Егоров А.И. - Основы теории управления, страница 10

.,общееаспci,. .,еголинейнопвидевпостоянные.фундаментальную'общеепоэтомурешенийматрицуY(t)решение{ci,. .,=Длясп}МA.2)уравнениявектор—можнозаписатьвидевY(t)c,=постоянных.произвольныхэтогорешенияполученияA.2)уравнения=y(t)сг/1 (?),. .решенийпредставитьфункцийопределяетгдеустойчивоститеориинезависимыхможнорешениепроизвольные—СистемаиОсновы2.уравнения,удовлетворяющегоначальномуусловиюуЫсвекторЭтовсегданеособеннойявляетсяизопределитьнужноуравнениеY(to)cуравненияоднозначновсехприу°,A.з)=у0.=такразрешимо,тех?,значенияхкакY(t)матрицакоторыхприопределенаявля-матрицаA(t).ВдальнейшемособыйнасдлябудетинтереспредставлятьматрицаW(t,s)=Y(t)Y-1(s),гдеsпринимающийпараметр,свойствами.—следующими1.W(t,s)значениифундаментальная—2.W(t,t)=удовлетворяющееЕ,ЕгденачальномуA.3),условиюW(t,s)фундаментальнойНепосредственнойможнорешениемВдальнейшем=сле-припредставитьлюбомW(t,to)y°.Кошиматрицейнормальнойto)y°неоднородногоудовлетво-видевпричтопроверяется,W(t,A.2),уравненияназываетсяподстановкой=условиюA.2)уравнениярешениематрицей,егоначальномуобладаетпреобразования.W(t,s)матрицыфункцияМатричнаяявляетсярешенийОнаt.итождественногоматрица—y(t)иличтозначения,матрицасвойствэтихсилужеs.параметраВте+/Jt0W(t,s)f(s)A.1),уравненияt=функцияdsA.4)началь-удовлетворяющимA.3).соотношениеA.4)будемназыватьA.2)уравненияs.формулойКоши.Линеаризация1.Свойства1.2.АматрицаW(t,стационарнойЗадачапостоянна.КошиформулыполучениииИтак,xвкоторомАматрицавэтомбытьможетслучаечтобыf(t),A.5)+утогослучая.Фундаментальнаяпостоянна.матрицафункцийиспользованиемфункциями,этимиуравненияАуA.6)=сполученавоспользоватьсямат-матрицыуравнениемAx=построениивчастногоописываетсячтотеперь,состоитэтогодляобъектадвижениепустьПредположимсистемы.A.1)уравнениивs)систем73нелинейныхнапомнимотДляматриц.фактынекоторыеизалгебры.ТеоремасвоегонулемАе.(А)Всякийдлягде-А)=рпвА.многочленом/(р)f{p)произвольныйф{р)ф{р),(р(р)гденижестепениг(р)вг(р),полиномстепенианнулирующимстепенисоминимальнымстар-многочле-жетучтоf(A)являетсяАиего^(р)-Тогда,акоэффициент—былаПустьqстобыф>2(р)=ф(р)иТретьесвойствоминимальногомногочленмногочленастепениф(р)ввидерравнымр,доказательства.вфо(р)многочле-безприведемпредставимнижечтоминимальные—былединицувыводу,старшей^(р)~ф2(р)степеникприф\{р)настаршейприходимми-il>i(p)=мерепри^о(р)?чтомногочлен.меньшейпоравенразличнымидвумямногочленкоэффициентомтому,быликоэффициентф(р)полагаяпротиворечитиА,—минимальныйф\{р)бынегоумногочлен.многочлены.3.Минимальный—стар-прислагаемомстаршемминимальный—единственныйимеетстепеньмногочленЭтоф(р)чтоматрицыаннулирующим,аннулирующийф(р)иаприЕслимногочленамиединице.поли-/(р)какГМ=коэффициенттому,матрицаф\(р)ф(р).такв,=Еслистепеньгдепоэтомуиф(АМА)-ошибочно,г(р),тоноиВ=аннулирующим.Доказательство.минимальнымипредставимонутверждение+Ноф(А)=f(A)=противоречит2.Каждаяэтоф{р)^р{р)=многочлена,тостепень,Этоединице.томногочлен,полином.f{p)го(р)многочленеап,называетсяф{р)минимальногомногочлены,степени+an_ipназываетсявидевг(А)бы+•наименьшейпредположить,представиманнулирующиеимеет•в,=аннулирующийнекоторый—Если/(р)г(р)старшей•многочлена.—=полиноме.f(A)единице,Доказательство.т.яв-элементами.многочленминимального1.ЕслиполиномАматрицаА.матрицывиде=нулевымикоторогодляравнымСвойстватосАннулирующийкоэффициентом,сир?'1+матрица—/(р),полиномматрицыстаршимвdet(Ep=в,=постояннаямногочленахарактеристическогоА(р)т.КвадратнаяГамильтона-Кэлли.являетсямно—74Гл.Основы2.гдеDn_i(p)матрицыЕрПриведенныенаибольший—П2,какзначения+..основанииФ(р)причемп=0,>rrij1, 2,=•(р=(рчислоаргументаЛеммар,g(A)значениянад(р)h(A)спектредва—•(рРк)Пк—ткПри•<т=п,т.д(А)переменно-hиодинаковыеимеют=Тогдаd(p)полиномd(A)е.т.ф(р):многочленСовокупА.матрицыgд(Рл)А,А.матрицыкомплексногоh(A).=матрицыдлячиселспектр—когдакогдае.дифференцируемаямножествополиноматогда,А,матрицыминимальныйна+разспектреРагдетолькоПустьостаткаq(p)h(p)ианнулирующимнаF(Pa),итогдаДоказательство.являетсябезF(p)черезЕсли=•F^--1)^).

.,функцииобозначим1.1.то•..Тогдар.F'(pk),k),чисел+тгдостаточноезначениемэтихРъ)™2—к.. .,переменногоназыватьni,Тогда,чтоРк)т\-ф(р)череззначений.(рPi)ni—A.7)переменногомат-Обозначимсобственныхоказывается,•произвольная,—комплексногоСовокупностьпорядкаполиномаА.этихвыше,•jF(p)будем1)-го—представлениематрицыРк•••?Д(р)и(P-Pi)mi(p-P2)m2Пустьфункцияп\~изложенного=датьP2,кратности+п\наpi,соответствующие—известно,этом,позволяютутвержденияnk.

.,(пминоровА.—собственныечерезделительобщийустойчивоститеориив.=d(p)д(р)=д(р)=Поэтомуонh(p)—h(p)—делитсяq(p)tp(p)j=гдеполином.—ИзA.7)формулыФ(Рз)4>'(Рз)=Ф(Ра)чтоследует,=в,=Ф(т^1]^)¦ ¦=е.т.=0,j1, 2,=к,. .,следовательно,и,g(Pj)д(Рл)е.т.g'fa)h(Pj),=Ь(Ра)-=ПустьзаписатьПриэтомстепеньФз)Отсюдасматрица—=леммыl,2,. .,k,=S(P)=0,д(А)Поэтомуh(p)—г(р)итополиномы,—такж:е—полиномы.иjh(A)—=1, 2,к.. .,8(А)ф(А).=ф(А)Нод(А)Следовательно,элементами.нулевымид(р)игдеrlm'-V(pj)0.=ф(р)ф(р). .=jдоказана.какстепени=h^-V-fa),=ТакЬ>(Ра)S(p)i/j(p)-\-r(p),нижег(р)следует,чтоВгдечасть=r'(Pj)=g^-Vfa).

.,Перваяд(Рл)g(p)—h(p)г(р)теперьможноti(Pj),=h(A).=в,=Леммадоказана.Полученноетеперькоторыессвойствоболеедляназначения,д(р)ПоэтомукоторыйначтоиРатакихматрицыполиномовматричнымаргументомБудемF(Pa)д{Рл)ч=матрицыАпринимаетбесчисленноеизисходитьАматрицыоднойкпостроениядляспектреспектреприводятполином—сF(A).функцийопределеныF(Pa)еслиЯсно,полиномаобщихтожеможномножество.значения,чтоОднакоодинаковыеВ=найтидостаточножеифункции,всенемF(A).F(A)матрицезаписатьF(A)тенапринимаютитойите-используемчтотого,частности,д(А).полином,кото-функцияF(A).полиномЛаг-Линеаризация1.ранжа-СильвестраЕгоимеетможнозаписать(rrij*-^В частности,минимальныйвсекогдакотораяга—1.равнаA.8)ivldpmiJ^j(P)\P=PjJ~акорниполиномахарактеристическогоpjф(р)полиномТаким1)!—многочлен,многочленинтерполяционныйv—минимальный—степень,наименьшуюнихmj-1*г^^(p)средивидевкгдесистем75нелинейныхимеетф(р)вид(р=простые,(рр\).

.—Рп)->—ми-интерполя-иупрощается:образом,F(A)Полином,которыйrF(A).A.10)=A.9),формулойопределяемыйназываетсяполиномомЛагранжа.Пример1.1.СначаланаходимF(p)Пустьспектрследовательно,р\НаибольшийрЕиА—общийeptОтсюда-1D\{p)A.9)|чемматриц,переходитьизжележиткe~t'.ивидуследующееVshch*виде*функ-понятияприменениямF(A)вsht~VпредставлениеF(p)представленияфактаэтоготое*,числапривестиO\_(chtнасинтересующимкявляютсяможноt](llft_2V°чтоотметим,исходяполучитьВ основеA.9)матрицывидполучаем1°УотпорядкаимеетАматрицыполиномформулеПреждепервогомногочленспектре01\функцийминоровминимальныйинтерполяционныйсогласноА1-—нагдеР=делительфункциизначениямиСледовательно,=Поэтомуединице.равенР2F(A),Вычислимпараметр.—ИмеемА)-1,=tгдематрицы.det(p?и,ept,=вA.10)формеможностепенногосходящегосяряда.утверждение.(X)Будемчтоговорить,J^ щ{р)рядсходитсянаспектреАматрицыг=0сюцииF(p)иприэтомбудемписатьF(Pa)=J2 щ(Ра),г=1есливсефигурирующиекфунк-76Гл.Основы2.функцииздесьнаопределеныспектреАматрицыустойчивоститеорииимеютиместоравенстваг=0г=0г=0кгде1,.

.,т,=ряды.ЗдесьматрицыА.причемтчастяхправыхвчисло—этихкорнейразличныхстоятравенствсходящиесяхарактеристическогомат-уравнения(X)ТеоремаДля1.1.чтобытогоJ2 щ(А),рядщ(р)гдег=0схо-полиномы,—оодилсянанеобходимоА,матрицечтобыдостаточно,иY^ ui(p)рядсходилсяг=0наРаспектреэтойПриматрицы.этомизравенстваоог=0следуетравенствог=0иг).наоборотИзэтойизисходятеоремы,частности,вeAtфункциипредставлениячтоследует,емДоказательствочтотого,черезОпределивэтатакимфундаментальнойпостроениемИнтегрируяобеемэтоготой,ссовпадаетнеприводитьфункцииотW(t,s)матрицычастиопределитьрядаn!матрицаЛагранжа-Сильвестра,понятиеобразомполиномможно(At)n=n=0определяетсяемматрицустепенноговидевсопре-займемсяматрицы,теперьA.6).уравненияуравнения,котораябудем.учетомA.3)условияполучимAy(s)ds.Этоуравнениебудемметодомрешатьприближенийпоследовательныхформулампофор-°=у°+Ук+iit)ВыполняяAyk(s)Jtoнеобходимыевычисления,(Е+A(tyn(t).

.,=1, 2,..чтонаходим,to))y°,-кds,=fc=0и,следовательно,впределеy(t)) Доказательствокниге:ГантмахерэтойФ.Р.Теорияппри=теоремыбудемоо-^yn(t)lim—eA{t-^y0.=5-еизд.Сбудем.неприводитьматриц.иметь—М.:Наука,можноним2004.ознакомитьсяпоЛинеаризация1.Такимобразом,решенийсистем77нелинейныхeA(yt~to^функцияA.6),уравненияудовлетворяющее=/x(t)Х.ЕслиВ~ХАВ,тоectимееттойматрицажечторазмерности,иB~1eAtB.=СогласноДоказательство.видeAt.функциисвойстванеособенная—A.4)формулесогласноре-A.5),уравненияJtoнасдляматрицейРешениеto.=A.3),условиюважныеtприначальномуОтметимфундаментальнойявляетсянормальнойА,Си=определениюооext=к\к=0следовательно,и,ооect='к\к=0ТакСкакОтсюдаВ~ХАВ,=С2тоСС=В^АВВ^АВ=СкВ~1А2В,=В~1АкВ.=чтоследует,ООл-ВfcВl^-j^t-ВВ.ек=0Пусть2.ns. .,=7Ппредставитьpi,.

.,psсобственные—^минимальный—ееп,значенияф(р)асоответственно,(р=(р..Тогдамногочлен.видевАматрицыpi)mi——р8)Шз,матрицукратностейni,. .+mieAt+..ms=предста-можнот—1k=0гдеak{t),функцииДоказательство.Аматрицы. .J(ps)A.10),к0,1,. .,=т1,—линейноЗначениямиявляютсячислаep*\=/(ms-1}(ps). .,независимы.f(p)функцииf(pi)ePlt,=f<yTni~1\pi). .,tm^1ep^t.=ept=на=Согласномат-спектреtmi~1ePlt,..A.8)формуламиимеемгдеОтсюдаполиномавидезависятматрицыА,степеньотt.вправойТакимобразом,формулыКоэффициентыполученнойчастинекотороговышет—eAtфункция1.стоитполиномэтогодействительнополи-представимавA.12).Доказательстволишьчтоследует,относительнолинейнойчастногодляАявляютсяслучая,простыми.функцийнезависимостивсекогдаТогдакорниформулаа&(?)здесьприведемхарактеристическогоA.12)уравненияпринимаетвид78Гл.Основы2.устойчивоститеориип-1ем"?ак№к.A.13)=к=0ТаккакA.13)формулыг{р)Лагранжаполиномадляr{pk)имеемePkt,=r(A)eAt,=тоизсоотношениеполучаемп-1^ак(г)р)<?*\=jl,=2,.

.,п,fc=0можнокотороефункцийai(t),. .,ап(?).Правыеотличенопределительввекториобратное3.гдер\,. .,матрицыA,от{ePlt,. .,емФункцияpsipj(t)полиномапредставимавсе—различныекорниспревосходитнеминимальногоявляетсялинейнонезависимы.характеристическогоматри-уравненияСтепенькоэффициентами.где1,ф(р)числа(р=достаточносвойстваэтого—такжеan(?)матричнымиrrijмногочленадоказательстваai(?),. .,опре-an(?)}видевполиномы—НеособеннымПоэтомуее|ai(?),. .,векторанеособенным.преобразование.анезависимы,преобразованиеявляетсяфунк-относительнолинейносистемыПоэтомунуля.уравненийсистемуэтойчастиePrit}емуaкакрассматриватьmi,.

.,msp\)mi—(р..—определяютДляps)ms.членыперегруппироватьj-гостепеньдоказательвправойчастиA.12).формулыПримерРассмотрим1.2.материальнойточки(поодномерногоуравнениедействиемподпрямой)движенияf(t):силытЗаписываяегочтонаходим,вформеканоническойвэтомслучаеАирхарактеристическое0 кратности2.равенНиаболынийПоэтомуединице.eptФункцияна1общий>det(pE=А)D\{jp)—делительминимальныйспектрео;оD(p)уравнение=1~многочленматрицыАимеет0имеетодинминороввидзначенияпринимает=кореньАматрицыф(р)(см.=р2.A.7))Р=оПоэтомуинтерполяционныйзаписатьвОтсюданаходим,полиномвидечтоA.8)врассматриваемомслучаеможноЛинеаризация1.систем79нелинейныхeM=r(A)=AtаA.14)системырешениеможнопредставитьЛэтоj4\приконкретномописанодвижениеуравнениемгдефазовыйn-мерный—каждомприпоtконкретномДлядальнейшегож^Рассмотримх%=to(p(t,вектор-функцияобластиDA.15)уравнениеx)дваждыфазовогоt припонепрерывнаичтоЛ К\некоторойанализауправ-г\(Лавдвижениепредположении,вформет(+—вектор,дифференцируеманепрерывно^2(^0)\dgуправленииканоническойвл,хх?,=t-s\fOприближения.выбранномпервогообъектаxi(to)условиямиt-to\№\+=Уравнения1.3.E=(lначальнымивидев(xx{t)\управляемогос+непрепространствах.каждомудобнопредставитьвидевсистемыХ2Пусть,=далее,dj%{xi(t),.