Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

.,0.G.4)=находимoooo^iT// 2/WJGin—/_l\^1-L1/\a=/JIоо..""УУao~7г•••dtndt+ап_1—^_d|/GIdfiУчитываяG.3)условияТакимобразом,начальнымиG.6)G.3)системы,параметрамисамогосодержитможетоптимизирующихэтиопределяетсянеиформулапараметрынаисостояниеможноG.3).параметровзаданныхприна-иG.2),выборадляошибкуначальноерезультатуравнениязадачирешенияосновойслужитьинтегральнуюАналогичныйir»получаемкритерийданнымиПолученнаянаG.4),иK\(IT/Jограниченияхсистемы.получитьиинтегральнойдляквадратич-квадратичной ошибкиооJ2Jy\t)dt.=0ДелаетсяэтоПустькоэффициентамиобразом.следующимописываетсяпроцесс+аоулюбоепричемегоy{t)решениеy(t)t—>oot—>ooа2успорядкапостоянными0,G.7)=условиямy(t)lim=0.=далее,2/@)Подставимтождество+агуудовлетворяетlimПусть,второгоуравнениемy(t)решениенаy(t)иy(t),в2/@)G.7)=2/o,уравнениебудем2/1-=почленноумножаяи,полученноеиметьооy(t)y(t)dt+сыy(t)y(t)y(t)y(t)dt+aify2(t)dt++a2fy\t)a2Ь)dt(ЛЬ=dt=—0,U,000G-8ooooooJ00dty{t)y{t)0.54Гл.моделированиеМатематическое1.системуправляемыхПолагаяОООизG.8)уравненийполучимa2J2+аоуоуг=г--2¦1aiJ3Отсюдаa0J3~=2находимформулойПолученнойпараметрови«1ао,интегральная(вп2можноприограниченияинаэтинерасчетвнаДругиеоценка.этомспределах),допустимыхквадратичнаяпроцессавоспользоватьсякачестваЕслитоприходитсяпараметинте-минимизируетсяпоказателипринимаются.показатели,выборацельюкоторыхпереходноготребуетсяжепроограни-учестьрассматриватьусловныйназадачуэкстремум.ТакоготипаметодызанимаюткритериямрегулированиячастовозникаютанализаизадачиПоэтомусистем.значительноеконкретныхконструированииприкачестваулучшенияместосистемыразличнымавтоматическоготеориивпорегулиро-управления.и7.3.ИнвариантныеРазнообразныесистемы.переходныхпроцессов,рассмотренныепроцессам,порожденнымлибокачествахарактеристикипараграфе,настоящемвлибоначальными,относятсякдействующимипостоянновозмущениями.Еслиимеетуравнениевлияниелинейнымиописываетсяпроцесстолькокорнисзачастуюкачествоизспособовпоотношению(иливоздействияпроцесса,исихустранениязатухает,исистемапро-действую-постоянноотдельныекомпоненты)ихвлияниембороться.приходитсявлиянийтакихточастями,влияниемподЭтиухудшаютНекоторыебыстроисключительновоздействий.внешнихдействующихвещественнымисравнительнофункционироватьпродолжаетхарактеристическоеиотрицательнымивозмущенийначальныхуравнениямипредлагаеттеорияин-инвариантности.Определениезавершенияпереходногорегулируемаявеличина=нех1отсистемы,идифференциальнымлинейнымпостоянноL(D)иM(D)действующее—скалярные=ееизменениевнешнеевозмущение.Lp{t)—функция,Пустьсистемы.воописываетсявремениM{D)ip{t),G.9)аполиномы,заверше-регулируе-уравнениемL(D)yгдеусловиями,инвариантнойописаниеошибка—послевоздействия.этогоматематическоедадим—еслиначальнымизависитназываетсярегулированиявоздействию,внешнемуопределяемогосистемыx(t)автоматическогокпроцесса,Сначалаy(t}Система7.1.инвариантнойхарактеризующаяКачество7.системрегулирования55автоматическогоПолагаяООООJ=y(t)e~ptф)dt,J=ооисчитаяначальныенулевымиданныеОтсюдачтоследует,следующихВА(р)исключитель-определяемоетождественноравнымнулюизодномвсле-0;=неcp(t)у(р)случаеравенствоначальнымиоттождественногосистемыпоотношениюбытьзначит,решение(сэтомприG.10),свнешнееабсолютнойнулевы-возмущениеинвариантностиТипвозмущению.возму-ограничений)естественныхнекоторыхучетомслучайG.9)хотянулю,случайдействующемучтотого,формулеуравненияравноЭтоизЭтот0.=согласноэтом,припостояннокпроизвольным.образомотношениюсамомделе,/с,выписанопределитьг1,.

.,/,При=В(р).каковараз,системы,егоМ(р),полиноманули—этоминвариантныетипа.определенногоpf1,полиномастолькотакжевозмущениямпустьнули—можновнешнимк1,. .,0,нуля.АналогичнымВОднакоакак(p(t)следовательно,и,тождественнофункцийвозмущающихинтереса.0.=даннымиотличноможетфтакотсутствует,0=представляетвторомвыполняетсянулевымивозмущение(р(р)чтовытекает,иВовнешнееслучае0,=0.=первомтривиален=Жр)-GЛ0)=случаев:1)А(р)2)М{рА{р))пополучаемА{р).G.9),уравнениябудетG.9),Ф)прирешениевоздействием,исключительно внешнимdt,уравнениядляМ(р)А(р)_,V{t)e~ptjкаждыйчтопредполагается,р?,а=нульТогдакратность.m(p-pf). .(p-pfI)=Ь{р)Ь(р-р?)-..

-(Р-рвуЕслиизнекоторыеG.10)формулыpf1чиселбудемссовпадаютчисламииз{pf},системытовместоиметьwGЛ1)гденаполучаем,М\(р)(рL{p)B{p)функцииG.11)функциибудутвлияютчастичнор^)ви(рL(p)Bi(p)системаповедениеинвариантной.p^f).В(р)всокращенияоперацииG.11)формулеполуча-мычемменьше,чтоозначает,слагаемыевчислоy{t)оригиналевидарВнешниеинвариантной.ИменнопослетакойитогеЭтодвучленамсистемы.соответственноВG.10).отсутствоватьоказываетсянаи—формулесокращеннымсоответствующиеслагаемых—функциинулейчислоМ(р)изполучаютсядвучленычтонулейВ\{р)иобщиепоэтому—pf'.Относительнотакихвозмущениясистемуслагатипадругоготакоготипаназывают56Гл.Применение8.Известно,дифференциальныечтоизбегатьуравненийпредставляютнетеоретическийтолькоцелесообразно пользоватьсяанализазадач,которымидостигаетсятем,задачаописанчтототкакОсобенночастооператорныеописаниемограничимсяуравнениясрешенииприАнализфункциональногоанализаможноможноВопределяемыенекоторыерассмотрениитеоретическихизопределяедостаточ-сначаланапомнимотносящиесяособенно,какрас-прианализеприурав-кдальнейшемви,случаевкачествевслучаяхоператоров,такрядеэтомдругихПоэтомутеориивопросов,ВПриоператоры,Внеобходимыеизадачкраевыхфункционально-линейныефизики.фактыфизикииоператакиеописанияВ.пространствами.определенияматематическойуравнениямбратьгильбертовымиограничитьсяпомощьюуравнения.математическойзадачамикраевымиспространствцелесообразнозачастуюглавеиспользоватьтерминахвоператорныебанаховыхвэтойуправления.начнемкоторыекакрассматриватьаппаратэлементовтеориифизики,использоватьсглавахпроблемздесьВпроцессовзадачразличныхзадачрешенииприпараметрами6).последующихврассматриваемыхматематическойуравненийдляиспользуютсяуправляемыхчтобытем,функциональ-достоинства.распределенныминекоторыхуравненийоператорныхсвоидости-краеваяилинекоторомвимеетуравнениясЭтоуравнений)уравнениекраевыхисистем.управляемых(системаописанияанали-уравненийтакихклассцелесообраз-имифункциональногорешенийоператорноеспособсистемамиуправленияуправленияаппаратинойиликоторыепредстав-уравнениятеорииуравнениеТакойпространстве.теорииВрассматриваемоеуравнений,операторныеприменятьсвойствразличныхпредставляетсяфункциональномдостаточнотого,исследованиядлячтобыуравне-решениивОднакоЭторассматриваемыхрезультатыинтерес.дляанализевобщиеформе.такойвалгебраические,форме.задачоператорнойвдетализациимаксимальнопредставитьматематическихзаписываютсяуравненияизлишнейполучатьиможноуравнениймногихиныесистемуправляемыхоператорныхрешенииприипозволяетмоделированиеМатематическое1.различныхпримеров.Краевые8.1.ХарактеризующиелинейномвеличиныфункцииихПростейшимфункциисизспроцессыграничнымиотпространственныхобычноможноуравненийявляетсяописанияпроцессов,вХарактери-времени.Вкоординат.описатьпервого,условиямитакихстечениемвторогоилитретьегоЛапласауравнениелинейэллип-уравнениямирода.относительноu(x,y,z)Типичныеграничныеусловияи) См.,1980.например:+у,имеют(условиеz)(условиеf(x,y,z)=f dul—\dn dнегодляf(x,=sdudnНаука,изменяютсятолькотакиетипаНачнемоператоры.независятприближенииэллиптическогоизадачиискомыекоторыхвид:Дирихле),(8.2)Неймана)(8-3)shu=f(x,у,z)(условиетретьегорода),sБалакришнанА.В.Прикладнойфункциональныйанализ.—М.:На-8ПрименениегдеSуравнений57операторныхобластиграница—G,рассматриваемыйнаВслучаяхдругихуравнениеУравнениясложными.функцияачетвертогопластинболееусловиявысокогобалок.ибытьмогуткакпорядка,ИзгибсредыпластиныэтоможноболееимеетсложместоописатьприуравнениемпорядкаA2uАэтомприопределяетсяди/+—пластинытовфактэтот(ж, у).точкематематически^/\=0—(x,y)eS,(8.5)причD.свободнопластиныкраяграничные=областиграницадиNи(х,у)—прогибазакреплены,условиями.Если(x,y)eD,величина—жесткограничнымиSу)пластиныкраяf(x,y),=и(х,Лапласа,оператор—Еслигдевнешнейвлияниехарактеризуетграничныеибытьмогутизгибаописаниигде/процесс.тооперты,(8.5)вместобратьследуетгра-условияиагденекоторая—сложныхСнекоторыйaкаждойоператорЛгдефункционального(ж, у)точкевЕзадачамикраевымипокабыфизикизадачи,краевойЭтотзаписатьэтивидекраевойоператордействующийодногорас-случаизадачи,выполнитькраевуювыбранногоэлементы—этукраевойфункци-подходящемчтобытак,некото-задачу/,(8.6)=fпростодлясвязатьуравненияииНаиболееможноввыбираетсяоператорвпространства.можнонормальОднакопроизводных.Ли—S,Еописатьматематической—операторбылоDкудобнопроцессзадачейпространстве.можно(ж, у)привнешняя—частныхвкраевойфункциональномv0=——будем.нерассматриватьаситуацияхуравненийсистемдляди+постоянная,болееВАи0,=процедуруфункциональ-получения(8.6)уравнениязадачиДгх/(Р)=0,+Д(8.7)Реu(P)\s=0.(8.8)ЗдесьDточкаэтойпредполагаетсянепрерывнойобласть—области,ВведемМфункциймножество1.Онинепрерывны2.ОниобращаютсяЗаданнаяобластиf(P)DD=+непрерывныхпринадлежитэтомуL2{D),сопредпола-S.функций7)свойствами.следующимисвоимипервыми(D).Обозначимпространству.обладающихвместепеременная—f(P)функцияпространствоизDвРпространстве,граница.замкнутойфункциячточерезее—рассмотрениевОчевидно,Saвевклидовомn-мерномвивторымипроизвод-производными.)являетсяВбытьрассматриваемойОднакоуравнениябанаховойнанульвРиккатиалгеброй.негодальнейшемможнопривфункциональныхS.границевыборситуацииВместопринципиальным.функций.управлениявпространствавзятьфункцийнепрерывныхLp(D)иличасторассмотрениипространствахкакое-либовстречающегосябазовоеневпространствоявляет-пространстводругоетеорииуправдолжноS.58Гл.НаМмножествемоделированиеМатематическое1.зададимД,операторЛиЯсно,что(8.7),задачуАналогичнооператорныеуравненияВоднородны.несколькоусложняется.непрерывныеесли(8.2),тоэтаКромеонатого,Вводязатемприходимк(8.8),=п3)=скраевымусло-обладатьдолжнасвойствомPeS.приЭтотеориитребованиепоследнееуправления.u-<p°(P),vдолжнаможнокоторуюоднороднойудовлетворятьпредставитьвидевкраевойоператорногоуравне-(8.9).уравненияПримеркраевымиобыкновенноеРассмотрим8.1.ахсvфункциячтотому,(пригладкой.задачахнепре-неоднородномузадачи.достаточновимеетпеременнойзамену(8.7),задачебытьдолжнаобременительновесьмафункцияDудовлетворяет<р°(Р)f(P)=представленияищетсяобласти(8.7)функция<p°(P)обычноSуравнениивспомогательнаянесколь-процедурасначалавнутрикраевойобидетречьD,границерассматриваемойусловиюНапример,начтотом,наапроизводные,граничномунанепрерывнаиэтаусловияоператорногооснованопределенавторыеусловиемпутейкраевыеихусловийиспользованияслучаеопе-соответствующиееслизадач,краевыхизэтомвкотораякраевыхдругих(8.6).видеввыписыватьинеоднородныхслучаезадачизаписатьоператорыдляформулойопределяемый-Аи.(8.9)=можностроитьОдинкраевой(/?°(Р),(8.8)можносистемуправляемых(р(х)г)\Гr(x)u+)ахдифференциальноеa<x<b,(8.10)/(*)>=условиями(auf(a)-f3u(a)гдеуравнениесе,/3,7>IS, к,Сначала—постоянные.определяемграничным(8.11).условиямk,=(р°(х),функциюСчитая,неоднороднымудовлетворяющуюа5что^f3j-\-0,вср°(х)качествеберемполином<p°(x)=pxПодставляяэтотполиномкоэффициентовотносительнофункция(8.12)(8.11),рирезультатеграничными(8.10),(8.11)q.(8.12)получаемТеперь=и—уравненийсистемуотличенопределительоднозначно.определяетсявместоЕеq.vВ+условиявотвводимнуля.от-Поэтомузамену<ро(х).получаемкраевуюзадачусоднороднымиусловиями:av'la)jv'(b)+-Cv(a)0,=6v(b)=0,[''Применение8уравнений59операторныхгде/!(*)ТеперьприЪ<ходнороднымV\X)т{х)~Ммножествовводим<а/(*)=дваждынепрерывныхи(8.14).Надифференцируемыхнепрерывно^априусловиям^-этомЪ^хфункций,удовлетворяющихопределяемоператормножествеД,по-положив(dТогда(8.13),задачакраеваяоператорногоПриведенныйпримерчастныхопределенноеявляетсяфактЕслисложнойдостаточно<?°(х),удов-физики,(8.6),функциональногоестественныйотмечтосчитаем,мыпространства.переходкопи-операторномупроцессов.нестационарный,процесссостояниесвидаиногоилисовершеннонестационарныхглад-урав-математическойуравнениемтогоопределяетдостаточноприрассматриваетсяфункциюпроцессовоператорнымэлементомполученияреализуетсяусловиям.стационарныхегоижеподходящуюграничныманализиописаниюоператор-простообластивподобратьтрудноописываявесьмаЕслиусловиях.неоднороднымчтоЭтотграничныхдовольноЗавершаянемвидепроцедураформеуравненияпроизводных,тоудовлетворяющуюввизложеннаяоператорнойввграницей,отметим,представленадифференциальногонеоднородностяхвчтосистемыобыкновенногослучаеуравнениебытьможетпоказывает,состояниягладкихdvч(8.6).уравненияуравненияв(8.14),т.(объекта),системызависитдифференциальным.получаетсяе.функцияотвремениДляu(t,P),?,со-характеризующаятооператорноеопределенностиуравнениерассмотримза-краевуюзадачу^^)=Mt),(8.16)вкоторой/3,се,p(t)и0 (?),ипримереq(t)(8.16).Этуа^хЪ^соиграничнымзначениямифункциюдваждывнепрерывночтобыэти(p°(t,x)Ь).удовлетворялиМGAwопределим=—Л,операторd(—-ахV,р(х)——,dw\.ахI+r(x)w.положивчфункциютаккакже,нанепрерывныхнаw(x)Затемкраевыевабстрактную(8.14).w(x)усло-видеL2(a,w(x),функцийдифференцируемыхфункцииска-далее,граничнымкакМф О,/З7+определяемЪ).

Характеристики

Список файлов книги