в устойчивом равновесии в положении А – если немного сдвинуть его с места, он скатится обратно в ямку.БВАГД50© К.Ю.

Поляков, 2008Однако мы можем заметить, что если шарик сильно отклонить от равновесия, он может свалиться через горку вбок, то есть устойчивость нарушится.В положениях Б и В шарик также находится в положении равновесия, но оно неустойчиво, так как при малейшем сдвиге в сторону шарик скатывается с вершины.В положениях Г и Д равновесие шарика нейтральное – при небольшом смещении он остается в новом положении. При этом говорят, что система нейтрально устойчива, то есть находится на границе устойчивости.Можно показать, что система «шарик-горка» – нелинейная.

Как мы увидели, для нее• устойчивость – не свойство системы, а свойство некоторого положения равновесия;• может быть несколько положений равновесия, из них некоторые – устойчивые, а некоторые – нет;• положение равновесия может быть устойчиво при малых отклонениях (система устойчива «в малом») и неустойчиво при больших («в большом»).6.4.2. Устойчивость бывает разнаяИзвестно несколько определений устойчивости, которые отличаются некоторыми деталями. Если рассматривается только выход системы при различных ограниченных входах, говорятоб устойчивости «выход-выход».Кроме того, часто изучают устойчивость автономной системы, на которую не действуютвнешние сигналы (все входы нулевые). Предполагается, что систему вывели из положения равновесия (задали ненулевые начальные условия) и «отпустили». Система, которая сама возвращается в исходное положение равновесия, называется устойчивой.

Если при этом рассматриваетсятолько выход системы (а не ее внутренние сигналы), говорят о «технической устойчивости»(или устойчивости по выходу). Напротив, внутренняя или математическая устойчивость означает, что не только выход, но и все внутренние переменные (переменные состояния) приближаются к своим значениям в положении равновесия.В некоторых задачах основной рабочий режим – это периодические колебания, поэтомуможно рассматривать устойчивость процессов, а не только положения равновесия. Однакопочти все такие системы – нелинейные, и эти вопросы выходят за рамки нашего пособия.6.4.3.

Устойчивость «вход-выход»Обычно для инженеров практиков в первую очередь важно, чтобы система не «пошлавразнос», то есть, чтобы управляемая величина не росла неограниченно при всех допустимыхвходных сигналах. Если это так, говорят, что система обладает устойчивостью «вход-выход»(при ограниченном входе выход также ограничен).

Заметим, что при этом нас не интересует,как меняются внутренние переменные объекта, важен только вход и выход.Рассмотрим ванну, которая наполняется водой из крана. Модель этой системы – интегрирующее звено. При постоянном (ограниченном по величине!) входном потоке уровень воды вванне будет неограниченно увеличиваться (пока вода не польется через край), поэтому такаясистеме не обладает устойчивостью «вход-выход».6.4.4. «Техническая» устойчивостьВ отличие от устойчивости «вход-выход», понятие «техническая устойчивость» относитсяк автономной системе, у которой все входные сигналы равны нулю.Положением равновесия называют состояние системы, которая находится в покое, тоесть, сигнал выхода y (t ) – постоянная величина, и все его производные равны нулю.Систему выводят из положения равновесия и убирают все возмущения.

Если при этом стечением времени (при t → ∞ ) система возвращается в положение равновесия, она называетсяустойчивой. Если выходная координата остается ограниченной (не уходит в бесконечность),система называется нейтрально устойчивой, а если выход становится бесконечным – неустойчивой.51© К.Ю. Поляков, 2008Если вернуться к примеру с ванной, становится понятно, что эта система – нейтрально устойчива, потому что уровень воды остается постоянным, когда мы перекроем кран. С однойстороны, уровень воды не возвращается к предыдущему значению, а с другой – не растет бесконечно (система не является неустойчивой).6.4.5.

Внутренняя устойчивостьГоворя о внутренней устойчивости, рассматривают не только выход, но и все переменные,описывающие состояние системы. В математической теории систем вектор состояния обозначают через x(t ) , а уравнение движения системы записывают в видеdx(t )= f ( x, t )(45)dtФактически это система дифференциальных уравнений первого порядка, в нем правая часть зависит только от значений t и x(t ) , но не от производных.

Если вектор состояния x(t ) состоитиз двух компонентов, x1 (t ) и x2 (t ) , уравнение (45) можно записать в развернутой форме⎧ dx1 (t )⎪⎪ dt = f1 ( x, t )⎨⎪ dx2 (t ) = f ( x, t )2⎪⎩ dtгде функции f1 ( x, t ) и f 2 ( x, t ) зависят от вектора состояния и времени.Устойчивость определяется для некоторого положения равновесия. Для нелинейной системы может быть несколько положений равновесия, причем некоторые из них могут быть устойчивы, а некоторые – нет. В положении равновесия все производные равны нулю, то естьf ( x* , t ) = 0 , где x* – соответствующий вектор состояния8.Предположим, что систему вывели в некоторое начальное состояние x0 = x(0) (задали начальные условия), а потом внешнее воздействие прекратили.

Дальнейшее изменение координат(«движение» системы x(t ) ) можно найти как решение уравнения (45) при заданных начальныхусловиях.Нестрого говоря, устойчивость означает, что все движения x(t ) , которые начинаютсяблизко от положения равновесия x* , при всех t остаются в некоторой окрестности x* .Лучше, конечно, если система не просто устойчива, а еще и возвращается в положениеравновесия, то есть, x(t ) стремится к x* при t → ∞ .

В этом случае говорят об асимптотической устойчивости.Рассмотрим маятник на рисунке а) справа, состоящий из подве- а)б)шенного металлического стержня и шарика. Здесь положение равновесия – шарик в нижней точке. Если не учитывать трение, маятник, выведенный из положения равновесия, будет качаться бесконечно долго,причем амплитуда колебаний не будет увеличиваться, то есть, системаустойчива.В реальности трение, конечно, есть, поэтому колебания маятникабудут постепенно затухать (амплитуда уменьшается), и система в концеконцов возвращается в положение равновесия.

Это значит, что маятник с трением – асимптотически устойчивая система.Маятник на рисунке б) тоже находится в положении равновесия, но оно неустойчиво: прималейшем отклонении маятник упадет вниз.8Часто для удобства считают, что x = 0 . Если это не так, можно заменить*x(t ) на ~x (t ) = x(t ) − x* , так чтобыв положении равновесия все координаты нового вектора ~x (t ) были нулевые.52© К.Ю. Поляков, 2008Формальное определение внутренней устойчивости было введено в работахА.М. Ляпунова9, поэтому такое понятие устойчивости принято называть устойчивостью по Ляпунову.Для простоты рассмотрим систему первого порядка, с одной переменной состояния x(t ) .Система называется устойчивой по Ляпунову в положении равновесия x* , если при начальномотклонении от положения равновесия x* не более, чем на δ , траектория движения отклоняетсяот x* не более, чем на ε , причем для каждого ε можно найти соответствующее ему δ (ε ) :x0 − x* < δ⇒x(t ) − x* < ε при всех t > 0 .Фактически это означает, что чем меньше начальное отклонение, тем меньше траектория движения отклоняется от положения равновесия.Если кроме того вектор состояния стремится к положению равновесия, то есть,x(t ) − x* → 0 при t → ∞ ,(46)система называется асимптотически устойчивой в положении равновесия x* .