Егоров А.И. - Основы теории управления, страница 9

,=UI S%1Zизпринадле-чтоследует,п,П.eг=1Еслив)свойствосправедливопприалгебратосю,=называетсяа-алгеброй.Алгебравнутреннейлинейной,называетсявнешнейоднойиТакимипространства.операция)(внутренняяи(внешняя1)s2)sоперациямиобозначенЛ,надасаксиомамбытьсложениеоднойвнут-векторного(внутрен-элементовнанекоторое—SотношениеэлементыполяскалярногоскалярноеXСхYXполе,иYлиней-—непусто.далее:S&s'eS=>seS&аеА=>as(внутреннюю)(внешней)S5;сложения(полной)"полнота"например:какУ,линейнойС.ФоминН.,хобо-asчерезсистемынеявля-неполныевстречаютсяЭлементыВ.асистемой.частодовольноА.КолмогоровлинейнойопределениивприложенияхвXвскаляр12).наумноженияабстрактнойтак) См.,Наука,e5;eоперациютерминаслучайным,s'+операцииназываетсяУпоминаниеМ.:ЛeТогда—множествоммножестваПусть9.5.результатявляетсяявляетсямогутэлементовумножениеобозначает+гдеонаудовлетворяющимиоперация).ОпределениеалгебрыПусть,линейныееслиоперациями,функциональногоанализа.1989.множество.пустое) 0сложения) Операция(ж, у) + (х\, гц)—образом:аеЛ.(жнаумножениеи=+х\,у+у\)скаляриа(х,у)наопределяются=(ах,ау),гдеX(ж, у)YхеестественнымS,(x\,yi)eS,66Гл.системы.Клинейнымидифференциальнымитаковым,условийначальныхотносятсянапример,неПоэтомуусловия.системанедальнейшемполной,Основнойбудемограниченийесли,начтопредполагать,неконечно,относящийсярезультат,Однакопространство.никакихмыоговоренолинейнымкли-началь-допустимыхлинейноенакладываетсявявляетсяописываютсякоторыемножествоопределяетобычносистемуправляемыхсистемы,уравнениями,которыхуправлениятеориимоделированиеМатематическое1.втео-всле-начальныелинейнаякаждаяпротивное.системамсостоитследующем.ТеоремаСистемаSУ,—>всехкаконоДоказательствобудем13),решениюзадаччтокаждыйпрактическиСтолькохY—>Y—>R(c,x)егоименеенетеорииособоследуетлинейныхобщихтеории:+приводитьрассматриваемойнеR2иRi(c)=кподчеркнуть,системопираетсяSПустьXсYхлинейная—Отображениесистема.глобальнойлинейнойназываетсяреакциейсистемытогдаикогда:тогда,1)R2)ССR\:равенствогромоздкоТемжекогдачто:приложенииврезультат9.6.хдаеттемтеорему.Определение:такаяитогда,толькоЛ]достаточночтооднимиотображенийуправления.сформулированнуюY—>полемсправедливоXхтеоремымалотеорииXхлинейныхСЕэтойтакСнадтаких(с,х)длятогдалинейнойR:надалгебрылинейные—являетсяалгебройпарачтоYиYреакция1)С2)существуетнахлинейнойявляетсяRXСглобальнаясуществуетXXПусть9.2.Л.полемS,ссогласуется(х, г/)е.т.ЕалгебройлинейнойявляетсяS(В с) [у<=>ЛполемнадR(c,=х)];алгебрлинейныхскаляровХиУ;3)существуютПриСэтомглобальной2)3)).ненареакциейXR2'.навход.[у=R(c,x)],можетвведенногоаRопределениядляли-(условияусловийдвухописыватьсяиреакцией,определенияполучаетсяважноеследующееследствие9.2.теоремыСледствие)Система9.1.длянееОноосновы.существуетприведенов—М.:Мир,Месаровичкниге:1978.тогдалинейнойявляетсялинейнаяглобальнаяМ.,итогда,толькореакция.ТакахараЯ.Общая—условия:лишьещесистемыR\линейной.являетсяY—>обстоятельство.важноевыполнениевыполнениелинейнойисостояний,следующее(Зс)<=>необходимоповедениеучетомкогдаматематическиеSЕреакцииПоэтомуС(х,г/)Y—>глобальныхглобальной—требуетсяреакциие.т.глобальнойикотораяизS,сR2вниманиеглобальнойсогласуетсялинейнойобъектомсостояние,С:равенствоaобратитьследуетR\справедливолинейнымнаопределенииSЕназываетсяреакциейЗдесьВ(ж, у)любыхдляотображениялинейныхдвачтотакие,теориясистем:матема-9.общейПрименениеОбщие9.3.теориюсистем67теориинаоснованнуюотношение)Чтобысистемы.временныесистем,некоторойстроитьЭтоструктурой.тео-содержательнуюнеобходимо9.1,определениинаделитьможносделать(каксистемуизоднимследующихспособов.1.Ввестидополнительную(например,рассматриватьструктурой).подходящейВкакрассматриватьЧтобыформализоватьслучаеполучаемввестиобщеепонятиевекторовизматематическуюсистемы)отношениеобозначенийсчитать,далее,следующиеВведем,внаиболее(общейвременной(абстрактное)Тобозначения.дляаtTE0.t'иаудобстваэлементлюбыхДляТ,^,минимальныйимеетсясис-множествосимволомхарактеризоватьвчертысущественныевремениупорядоченноечтоформализоминимальнуювремени.моментовбудемнеобходимоэтомприонемсистемы.использоватьдолжнаМножествомпорядкабудемрасt.временнойсистемы,формализациялинейноеможноV^.абстрактнойотражая9.7.называетсяподхо-систему.представленийОпределениеV\Eпараметраобъектовсамихвременнойструктуру,интуитивныхсx(t)отзависящихалгебраическуюЭтанекотороедля(на-системымножествоэлементЕп,понятиепонятиевремени.нашихкакпримереопределяетсяслучаевторомV%непосредственноструктурупервомViобъектовэлементовдляЕэлементрассмотренноммножество2.ВвестиВВоструктурусамt'T,Et^положимTttr >{tf:=Tlt},Tu>ЭтисоотношенияТАнаАМножестваXМножествафункцийXизXВиАинтервалыВиАтВтиXиназываетсявназываютвсевозможныхYвходовВт.СXнаивремен-Sе.т.XСЗначениясистемы.x(t)черезy(t)исоответственно.ИзэтогоопределениямножестветребуетсяОднаковремени.рассматривать(9.4).соотношениямиДлятеотрезкиy(t)наопределеныцелейвремени,суженийэтихипрактическихдлянасуженияихx(t)функциичтоследует,моментовопределяютсяобозначе-специальныеобозначения:xtXtXu>Приэтомxfx\Tu{xt===будем:xt{xw:считать,==xu>x\T\x\TtXw=x\TwX1bGl},x\Tt ,=чтоxw=x\Tt 4{xf:X(t)=bGl},хи=0,Хи={0}.хг=х\Т\xl=={x(t):x\Tlx&xeX}.всемтребу-зачастуюкоторыеиспользуютсяY.хсоответствен-обозначатьбудемtвременимноже-—ОбщейУ,выходовиобъектамивременнымимоментамножестваАт,СТмножества,—отношениеалфавитамивнеобходимыевремени,некоторые—соответственноYиYи{t}.идалее,называютсяYиВинадS{?'}t'},t^t*<={t*:Twсистем.ПустьПусть,времени.системойt},<ft=TtUвременных9.8.моментовотображенийсоответственно.Tu,UtrотрезкианализадляОпределениевременной{tf:определяютдальнейшеммножество==->X},68Гл.ЭтиформулыопределяютSt=SWкоторой=xtж*ж«'таквведемтого,=2/*=&Ж1*«'=(ж, 2/)(ж, 2/)2/|Tt '&2/*f=5},5},(x,t)GG&G5}.спомощьюсочленения,операцию_(ж(т),,Л,которойТакимко-определитьобразом,мысоответствующиесSЭтитакоготипаобозначатьXдляработаеммыXчерезАт.Ссоответчтоподчеркнутьбудемсужений,суженийсоответств-иопределилисуженияЧтобыУ.хоперациюфункцийсуженияВт.СXСклассамиуказаннымивсевозможныхУиАналогичнуюх\.•y(t).различныеАТСсистемысуженияж*=функцияхпостроилиX?,>тж(т)наи?,<геслиобозначениеможномножествимесли1 ж*(т),~используетсясочленениятолько&&y\Tt2/1Г*=называемуюЖ^соответствующихyt:функциястроитсядля&Sсистемысуженияx\tuж|Г*=системуправляемыхсоответствующие{(art, Vt):{(ж*, 2/*):{(xtt/,2/t '):=5*КромемоделированиеМатематическое1.АналогичномножествоYопределяем5\иКромебудемтого,системыявляютсячтопредполагать,сполнымвсевходом,намирассматриваемыекоторыеопределяютсяследу-образом.следующимОпределениестакжесистемамиTt Gxl=>Ясно,еесистемы,требуетсях%•чтоетогдаV(S))иреакцииопределитьсоответствующиеStвоздействийж*глобальногосостояниясисте-Однакосистемам.иопределяетсятре-временнойсуженийдлячерез&'D(S)Есистееесужениевходныхвеличин{{xu=образомДалееSсистемысистемойназываетсявременнымкпонятиявременбйStАналогичнымиxY(Уж)(Уж*)(\/?)(ж,объектапонятияприменимывыходныхиXскогдатогда,вышевведенныеSсистематолькоиглобальнойСужениесистемы.Временная9.9.входомполнымyt):(ж, у)xteXtkyteYtkопределяютсясуженияобразоместественнымSf5}.Stt>.иобъектовпонятиявводятсяеначальногосос-состояния.ОпределениевременбйреакциейглобальныхРо(Зс)•хXY—>[ро(с,х)БудемсовпадаетВтхсостоянияэтойро(ж, у)условию:реак-объектсоответственнореакцияудовлетворяетначальнойиназываютсяЕсистемы,Sтогдае.т.итолькогло-отобрахениекогдатогда,у].=образомсистемыptПустьScXxYuptреакциейобъектыопределяютсямоментвptфункциянекотораяссогласуетсясистемы(xuyt)состоянийсистемыиреак-t.времени—чтоговорить,сначальногоАТСглобальнаяиАналогичнымреакцииSсостоянийСоОбъектом9.10.системытогдамоментвGSStвремениО(Зс)чтотакая,и[pt(c,xt)толькоЭтоt.=означает,yt}'pt:когдатогда,CtэтачтоxXфункция—>Y.общейПрименение9.S%обозначениеВводяможнозаписатьрговорить,CtОбщиевосистемОпределениеS,любогодляt Есистемыследу-(Vct)вэтомреакций,си-еслиp(cuxt)=временнойссогласующееся^ctсвойствоct)=Определение&Yt->всостоитXспо-идентичностиxYнастоящем.следующем.вдинамиче-называетсяотображенийT},t eSсистемасемействадваXtсистемыВременная9.12.изсостоянияихдинамичностисуществуютчтоозначает,эквивалентностьследуетопределениеxреак-дополнительноесистемы.р,(p(cuxt)позицийпонятияодноговводитьсемействомопределениибудущемсистемCtнедостаточнореакций(\Jxt)междуСвремени.требуетсяСемействоразвива-T.в{pt:моментамужеприведеннымсистемесликоторыединамические9.11.такихцелипоследующихвпроцессам,взаимосвязьразличнымхарактеристикиназываетсяОтмеченное(p{ift >:=CtXtxM'&Cv->etf&Tt}>что:такие,1)p2)всесемействомявляетсяфункцииПри(ри>(рЗдесьтакжемоментовЭтопопадаютнасистема,системы,устранитьнедочетсостояниякОтмеченныйвненемисходноеизменялось.чтобы,состояниекопределенияможнонапример,черезнекоторыйвобъ-состояниябылисостояниябыневремени,понятиявремениотрезокклассыбудем.чтобыбылосисте-такиеопределениюпонятиятак-рассматриваютсятребование,моментамразличнымдвумсе-множествереальныетакжеотноситсяажефункциянеотсутствуетнедостатокобразом,такимсистемавообщеВсистемыродатомвявляетсяостанавливатьсяпонятийвведенныхсистемы.относящиесяэтомичастности,сигналомТакогонамыасистемы,одноммногиеВвыполняется.входнымсигнал.Однаконарассматриватьнесостояний,временнойпонятияпозволяеткоторыхвтеории.Другойсобой.неxt>.-переходаопределялисьусловиеточечныйвыходеобщейобъектаэтокоторыхдляxtt>=состояний,введенныеобъектоввыходныхвремени.системы,чтоотметить,иxtфункциямипереходафункцийследуетвходныхусловиюгденазываются(pUfсемейством—системы;(р удовлетворяютpt'D*tt'((h,xu'),xt'),=функцииэтомсемействоэтойреакцийсемействаизpt{cuxt)\T'tаSt=устанавливатьхарактеризующихt Eповеденияэтойдляснужнокполнойфункций,любого=когдатогда,временнойсвязаныанализаих(Vct)рS%когдабудемтотолькоиРассматриваемыесистемы.относящимсяДлясемействодинамической,е.т.тогдакаждойдляуправлениясистемы,ДляS,реакцийДлявремени.теориидляфункций,Sсистемыдинамическиесистемы.системойсогласованияусловиепроизвольныхсистемойреакцийзадачиобъектамиреакцииVt)},=семейство—временнойсразличныеобщей(pt(c,xt)9.1.9.4.развиваютсяYt}^семействатеоремыглавах(Зс)•St.=XtхСуществованиеизS%р согласуетсясемействомср совпадаетЕ Т.следует{pt:=что{(xtjyt)=видевЕслисистем69теориисисте-связанымеждуследуетвыяснитьвремениустра-вернуласьилилисостояние70Гл.ОпределениеXСpесли{Pt:=называетсяCxX^Yt},состоянийпространствомфункцийсемействадвасуществуютсистемуправляемыхф={<ры>:CxXw^C}что:таких,1)для2)дляa) pt(c,xt)\T{xtteT,всехt, tfKt"TGS?и{(х,у):=(Зс)(уfh(c,x)}=5;=:p'tD)ttl{c,xt '),xt'),==c,xtt'=S?StCвсехв) ipt {c.xu)гдеY,хСМножество9.13.SсистемымоделированиеМатематическое1.•Система^t'xwiSс^tt'=•такимxt"xt''•состоянийпространствомдинамическойназываетсясистемой.Введенныерассматриватьпонятиякакчтобыпроанализировать,моделированиипозволитубедитьсяэтойБолеесистем.вчтотом,основныеформе,какразличныххарактеристик.теорииуправлениядифференциальнымиэтоивышесделаноЭтодляуравнениями.теорииможнообщегомоделисистемтеориивсистемосновныеизучатьчемте,позво-(устойчивость,определитьвидапроанализи-управлениявозможностиболеерассматри-полезноматематическомабстрактныхотносительнооткрываетсистемт.д.)визучениепонятияоптимальностьуправляемость,теорииглубокоеможноЕгосистем.возможностиоценитьуправляемыханализихабстрактныхтеориювкраткийдостаточноивступлениекоторыестольжеиихзадачиописываютсяобщейразличтео-ГЛАВАОсновыВпредыдущейподробнееНачинаявозникающимиКуправления.существованияОтмечаявыборанаосноветогонапример,системеиногоилизадановнесвязанысзада-устройстваговоря,на-решении,привоздействиеуправляющеесвойствавкон-куправляющегочтохарактеризоватьнужноииметьобычноОниИначекачества.предполагается,пра-процессов.следуетних.типакакзадач,относятсяиликритерияустойчивостивопросатакихуправления,процессамуправляющегосущество-переходныхрезультатывоздействияуправ-устойчивости,теорииванализевозникасистемРешениевопросовпереходнымилирегулирования.анализатакомприсистемамзадачамиавтоколебаний.несколькозадачами,теориикачественногоэтихполучаемыеконкретнымзадачииосновеважностьчтоотносятсярешенийнаполучаетсявиду,ввсегопериодическихправило,автоматическогопереход-ибудутздесьспецифическимиифункционирующихзаниматьсяконструируемыхпрежденимтаксистем,понятийсистемыбудемглавы,описаныуправления,самихвведенныхиллюстрацииисследованииприсистемкакпростейшиерассмотреныэтойспонятиевведенохарактеристикиДляпроцессов.переходныхбылоразличныеиустойчивоститеорииглавеструктураих2системывыбранномприуправлении.нелинейныхЛинеаризация1.Вспомогательные1.1.фактыобъектауправляемогоизКакуравнений.дифференциальныхссистемизвестно,конечнымобыкновенныхтеориилинейныесвободыстепенейчисломдиффедвиженияуравненияуп-можнопривестиквидухгдефазовыйn-мерный—(f(t)функцияхарактеризуетиуправлениетозадано,f(t)функцияВакомпонентыдопустимыеееуравнениемлибоитогеиA.1)f(t)того,будетрассматриватьу=A(t)y.A.2)B(t)u(t)+A(t)матрицынанакладыватьлибоизизмеримы.будем=пространствубудемf(t)чтоограниченнымиифункцияуравнениемпринадлежатограниченияограниченысизисходить<p(t)Есливозмущения.№,A.1)+измеримымиВуправления.компонентыВместебудемАналогичныевремени.промежуткеA(t)x=вектор-управления,описываетсяформулойвектор-функциюявляютсяобъектаопределяетсяивсегданепрерывны,еезаданадальнейшемвекторвнешниедвижениеxгдеr-мерный—неконтролируемыеu(t)=ивектор,уравнениеиL^,заданномB(t)либопромеипространства(f(t).надопусти-L^,либо72Гл.Оно,какгдеимеетизвестно,yn(t),.