Егоров А.И. - Основы теории управления, страница 12

.,=полиномN) См.,) См.,объектомявляютсясистемпреобразований.приводятхарактеристическийсистематакихап—2.2.6пред-4).неособенныхкоторыеаN(N)?(?).которойКстатислучаяхлинейных1систе-блокавидеиисследованийВоНаусло-описывает2.2.6.рис.n-мерныевыхо-B.2)структурамногочисленныхпо-—векто-однозначночастьсаначальнымиНелинейнаяB.1),системаа).2.2.5,который?(?)сигналомРсистемы,постоянныели-(рис.сигналсигналопределяется—представить(L)подаетсясиописываютможноблоканекоторогоэтогоВсяИхсистемы.с*ж,B.1)=состояниеЪп,нелинейнаяиB.1)Уравнениячастьвидеnotнепрерывная—2.2.5ip(a,t).B.2)хпразмерностиi)а=характеризующийвектор,матрица(/?(сг,векторы,Рис.управле-виде3)в^постоянна*бвесьмасистем,задачахNнадругаячастности,нелинейныхклассразбиталинейна,нихВприкладныхвLауравнения,можетизнелинейности.встречающихсячтоаОднасодержитсистемыприн-описывающаяпроцесс,подсистемы.выходомкоднихдляуравнений,системауправляемыйвприводитнелинейные.—Всяпокоторыхтому,куправлениялинейныеполучаютсядругихдляприводитзачастуюописаниипридве85управленияошибкам.принципиальнымееавтоматическогонелинейности,теучеллисистемО3.гл.В.А.Якубович—М.:Наука,Устойчивость1978.нелинейныхпре-Гл.86преобразованиеТогдахTz,=ТгдехкMN,=устойчивоститеорииприводитРх=Основы2.уравнениеЬ?+видуZ010000100этомнеТакимеслиранг0Мматрицы1\-1/—ап..меньшетоп,преоб-такогосуществует.образом,B.1),система(еслиприведена-а3чтооказывается,преобразования0100—ах0+z=—а0При/\выполненыB.2)преобразованиемуказанныехусловия)вышеTz=бытьможетканоническойпервойкформе10..0ОО1ОООО1/О0\/+zК~аоегде-а2постоянный—формаканоническая0/Оz=001....ОО-а0О-ахО-а31..гдеQ{с, Р*с,.

.,=ООнополучаетсяР71*^}.ПриэтомУстойчивость3.Рассмотримкоторыйпроцесс,гдеItу=этомимеютусловиях{г/i,. .,гуп},[to, сю). ЗдесьDyограниченныепервыесправедливаединственноеначальномувнекоторомп.равенопределенияf(t,y),C.1)определенаЕп.БудемItаргументам.значенийсистемеDyixчтовnotнепрерывныостальнымкаждой=предполагать,f(t,y)поКоши:Zцилиндревввектор-функцииПри(to,ty°)иэтихZEрешениеуопределенноебытьдолженуравнениемпроизводныетеоремасоответствует=областьfi(t,y)компонентыцилиндреQматрицыОсновныеf(t,y)открытая—zn,=описываетсяфункцияавидпреобразованиемрангV=l)zОЛяпунову.поимеет\..вектор.постоянныйB.2))-ап-х)сг=(Оа7B.1),системы..1\Огдее=вектор.Вторая—аО-anil-an-..\Оинтервале=y{t,to,y°),C.2)(to,условиюy(to,to,V°)=Vo-C-3)to+a)€Itиудовлетворяющеена-Устойчивость3.ВфазовоминтегральнуюСтрелкойэтойt.ЕслиDyпривозрастаниемКпространствеСотмеченочтоC.2)движением,называютназываютсянемутовневозмущенным,можнокаквремякомпактуграницыЪе.т.сю,=[to, сю).C.1)выбрановсевозраста-доположитьуравнениядвижениеСтрел-скомпактаинтервалкакое—либоеслиэтоготорешениеу0.y(t)некоторомуd2.3.1),рис.каждоепричемпринадлежитрасстояниеиполубесконечныйнаустойчивоститеорииy(t)Ь)+определяетточкуточкидвиженияточкаto(см.решениеВ(to,t Gположительнопродолжитьчерезпроходящуюнаправлениеоказывается,любомDy2.3.1),C.2)решениег/1,.

.,г/п(рис.y(t)кривойобластикпеременныхкривуюна87Ляпуновупоназыватьпринятотозаранее,остальныеегоподвиженияназы-отношениювозмущенными.УТОРис.Эточтоозначает,C.2),решениеРис.2.3.1еслиудовлетворяющеедвижением.ВсеудовлетворяющиеостальныеточкаусловиюC.3),tприto)=темитотогорешенияусловиямдругиму0выбранаоноже2.3.2самымопределеноназываетсяC.1)уравненияназываютсяреше-невозмущенным(т.е.удовлетво-движения-возмущеннымидвижениями.Определениесуществует2/@—to)(рис.анеиз2.3.2).утого5)жеВдальнейшем=не—увозрастает=уравнения,0.ВыберемЦаЦ^п,малоеа={а\,.ег/@).,ап},обозначается=вtoвообще[to, сю),rj(t)удовлетворяет0>:реше-r](t),решениеОнооо.=немуt >вокругполуинтервалеусловиюгдекрешенияустойчивость.имеет^произвольноудовлетворяющеесимволом1tприS<припостроеннуюегоОублизкиебесконечномследует+ t +оо,>оо.погруженыустойчивостиизнаrj(t)Уравнение7]@)условиютрубку,чтоt <достаточно<едвижения)т](Ьо)\\еп—<t^toлюбогодляto?,целикомограниченностьнеограниченноначальномуеслиузкуюрешения<—решенияотметим,его3.1.to=угодноКстативытекаетПример[to, сю);,rj(t)\ Enустойчиво,tскольограниченностиочевидно,решениеrj(t)временизаданнуюговоря,условию5)\ y(t)решениеесли(возмущенные\ y(to)решенияполуинтервалемоментrj(t)всенеравенствуговоря,заранеерешениячтотакое,rj(t),Ляпунову,поудовлетворяющиенаначальныйв0>C.1),1)определены2)удовлетворяютдвижение)устойчивымназываетсяуравненияИначе(невозмущенноеРешение3.1.C.1)5(s,уравнения=t,которое,началь-ипостроиму0.ОновеличинарешеимеетвидJY1а\-88Гл.Основы2.ЛегкоПоэтомуг/@)|-Это\у°\=<\у°\=можно\y(t)ивзятьбудем=чтоозначает,7/@I—5 здесьSе,качествев|г/@)\у@)чтовидеть,е,\y(t)иметьнеограниченноеvityl~тогдаиу0,t^toПРИвсех<<оо.которыхдляе.rj(t)решениеУ°^дляrj(t)\-устойчивоститеорииt=исходногоуравненияустойчивым.являетсяОпределениеЕсли3.2.Sчислоопределению,времениtoравномернона[а, Ь],Етонепредыдущемуотзависящимначальногомоментаустойчивымназываетсядвижениерав-[а, Ь].отрезке(невозмущенноеРешение3.3.C.1)удовлетворяющеговыбратьневозмущенноеОпределениеуравнениярешения,дляможнонеустойчивымназываетсядвижение)Ляпунову,поеслиrj(t)ононеуравне-устой-являетсяустойчивым.ЭтоозначаетSлюбогодвижение) y(t)-ri(h)\\Извлюбойопределения,toy(t),свойствомlim\ y(t)rj(t)A—rj(t)еслисуществует(to)во-первых,числоAилипорождающаявсюполуосьC.1)называется(to)v(to)\\которогодляtoоо.во-вторых,и,чтотакое,Д(^о)?<t <<асимптоти-0>моментвустойчиво—всеобладаютрешесвойст-устойчивогоасимптотическидлябратьможнобольшим,произвольноr](t)решениесю,=оно,\ y(to)когдаслучае,A(to)наявляетсяоо-^=0.частномчислоtуравненияусловию-rj(t)\томположить[0, сю)Eу0,точкапоЛяпунову,удовлетворяющиеВрешения\y(ti)8,<неустойчивымtпринепродолжимоепоtoопределенонайдетсяРешение3.4.любогорешениядлядвиже-—чтоследует,7/(to)y(t),решениеустойчивымдлячтотакое,(возмущенноеrj(to)\\\ y(to)что0>еоднорешениетакие,некотороеточкиОпределениеасимптотическиti(S)=частности,вy(t),решениеокрестностивремениtодноe.тоиуказатьбыхотябыхотявремениэтоготакжеможномоменти>Существуетследующее.0>называетсярешее.т.можнополо-устойчивымасимптотическивцелом.Приведенные7/(t)решениясравнениивчтопоказывают,этогоначальныймомент7/(t)ПустьC.1).fj(t)ТогдаВПОЛОЖИВ/,ч/онеобходимыеИзC.6)формулытождественнорешение=6,чтоПоэтомунулю.котороевсилусимволомвобозначенсрав-которыепозволяетпеременной,заменул\C.1)приводимквидуX(t,x),C.5)=V(t))+-компоненты6)всеуравнениеC.4)формулывекторсисте-определяетсясделаемf(t,r](t)).C.6)X^(t,#)C.5)соответствуетдвижению.) Здесьреше-y-r](t).C.4)/(*,х=следует,равныx(t)х)C.1),обстоятельствокотороеуравнениеxX(t,д.)вуравненияЭтоC.1)=вычисления,где7/(to).куравненииxВыполняяжедвижение,/(t,7/(t)).=rj(t)т.познаютсяобразом.следующимневозмущенное—тогоблизкиtoвремениифункциирешениямидругимирешенийанализнеустойчивостисвойствауказанныесрешенияупроститьсистемой(устойчивости,определенияснулевымикомпонентами.имеетвекторатривиальноеневозмущенномуX(t,6)реше-Устойчивость3.ТакимможноЛяпунову89пообразом,ктривиальноеC.5),видуx(t)решениеПримерДля3.2.Вводязапишему\или,тожеисходноеУ\^—+х=за-уравнение2?,C.7)самое,у2]Пустьхуравнениему2=-2/1+sinг/22/1=2/2,чтох,=колеба-вынужденныеописываютсяC.1)системывидевмалыерассмотримкоторыеобозначенияновыевсегдаявляетсядвижениемневозмущенным0.=маятника,sin2?.=системыдвиженияуравнениекоторомвиллюстрацииматематическогоколебанияC.4)преобразованиемпривести-1\этогодвижениемневозмущенным+) \у2)0^функцияявляетсяуравнениягде1О-1Такi,=какp2характеристическое—i,=eltфункцииe~lt.Поэтомуr(p)Отсюдаeptфункциизначениями(рЕdetуравнениетоиОна0=спектреинтерполяционныйкорниАимеетpsint=——имеетматрицыполиномe%t —;e~2t=А)—+р\=являютсявидcost.чтоследует,АОл—Следовательно,.Л1Оу\0хt +sin(\\г,0\(1Jулcost=.smt,,—smtимеетдвижениеневозмущенноеtcoscostвидsin'—i|[5cosi-2cos2t]ВC.7)уравненииxiВитогег/i=-получаемделаем[5-заменуsin?-x\(t)rj(t)движениюВдвижения,несколько=исходнойдальнейшемаx2{t)=системыуравнениесоответствующиеупрощаются.2t],x20этих=Х2,Х2уравненийуравненийC.5)определенияУ2=относительноуравнения±iРешениеsin~^х\и=—Х\.^2[5cos(см.соответствуетt-2cos2t].C.5))невозмущенномудви-C.7).называетсяуравнениемвтеориидви-возмущенногоустойчивостидлянегонес-90Гл.ОпределениевозмущенногосуществуетC.5)кромееслиx(t)решениенасправедливотого,тривиальноеЗдесьA^x(t)тривиального?toприt <<0,C.8)устойчивым,гдеберетсямаксимумпооб-аположенияпритяженияравновесия.всемтем?,которыхдляасимптотическойслучаевобластьюустойчивостиявляетсяпритяженияцеломвфазовоевсетривиальсисте-пространствоC.5).системыЗдесьцелесообразноливрядтривиальногоЧитательлегко3.2иприводитьx(t)решенияопределенийв=можетсещерассматриваютсяz(p(t,z)темудовлетворяетзаданной,считаетсяаТакимОпределениеудовлетворяют\ z(t)Из5i<rj(t)\всевсегдаперио-каких-товСполностью.заданане-которыечтотого,уравнениямиустойчи-исследованиипри<е^(to)||—t0прибудет3.1.возмущенияхТакимto)^t<z(t)=#2?^C.9),уравненияна^чтокоторыеудовле-(to,промежуткесю)чтосовпадатьобразом,частности,немвC.1),уравнениемизеслиустойчивостиустойчивость(p(t,взятьаэтоБудемрассматриватьдифференциальнымиив,=определениепостоянноприz)относительнолинейныхУстойчивостьсистемы,уравнениямидействуюначальныхсистемповедениекоторыхвидаописываетсято—возмущений.4.0>такие,ос.св#2(?,?())иепроизвольныхдляопределеныследует,следует,0>устойчивымназываетсяесли<определения(C.9))C.1)уравненияzрешения| ^(to)определениемдействующихисключаетнапример,<5i(s,указатьприведенногоуравнениеz)свойствамивозмущения,невозмущениях,можноусловию—/(t,какимидифференцируемость,бытьrj(t)Решение3.6.@, сю)z)||| (/?(t,этодело,теориивуравне-Функцияz).лишь,характеризуетиметьдействующихпостоянноприопределе-циклов.предельныхG/(t,иизвестнозначение,можетсрприходитсяz)нормеОднакофункциятипачтод.).(p(t,z)т.известны.случаяхподобногоtoиз<p(t,z),C.9)условиям,поифункцияточноприрешения.описываютсякоторые(/?(t,tобразом,недостаточноустойчивостижеC.1),уравнением+относительнопеременнойпочастныхисходяпроцессы,иf(t,z)=же(максимальноеобладаетонапериодичностьтри-тогосамостоятельноописываютсякоторыевидагдеустойчивогоэтосделатьпроцессами,устойчивостиуравненияминеустойчивостиопределениеравномерноили3.5.Нарядулинейнымиоо.C.8).чторешенияусло<асимптотическиобластьюусловиеОчевидно,| х(?)||=называется?выполняетсяудовлетворяющееравенство(to) называетсяniaxE(?,to),—возмущен0 существу->гсю);неравенствосправедливорешение| х|Д(?о)C.5),(to,limтоуравнениялюбогодляуравненияинтервалеt^ooобластьв=чта=Если,устойчивым,устойчивоститеорииx(t)решениеназываетсятакое,5(e,to)1)произвольное<S, определено| х(?о)||такихрешений2)дляSТривиальное3.5.движенияусловиюиОсновы2.линей-с4-Устойчивостьсистем91линейныхD.1)A(t)гдеf(t)инепрерывныхпразмерностьна[to, сю).полуинтервалеСоответствующееп.уравнениеA(t)МатрицаимеетразимеетдвижениявозмущенноговидхНаоснованииочевидныеследующиеДлячтобытоголюбоерешениенеобходиморешенияОбщие4.1.общемобнепрактическианализомрешенийэтихПоэтомуэтомТеоремаихана-устойчивости.косвенныеявляетсяспризнаки,конкретноеобщиенекоторыепозицийс4.1.по-невозмущенноеДлячтобытоготеоремы,тривиальноерешениеD.2)уравнениячтобыдостаточно,ихарактеризующиеустойчивости.теориинеобходимоустойчивым,былообурав-непосредственнымиразнообразныедоказываютсяD.2)инестационарныхнестационарныминет.илипунктеD.1)вопросустанавливать,устойчивымсистемырешенияинтересможнокоторыхдвижениеихнапредставляютпомощьюВудаетсяанали-D.2).линейныхописываетсяпроцесснайтиописы-систем,ограничитьсядвиженияустойчивостиответить(асимптоти-линейныхвозмущенногокогдаслучае,(асимп-устойчивымустойчиводостаточноуравнениятеоремыВуравнениями,сле-D.2).уравнениями,тривиальногобылобылоустойчивостивопросовдифференциальнымисистем.чтобыуравненияанализеприD.1)уравнениядостаточно,ирешениеПоэтомуанализомсформулироватьможноутверждения.(асимптотически),(асимптотически) тривиальноеописываемыхопределенийвышевведенныхA(t)x.D.2)=любоеегобыбылорешениеограниченным.Необходимость.Доказательство.Докажем,устойчиво.чтоx(t),Функциюограничено.Допустим,произвольноекакгдеW(t,s)приtформулепредположению| х(?)||требованиеD.3)<Отсюда?,| х(?)||<=?находим,жеуравнения,to^изD.5),Таким<чтообразом,столбецприусловиитривиальное=этой| х°||D.4)<решениеS0>| W(?,?o)x°||<Мпостояннаятакое,форму-согласновиде?>по-ичтотакая,(?0,оо).D.4)t eD.3){wik(t,to)}D.2)уравнения>ограниченбудетследовательно,0,то,полагаявыполнятьсяуравненияприt[to, сю).EМпостояннаяSнеравенствоD.2)тогорешениемсуществуети,Такограничено.являетсяматрицые5(s,to)=Следовательно,ТогдазаданоSограничено.Wik(t,to).еслиS.D.3)неравенствоПоэтому,существуетврешениефункциисю.0<всехW(t,to)каждыйтовыполняетсяtx(t)функциизначение—существуетприрешениелюбоематрицыограниченычтоМ<ПустьПоэтомутакая,х°азаписатье.т.любоестолбец| ^°||можноограничена,что>е| х(?о)||W(t,to)Достаточность.каждыйограни-видевD.2),любоготолько\ W(t,to)\\какО=W(t,to)x°,D.3)=уравнениядлякакматрицапоэтомуD.2)уравненияпредставитьx°(t)решениеto.=ПочтоКошиматрицаx(t)решениеможноизвестно,x(t)—чтоустойчиво.=| х(?)||еМ~1,та-М||х°||,<находим| ж(?)||<е.92Гл.Теорема4.2.Дляустойчивым,асимптотическиобладалорешениечтобытоготривиальноеD.2)11ж5@11Пусть5(s,=to)0>l|W(^o)#°||<ечтотакое,изПустьx(t)теперьВведем| x(to)||| х°||,=ностиначалаt^ooе.z(t)решение0,=асилувДостаточность.ТакТогдакакD.2)ав>0чтоследует,такжеD.6)).уравнениякромеи,моментD.7)| z(to)||того,находитсявимеемобладаетсвойствомже=?-окрест-D.6))соотношениютем| х(?)||являетсячто| x(t)|?tпри>еТ,аМчтонаходим,реше-решениечтотеперь,| x(to)||неравенства[to,T]<5 следует,обладаетнечторассматриватьАматрицавуравнениекакслучае,) Здеськоординат.символомизвестно,xs (?)иАу==+чтотакое,решение,арешениедругоепостоянна,т.уравне-Допустимбудемсистем.D.2)D.8),D.9)свойствоме.те-рассмат-№D.10)движенияАх.D.11)Кошиматрицаобозначаетсялюбоеивозмущенногохэтом5(e,to)=соотношениестационарныхУему5решения,ноD.1)уравненияхуравнениесоответствующеетакая,теоремыустойчиво.справедливоx5(t),линейныхУстойчивость4.2.теперь,Мпостояннаяпредыдущейтривиальноготипа7)решениечтофунк-=0.D.9)которомприустойчивоститолькотакой,t^t0D.8)| ж(*)||D.2).уравнениясуществуетприE,указанногодоказанной0Т=непрерывнаячтоlimизкакD.2)>еt^ooСуществованиеоснованииуравнения\ x(t)\ <eвытекаетнанепрерывно.tвременирешениеусло-x(t)существуетлюбогодляудовлетворяетрешениеимоментэтоСледовательно,^ to.ОтсюдаtтривиальноеПокажемтоуказатьотрезкевсехдляD.2)уравнениянепрерывна,можнонаограниченным.<решениеA(t)матрицалюбогодля<функцияначаларешениесогласнолюбоеПустьD.5).условиюВS<[to, сю),=x{t).ниеи| х°||неравенствауравненияначальныйвСледовательно,формулыкоординат.|U(t)|limрешениемт.епроизвольногополуинтервала*)=р?г("-D7)являетсяочевидно,=егоx(t)решениедля(нетривиальное)произвольноефункциюновуюОна,былолюбое\ xs(t)| =0.D.6)lim—изtвсехПРИтривиальноеПоэтомуустойчиво.асимптотическиS=чтобы=0.D.5)\ x(t)\Необходимость.существуетD.2)уравнениядостаточно,исвойствомДоказательство.уравненияустойчивоститеориирешениенеобходимоlimизОсновы2.D.11)уравнениякотороеначинаетсяимеетвE-окрестностивидна-Устойчивость4-общиеасистем93линейныхD.10)уравненийрешенияD.11)иможнозаписатьтак:rty(t)гдеис\eA(t-to)ci=С2полныйможногдер\,.