Егоров А.И. - Основы теории управления, страница 13

.,матрицыА.Этоij (t)многочлена(р=Предположим,piI711—(р..+аПоэтому+miа+..егоминимальногоопределениевps)ms,—ТеоремаD.17)получаем| eAt|<Mne(a+?)t,Если4.3.0>ЫЩер^0,<евсеотрицательные0>иеms^т=п.<Me(a+e)t,корни0.D.14)<a=чтотакие,уравненияточасти,любоеиoo).D.15)[to, ос).характеристического(а следовательно,(t0,t eteвещественныеD.11)Repi<..Мформулыизуравнения<постоянныесуществуютимеютвходятrrtjматри-уравнениякоэффициенты,матричныечтоRepsТогдахарактеристическогоимеетЧисла1.—урав-функ-поведенияформулойy>j(t)rrijэтихраненияанализакорнейполиномовпревосходитустойчивостивоспользоватьсянаборизнееслиполныйКаждыйeA(t-to)c2,D.12)=непосредственногосделать,—обвопросапутемлегкоpsстепеньанализвыполнитьем.функцииx(t)ds,векторы.образом,уравненийeA^-s)f(s)Jt0произвольные—Таким/+решениеАматрицытривиальноерешениеD.10))уравненияурав-устойчивоасимптотически.ЛюбоеДоказательство.вD.12),видеОтсюдаиНатривиальноеЕсли4.4.АматрицырешениеD.1))уравнения<D.13)?i-s^2вектора0>вМпе^а+е^.0.решениеуравне-корнейизхарактеристическогоуравточасть,любоеитриви-решениеуравне-характеристического< 0 <уравнения7=Repr+i<занумеру-Reps.<..Тогда,видефакты.х°иpiRepr<..следующиелюбого-тривиальное(а следовательно,КорниRepiустановить7что<=вещественнуюD.11)формулуДлячтоlimположительнуюуравнениязаписываяможноЦхГ^Ц^п.чтопредставить\ x(t)\неустойчиво.чтобытак,одинбыхотяимеетДоказательство.занумеруемнаходим,можноимеемустойчиво.асимптотическиТеоремауравненияD.15)иследует,2.2теоремыD.11)уравненияD.14)D.15)основанииD.11)уравнениярешениенеравенствамнеравенствасилувсогласносуществуютпостоянныеMi>0иSi>0такие,94Гл.Т.t >при\ x(t)\иОсновы2.Поэтому\ eA^-to)x°\\=>MieG-?l)(t-to)вскобкахстоящеевыражение,t стремитсявозрастаниеми0 <5всехскалярнаяфункцияправойв=частиОтсюдаснеравенства,полученногочтоследует,Твыбратьможно>чтоТ.превосходящих(p(t)Согласно-M2e?2(t-to)единице.к1 такие,<?,дляустойчивоститеории| х(?)||=2.1теоремеИзнеравенстваполученноготривиальноенарешениечтоследует,неограниченнойявляетсяD.11)уравненияскаляр-[to, сю).полуинтерваленеустой-являетсянеустойчивым.Теоремауравнения4.5.вчастью,вещественныесредиПустьАматрицытокорнейимеетсякаквремяpi,.

.,psхарактеристическогокорнейнесколькоостальныеимеюткорниурав-нулевойсвещественнойотрицательныевеществен-части.Тогда:1)есливсемпростыено2)еслибыодномуRepi=когдаRepr+i>>скорнямделители...уравне-чтобытак,занумеруем5,. .,соответ-решение>Reps,вещественнойнулевойТогдачастьюD.13)формулуможно=р=АУ".ф(р)(p=(ro,-yu=0j=r+l—iУ"^^Pi)•••(p—-1'vPr){p-—1)!p=PjPr+i)mr+1•••(p—Ps)ms—минимальныймно-aмногочлен,Такоепростомуразностирассматриваемом0элементарные1-[LP-Pj]где1, 2,частьютривиальноевидевeAtD.11)уравнениявещественнойто==случай,простыесоответствуютнулевойр^гRepr=..сначалапредставитьсоответствуютрешениеделитель,КорнирассмотримчастьютривиальноескорнюэлементарныйДоказательство.итоасимптотически;хотяD.11)уравнениянекратныйнеустойчиво.соответствуетвещественнойделители,элементарныеустойчиво,нулевойскорнямвслучаепредставлениефункцииeAtэлементарномуделителюрминимальномнепосредственно—можноpjПоэтомумногочлене.представитьв3=13=г+1видеизследуетформулуD.13)того,вчтоэтойстепеньперваясоответствуетрассматри-ОУстойчивость4гдеCjлинейныхпостоянная—95системкоэффициентами.Таксуществуетпостояннаякак(fj(t)aматрица,корниимеютpi,.

.,prМАналогично,коэффи-матричнымивещественныеточасти,ijчтотого,силувчасти,снулевыечтотакая,/вещественныеполиномы—корниимеют,pspr+i,. .положительныесуществуютве-отрицательныеMiпостоянныеиечтотакие,Еj=r+lMx°Здесьвыбранный,произвольно—x(t)можнооценитьИзэтого[to, сю)G?,всехи11^@11l ^lкорнюобразом,простыесоответствуютэлементарные2.2теоременестремитсячтовнулюрешениеуравненияtсоответ-pi,. .,prx(t)g^(*—*o)^o=неПоэтомусю.-^корнямD.5)D.11)условиепривектор.прикогдаслучае,задано)решениенекоторый—к7соответствиев?всехпри(гдеto.>поставитьрешениеОднакотривиальноеТгдеделители,[to, сю).полуинтервалеможноsin/i ?)?,доказано,ограниченаМ^числоi\±\=+x(t)значит,И5| х(?)||величинуPjm\tМ1е-^-*0\+функциябольшое(cos=0=ТакимнаположительнуюePjt ;<Mчтоследует,превосходитдостаточно="~\ x(t)\<неравенствастороны,x(t)ре-еА^х°=Мге-^-^-превосходящихС другойвидаПоэтомувектор.образом:следующимМtфиксированныйнорешениеограниченовыполняется,согласноиустойчиво,нонеасимпто-асимптотически.Пустьделительбыхотятеперьэлементарныйсоответствуетем(fi(t)гдеполином—одногоограниченнойостаетсязначит,тривиальноеДоказанныеустойчивостикоэффициентамиD.10)иD.11).а(f2(t),товв•(fr(t)•,видеto-Отсюдаследует,—>сюполностьюсюбыхотядля—>сю,неустойчиво.срешаетсяэлементарныхtинформациюуравнения—>чтоприD.11)По-полиномы.~tприфункцияуравненияи•времяжеисчерпывающуюлинейногоуравнениядели-отрицательныепредставитьвозрастает| е^*~*°)х°||даютВопросможностепени,t >всех=решениерешенияхарактеристическогож0,теоремыимеютpr+i,.

.,psнеограниченнопри| х(?)||и,первойнижевектораненулевогортакойчтосчитать,=| (/?i(t)ePltx0||функцияПоэтомунеКорниемр\.кратныйсоответствуетpsбудемфункциюТогдачасти.вещественныер\,. .,определенностикорнюлишькорнейизодномуДляделитель.поанализомделителейвопросуус-коэффициента-постояннымисвойствматрицыкорнейА.ха-96Гл.Устойчивость4.3.пунктеизлагаютсянекоторыеповедениеA(t)гдеСоответствующеенестационарныхрезультатыпоописатьматрица,уравнениехосновеметодахарактеристического(p(t)ПустьЧислоесли=называтьхарактеристиче-наопределенная{?&},Определениеоо—>[to, оо).полуинтервале(p(t)функцииtk=кприоо—>tпри—>ес-оо,чтотакая,се=Т,Т>2)а=Такимеслиt0,+оо,любогочтоip(t)такая,числе(p(t)определениюограниченаtkоо—>кприИзнижнего/3,(/?(?)функциятоопределенийэтихлегкоt(/?(?),ВтожепределC функциипределприконеч-ввремясуществует(p(tk)чтотакая,оо,верхнийлишьа,t.—>+оо.—>имеющаяпревосходящиенижнийсе.—>ip(t)приt+оо:-^limC==(f(t).постоян-прифункциявозрастании{tk},сеlim=существуетсверхузначения,определяетсяЕчисланенеограниченномпоследовательностьЕслисеТ;t >приприниматьприАналогичнообозначаетсяиназываетсясепределовооотрицательногофункцияможетсе,точекчастичных—>t—>ооЕ<согласноеслиравныйконечномдляобразом,предел,tпричто:считается,оо,—из(p(t)функцииэтом1)аНаибольший4.1.пределомПриимеетполучитьtоо—>(/?(t)limиt^ooсвойстваследующиесе.=верхнегоиниж-пределов.1.ip(t)ЕслифСЪ),<2.СправедливоВШптосамомделе,3.Еслиt—>-CX)t—>•(p(t)функцииlimДоказательствавсехихнеОпределениеназывается<этихEm<свойствlimверхнегоlim+(p(t)y?m-0(t)^limпределаt—>-CX)cos2=гШ0иi/j(t).lim+(X)—ay?(t)чтоlim^sin2t,=таковы,Mt)i)(t)}ij (t)]=^(t)t.Тогда2.^0приt >to,4.2.Функциях[/],достаточнопросты,ипоказателем[to, оо).формулойопределяемаяфункциитоMt).будем.характеристическимполуинтервале^@1ij (t)и+(/?(?)+Mt).[<p(t)lim\ip(t)limlim<например,пусть,=t^oot^oot^ooприводитьy?(t)неравенство1напонятие<p(tk).limверхнимпостояннаялежитпределомчастичнымпоследовательностьсуществуетоо.D.16)<Ляпуновым.функция,скалярная—будемсеСоответст-функция.видt<системA.M.пунк-систем,оо,непрерывнаяt0такихвведенногоt <<имеетA(t)x,=исследованияпоказателя,f(t)—движениявозмущенногоэтомлинейныхвидаt0aВсистем.f(t),+устойчивоститеорииустойчивоститеорииуравнениямиA(t)y=непрерывная—линейныхможнокоторыхyВОсновы2.f(t),котораязаданаУстойчивость4-f(t)Пусть=eatе^а+г^^,=%[/]соответствиисфункционалом,Отметим4.Если1)любогодляпри0>готТ,? >ф ±оо,oi=показательявляется|/(?)|,функциймножествеотличной\F(t)\<tot <<сю.постояннойнуля*[/]тос.x[F]-<то:справедливоравенствоD-17)e2){?&}последовательностьсуществуетобратно,т0x[f]если^Первыеже,х\Щ]=оо,D.18)произвольно—малого,ТДокажемочевидны.Отсюда,а-число,гдеПредположимТогда,очевидно,^се(а+ФВсилуеЕсли,кромеtk>ОтсюдаNичтоследовательно,ПриведенныеемудостаточноD.18),ик>0чтотакие,—х[е^а+е^Т]се-соотношениеNТи^По-е.D.18).иравенствох[се^а+е^]x[f]выполняетсяотD.17)чтотакие,тонаходим,|/(?&)|>чтоке(уСХ~?Л>'ЬксуприD.18).условиеполучаемX[f\>и,%[/]числазависимостисправедливо0>^получаембольшиетаких,0>есвыполняетсятого,достаточновсоотношенийлюбогоотсюдаИзе.k>N,такжеследовательно,и,произвольностисуществуютвсехТ,отt>T^припостоянныесуществуютt >припро-длязависимостиввыбираемоедлячтонаходим,выбираетсясправедливостьчтодо-виметьпричисло,теперь,а.=нуждаютсячто>e^-?/2)tkдоказываютнеравенстваПолученные%[/]ilнаходим,большоедостаточно—будемкоторое\ f(tk)\Nтосвойство.4.2,0<e(«+e/2)t( \f(t)\неt>T,limприбольшоеD.18),четвертое>еD.10),соотношениеопределениювыбранногосоотношенийпоследнихдвухвыполненосоотношениелишьсогласнозаранеедостаточно—еместопоказателяln|/(t)|<a+|гделюбомприимееттого,чтотакая,характеристическогоОниx[f]Пустькромесвойстватридоказательстве.анекоторогодляеслиа->сю^T.e.и,=свойства.любойДля|/(?)|х[/]3.Если\f(t)\чтоочевидно,характеристическийнаегох[/]—Тогдапостоянные.—а.=заданосновныеx[cf]Cиопределениемкоторый2-агдеследовательно,и,Всистем97линейных%[/]свойстванаглядную^Jim1-ln|/(tfe)|=-a-eсе.характеристическогоинтерпретацию.показателяпозволяютдатьГл.98x[f]Еслиy=\f(t)\tприбыстрее,ПXЛ}к=1правойxifi]Есличастих[/г]иОпределениеЕсликонечныеx[F\отметимможноEX[fk]к=1чтоусловии,притопоказателемматрицыmaxxLAfc]ксвойствомфункций,показа-конечны.числа,=воспользоватьсятонетриви-доказательства.UнеравенстваХарактеристическимвеличинаскалярныхэтого~~4.3.называетсянесколько|тт7.^\а-?)г=fc=i6вуисюX2.4.1слагаемыее—>характеристическогоприведем5.е(а+?)*^{?&}функциябез\f(t)\=положительномСледующиесвойствнетривиальныхвсемедленнее,чем2.2.1).показателяучемпоследовательностирастет(рис.функциятосюмаломнекоторойпо0,>—>произвольноприустойчивоститеории&=возрастаетРис.Основы2.доказатьпоказателяхарактеристическогосвойстврядскаляр-х[-^Ч?величинысредикоторыхследующие.Если1.однойопределяютсяF(t)матрицаизтоконечномерна,%[F(t)]=х[| -^||]?11-^11гДеопреде-формул:следующих| F| =max]T|/ifc|,ik2-ХтUF33-ХОпределениеМножество4.4.всехпоказателейхарактеристическихназываетсяегоназыватьспектромпоказателемЧтобыпояснитьx(t)решениесмыслD.16)уравнениялинейнонезависимыхегоэтого±оо)отха-D.16)уравненияназы-показательа^будемуравнения.определения,можноотличныхкаждыйасистемы,характеристическиме.линейногорешенияа^илиспектром(т.конечныхлюбоечтонапомним,какпредставитьреше-комбинациюлинейнуюпрешенийг=1где7гуравнения—постоянные,D.16).матрицу)aКаждоеспрешениенаходим,xn(t)xr{t)—линейнонезависимыесобойпредставляетрешениявектор(т.уравнее.одномернуюкомпонентами.Используяпоказателей,x1(t),.

.,перечисленныечтовышесвойствахарактеристическихпоказате-Устойчивость5.систем99линейныхспециальныхX[x(t)]т.характеристическийе.глюбогопоказательпревосходитмаксимальногонезависимыхегоизКаждоерешений.характеристическийD.16)уравненияизиметьD.16)естьг1,. .,п,=основаниясвойимеетчтополагать,характеристическийегопренеза-спектрпоказателей.характеристическихтоотрицателен,нелинейнопxl(t),решенийпнаибольшийЕсли4.6.пD.16)уравненияпоказателейПоэтомуможетТеоремарешенияхарактеристическихпоказатель.уравнениятахх№Ш,<показательтривиальноеаx(t)решение0=урав-устойчивоасимптотически.ВозьмемДоказательство.D.16).уравненияТогдаимеемсхЫПоэтомуПри<е—0tпри—>показателясогласноиоо,2.3tпритривиальноеоо.—>решениеустойчиво.устойчивостивопросовтакопределяетсяобщихдляполезнымкотороеиме-матрицы0—>теоремеx(t)решение0.<е—| ж(?)||е~(а+е^асимптотическиОпределениеаследовательно,И5оказываетсясистем,нетривиальноечтобытакое,1 характеристическогоа—>анализесистемпроизвольное0>есвойстваучетомх[|М|]| х(?)||D.16)=уравнениянелинейныхВыберемправильностиобразом.следующимЛинейная4.5.нелиней-нестационарныхсвойствоназываемоесистемапXi^2=aik(t)xk,г1,=2,п,.