Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

.объектысоздании(вдискретныхдлядискретныхдля=3.2.практикечастности,допустимымиилишьu(t)=Ввремени.смысле)21системуправляемыхнемгазапара-22Гл.Предполагается,метрами.газапотребителиртремяwгаза,рпотребите-всеобъектадвиженияскорость—аСостояниеконце.системуправляемыхпрямолинейный,егоправомпараметрами:его—трубопроводчтонасосредоточеныхарактеризуетсямоделированиеМатематическое1.характеризуего—давлениеиплотность.Изменениеэтихвопараметровтрубопровода,вдольописываетсявременипои/, направленнойкоординатеуравнениямиdwdw1dppdt?>3-6dwр°гдер°иплотность—установившемусяработырежимуДифференцируягазадавлениеиC.8),t уравнениепоагденедрдр-1следовательно,—скоростьРассматриваяДалее1.звукагазе,вучитываячтор/р°газавdwмалыеC.9)и=-\_дрdt'dlp°a2dlp°дальнейшеговеличиныww-—,трубопроводе,dp—-.р/р°1,=В=итогеизполучимd^w=_^dp^dw_Длясчитать,движениясравнительноC.7)можносопротивлениемсамымC.6),уравненийформулойгаза,пренебрегатьтем~d~Vопределяемаяколебаниямалыебудем~^\j)=~di=соответствующиеполучаемV1к(ри,трубопроводе,всистемы.объектаанализаdt'[удобнорегулирования}'воспользоватьсяобозначениямиоо/фгдеотвдольipеек^—,=ipсобойпредставляетотносительноетрубопровода.Тогдаоdibрегулируемойотклонениер°,значенияустановившегосяаC.10)изЛотносительнойявляетсяполучаемdipdipдфгдеTo=i,О <^=7?=—^—,7=—-C-13)Л<1,C.11)величиныкоординатойрМатематическое3.описаниеВеличинавТоарежиме,скоростизвукаволновоеуравнениеэтогоопределяется,(изаданыGтрубопровода,сеченияд—газарасходсилыкоординатыперемещенияпототяжести,опреде-условия.Fвесу,можноплощадь—записатьgpFw.C.15)=(ЛтрубопроводаначалеводнозначногазакполучаемграничныеирасходGСчитаяC.12))начальныеускорениеф,переменнуюуравненийсистемыгазаскоростиC.12)уравненийтрубопроводупоустановившейсяежесекундный—газапрохождениясоответствующиеобозначения:ввестивремяотношение—изуравнениябудутесли7Исключаянем.вРешениеЕслисобойпредставляетустановившемсясистем23управляемыхрегулирующего0)=функцией,заданной(см.клапана1.3.3)рис.коор-можнозаписатьтак:G\x=0ЗдесьАналогично,будемТакимотмечатьимеем=Gs/igpeF)=\(дуот^~т^\dGBJ\дрв/P°gFЛAGBC.8)соотношенияучесть^^—^АрвC.9),ибезразмернуювведемкоординатырегулируемогозначение(х=г®СогласноC.13)формулеусловие^=иметьхо)/ху,—изменениегдехукоординормальноеусловно—газавимеемujq+ФвG°/(gFp°).=С=трубопровода,концеГ/ягПоэтомуизC.16)имеемтрубопровода:началев^РвРасходформулой=равноех,граничноеЛАрв"относительное"—?ин-а2'координатуклапанажевеличин.другихбудемтоТемиследовательно,\(дуов+трубы.началутрубы.концадляи,\дрв)ВновьсоответствующееGзначенияwb/ OwbAwB=G,значениесоответствующиеобразом,wB-w0GB(x).значениеобозначеноGeчерезиндексамиЕслиобозначеноGbсимволом=ЛПРИ0.C-17)=C.15),формулесогласнофор-определяетсяGE=gpEFwE.C.18)Сдругойвыполняетсястороны,истечениикритическомприGeQпотребителя,гдегазатрубопроводаизвыполня-равенство—площадьэквивалентногонекоторогорЕирЕQa=—давлениеV2g—,C.19)VEсеченияиплотностьгазанавконцеконцетрубопроводатрубопроводаупередГл.24еговыходоммоделированиеМатематическое1.потребителю,кveобъемудельный—системуправляемыхИзгаза.C.18)формулыимеемAGEGE-=Ge=gFw°EApE=C.11),обозначенияУчитываяотсюдаполучаемAGEАналогично,изУчитывая,изG%-±=ч>е).кC.19)формулыC.20)находимчтоC.21)получаемf(t)гдеСопоставляяC.20)формулыC.22),иAQ=C.22)Q0'граничноеполучаемусловиевторогоутрубопроводаконцафЕСледовательно,kf(t)=граничнымиОпишемзаписатьTiиполныйосновании+Т\Г)-\-Этог](см.21.3.3),р°.рис.состоянияв=—сустройствосо-реагирующаяПолагаявидеki^pвЛпри=C.24),уравненияегоможноиллюстративныйноситпримеркоторыхмембранастационарногоэлементаТ27\,значенияконкретныевыводрегу-C.12)0,C.24)постоянные.РассматриваемыйинтересуютегоэтогоуравнениеТ2объектевпроизводныхустройстве.ЭтоотрТ2т)гдекакчастныхвуправляющемэлемент.—трубопроводеC.23).ивдавленияможновC.23)1.=элементов.следующихотклонениеЛпри-уравненийпроцессыЧувствительный1.-протекающийC.17)теперьиз1системойусловиямисостоит[-процесс,описываетсярегулирования,наgpEFAwE.+аиуказываютсяк.характер,ПоэтомутелишьОнополучить.насинездесьполучаетсяин-полназакономерности,изнеприводитсяосно-сообра-следующихсоображений.Струйнаяпоэтомуихтрубкаможноврассматриватьустройствеикакмембранаединуюжесткойскрепленымассу,подвешеннуюсвязьюнаипружине.по-3.МатематическоеНаэтуописаниемембранучерезмассуполучаемОнсостоит(см.aус(Ay-Az)/yc,=номинальноеусловноцилиндра(пневматическогоперемещаетсянааналогичноинерционностьчтослагаемоеПоэтомуслагаемыми.Взаключениечтоотметим,^инер-цилиндра),стенкиссравнениюберетсяна-остальнымивидевс.=конструктивнообычнорегулятор?Такимобразом,полнаярассматриваемойвыполняетсяC.12)НашаспроизводныхкраевымитемисамымC.14),ФиФ-А)Ф(?=А)граничномуАналогично,изэтихрешение+7Т°А),C.27)дифференцируемые=ГФ(*-7C.27)к1\027/\7Т°А)--C.17),условиюC.23),изпроиз-рас-C.24)-C.26).частныхпро-Учитываяфункции.получаемф(г,СогласновчастныхматематическуюобщееФ(?+процессывполученную7Т°А)-виуравненийуравненийотимеетдваждыотсюдаC.23)иизбавитьсяизвестно,произвольные,C.12),уравненияупроститькак<p(t,уравнениячтобыпопытатьсяУравнениемодель.изC.17)условиямитом,вописывающаясостоитрегулирования,состоитзадачаСC.26)=уравнений,системасистемепроизводныхИсключаяполинейномвбольшуючтобытак,гдеодвигателяТ(пневматическо-учитывая(трениетакогочастямиНьютона,Однако,малокоторо-внутринижнейиэлементавторогопроизводнойуравнениецилиндра,законасопротивлениевторойсочтоочевидно,верхнейэтогоC.24).большоеиТогдаизмеждуосновеуравнениюпоршнясостоитгазаУравнениесоставленноеприближенииY.СC.25)-Онпоршень.двигателя),находим,С=давленияперепадаупругойнаAz/yc,=величиныдвигатель.действиемзакрепленной(значение3.Пневматическийподупругой,пружину1.3.3)рис.акоторогоот-пропорциональнаяСчитаятрубки,струйнойизобозначенияВводим—сила,трубе.вC.24).уравнениепружине.внешняягазадавления2.Усилитель.гдедействуетизменениюотносительномусистем25управляемыхC.28)иФ(*+Gимеем7Т°АI+.C.28)1)Ф(?)+G1)Ф(?)—=чтоследует,/к2функциюуравненийФ,находим/к*i\/т\C.29)аФ(Ь)+ЪФ(Ь-т)=cfIt--I +7?,C.30)т?-26Гл.гдет27Т0,=аДалее,7=C.25)C.26)иполучаемT°iсогласнои,аФdгдеfcbG=ftс/=C.27)изeобразом,системеТхц+I)?—Таким+цT-VC.32)-C.24)уравнениевfccG=C.29),учитываяи-r)+ef(t-^\,C.33)ЙФ(*+1).C.32)уравненийсовокупность?,ноtсиобыкновеннымиОднакоФ.иrjИменнот.—поэтомувходитпроцесснетакоготолькотипасназывают-запаздывающимсуравненияминеиз-двеуравнениявуравнениядифференциальнымиописываетсодержатуравненияФфункцияC.33)иЭтирегулирования.функции,аргументомЩ)=—автоматическогонеизвестныеназываютсяг)-иметьT2iiвЬФ(*+(f(t,O)значениебудем0C.31)=C.30),соотношениюПодставляясистемуправляемых1,—уравненийизмоделированиеМатематическое1.аргу-аргументом.каким-либоЕслитемсамымC.28)C.29)Л)ир(?,давлениеф(г),способомнамrj(t)(/?(?, Л)функцииопределяемp(t,плотностьинайденнойЛ)C.31),изрешитьудаетсянеизвестныеопределитьитоЛ),трубопроводе.вэтуФ(?),-0(?,исатемпроцессы,иC.27),формулсамымнаходимrj(t)Функцияопределяютуравненийсистемупомощьювместедавле-функциейспротекающиеуправляющемвустройстве.Рассмотренныйпроцесспримерсистемевсраспределеннымизадачейкраевойуравненийдлячастнымибытьпро-описанпроизводнымидифференциальныхдифференциальнымиобыкновеннымиописатьсуправляемыйчтоможетпараметрамиобыкновенныхсистемойфакт,тотиллюстрируетнебесконечнойилиИногдауравнений.егосуравнениямитолькоможнозапаздывающимаргументом.О3.3.сдопустимыхсистемамиуправленияобщеемаксимальнопонятиясостоянияВистовжевремясистемЕслипросто.вdxуправлениих{xi,.

.=,хп},tвремении=системустойчивостиестественноеитребу-параметраминаиболееu(t).=5,тоx(s)гдех{xi(s),. .==x{t)состояниясистемеопределение—определяетсяуравнением?>0,,xn(s)}решениесистемыописываетсяf(t,x,u),=atмоментраспределеннымипонятиепроцесс—гдесостояниипроблемизучениясистемы.конечномерныхслучаедостаточноначальномДляпараметрами.оптимальноготребуетсяиуправленияхраспределеннымиявляетсяуравненияееприсостояниемвнекоторомуправ-мо-Математическое3.описаниеДлясущественносистемсвариационныхсистемочемдругие)наобщностьраспространитьвариаопримерэтихпринциповздесьполученные(термодинамические,иныеизисходянижеИсключительнаяпростоанализасуществен-вводитьрассматриваемыйпластины.сравнительнометодикусостоянияудобноегосвидетельствуетколебанияхпозволяетпонятиепараметрамимеханическихпринципов,поперечныхираспределеннымиДлясложнее.систем27управляемыхрезультатыэлектромеханическиеидру-системы.Пустьпотенциальнаякинетическаяипластиныэнергияфор-определяютсяформулами3)C-34)JJ\Tt)C-35)пгдеАЛапласа.оператор—ПуассонакоэффициентРдалее,ИзнаповерхностиC.34)формулдействующая—ееплощадиh,пластиныЮнгамодульЕкоэффи-ипостоянными.предполагаютсяаПусть,единицеТолщинаичтоследует,внешняяпластинунаправленнаяполнаянормаликней.кпластиныэнергияотнесеннаясила,поопределяетсячерезпроизводныедиdt'требуетсяпричемкаждаяизфункцияи(?,х,г/),быланихЭтитолькодолжнатребованиямКакИ[и]общность,чтоозначает,естественныи(?,г/),х,Jt!минимальногопозицийC.34)зрениярас-следуетпонятиямвводимымпрост-механики.точкиформулахдостаточнуюмеханики.действительноенаситребованиямГамильтонатрепоиматематическойсвсемC.34),функциивсоответствующуюпринципусвоегочтомоментперечисленнымпроизводныезадачи,придаетS=достигаеткаждыйограничения-чтобыинтегрированиеЭтофункциейопределяетсякаж-функ-жеформуламидостаточно,требованияЛебегу.вполнеСогласновопределяемыевышеанализсчитать,поТ[и],иопределениядальнейшийрассматриватьпластинычтобыиСамаматематическимиИ[и]переменным.ЭтицелесообразнопрогибауказанныепоказываетноО,.областипоквадратомминимальнымиподчинялисьпространственнымду2'производных,непрерывной.которыхДляд2иэтихвеличинуявляютсясмысл.дхду"сбытьвыполненииимеютдх2'интегрируематребованияограничениями, прид2исуществованиеопределяющая?,временинед2ипластиныдвижениеопре-функционалкоторой[T[u]-n[u]+Pu]dtC.36)значенияприлюбыхSU[u]+Е.М.Теорияt\иt^[to, T].изЭтоозна-вариацияft25S=См.,например:ЛандауJt!Л.Д.,[ ST[u]Лифшиц-PSu]dtупругости.—М:Наука,1966.28Гл.SфункционалаэтомПривышебытьдолжнаравнафункций,аФ(?,Полагаяравенство4)"'"у)ж,5u(t,у)у)x,у)x,5u(t,вариацияSu(tux,=нанулюu(t,смещенияварьированиеклассемоделированиеМатематическое1.должнауказанномвудовлетворятьу)х,условию0.C.37)=необходимыевыполняяивыполнятьсяу)Su(t2,=8и.перемещенияхвиртуальныхдолжноx,системуправляемыхвычисления,получаемдФEh2диC.38)выполнятьсякотороедолжноудовлетворяющейусловиямлюбойдляФ(^1,х,г/)'dtсинтегрируемыеПеречисленныенепозволяютполучитьчтобыпотребовать,переменной t и четвертогобытьЕслиследующееимелатодопущения,ограничивающей(см.=t^по^должныравенстваобластипоможноЛ.Д.книгуперемен-(ж, у) е(]}.ti,полученногоитогепотребо-производныеинтеграломВкривой.{toЛандауФвариациюещепорядкаЭтиу.частьмеждувышецитированнуюQправуюсвязьегоиееиНужновторогох?1}.Еипластины.областипо(ж,?/)Т,^функциюпроизводныеиспользуятождествоt^напеременнымквадратомэтипринятьпоу)х,попреобразовать,интеграломс.с{to=колебанийпорядкаудовлетво-'ду2ограниченияu(t,функцияинтегрируемыможноQуравнениеФ,производныедЧду1дхобластиестественныеимеющейид2Фдх2'поквадратом0=дЧдФфункциинепрерывнойФ(^2,х,г/)=получитьин-следую-Е.М.ииЛифшица,64-67)*2*2C.39)IгдекZ,вэтомаугол—Т,=)Равенстваосьюмеж:дуравенстве^2областьограничивающийконтур,—хбытьмогутгдеТ—такоговнешнейимоментназываютсяпнормальювнешнейнаправление/.кМоментыПоэтомупроизвольными.окончаниятипаО,—процесса.интегральнымиможноВкачестветождествами.нормаливремениФt\будем?2иt\положитьбрать=Bto,те3.Математическоежефункции,описаниечтои(см.условиямТогдаграничнымfД2-а2)12A(х, г/)/,GtoUtsinТ.<дхдуДляеще(fo(x,y)?,похифизиких,г/),за-нужноначальныйсмоментВпорядков.оtвремениto.произ-уравненийматемати-существованияопределяетОнапластиныэнергиювыражаетсясоот-имелоусловияхсро(х,у)=C.41)теориидостаточныхфункциятемчтобытакими,C.40),задачитеоремыВместерешений.такихвышедоказываютсябытьдолжныкраевойуказанныху(fi(x,y)иu(t,x,y)решениеимпроизводныеC.41),условиям<ро(х,у), ,у),y>i(x,y),=функциисоответствующеематематическойu(t,функцииопределенияграничными=0.\условия:u(to,x,y)которыходнозначногоC.40)уравнениюначальные)ду2дхду<удовлетворяющей(см.Ii[(fo]интеграломC.34)).формулусLpo{xiV)функцияПоэтомуинтегрируемыеквадратомОднакоусловийэтихC.40)уравнениючастности,'C.41)хпеременных(pi(x,y).распределенныхпоиметьиинтегриру-иу.ичтобыимелаПрипластинеtpo(x->слабыеу)Р(х,силу)граничпопорядкасовокупностибытьдолжныможноQ.областиудовлетворялаограниченияпредположенияхудовлетворялаточкечетвертогоболеевнешнихкаждойвфункцияпроизводныеНесколькоu(t,x,y)функцияC.41)чтобыэтихду2условиямпотребовать,условиямнанепрерывнойдхду1недостаточно,граничныминужнограничнымбытьдолжнапроизводныедх2наложены*о<*<Т,C.40)(ж'у)еГ2'Р'~д2и-)дa)di\Aадпвфунк-исчислениявариационногоусловиямдАивудовлетворяютуравнению<задатьлеммойудовлетворять-cr)(sin2<9приосновнойсдолжнаdt2иониC.37))соответствиивПоэтомусоотношении.предыдущемвформулыu(t,x,y)функциясистем29управляемыхработуопределитьналоже-распреде-:J[<p]=JJp(x,y)<p(x,y)du,аусловиезатемфункционаланайтиметодамивариационнымиминимумаП[</?]функционаладолжнабытьравна—J[np].нулю:(ро(х,Оно6И[ср]у),необходимоевыписываясостоитв—SJ[cp]чтотом,=0.вариацияуслоэтогоВ30Гл.Следовательно,моделированиеМатематическое1.сро(х,у)функциясистемуправляемыхдолжнаудовлетворятьинтегральномутождествуЕ"'<¦-а2)12Aд2ср•¦-2A-,)дхдудхду\11^\любойприФфункциипроизводныежечтокласса,спочастям) \ ))иу)От</?о-краевымиtpo(x,порядкапоинтегрированиемох2ду2уравнениюфункциячетвертогослучаетогокчтобыпотребовать,дополнительноизперейтиможнотождестваш/2этогоинтегральногоеслиусловиями,имелахперменных(ро(х,функциячтодополнисинтегрируемыесовокупностиполучаем,C.42)0=\ от22иВу.у)квадратомэтомслу-удовлетворяетуравнениюEh212AиграничнымC.41).условиямu{t,x,y)былатого,определенияпроизводныевторогопеременнымхвремениаоснованнымнаудаетсяполучитьЧтобыдопущениях,приC.40)C.43)иможновнешнихсил.сПриведенныеОпределениеначальнымформуламипринадлежитграничнымиклассуиC.35),W^i^l)исуществуетфункционал¦*-[(&)'-(?)($)])-уравнени-Навведения{(fo(x,y),(pi(x,y)}пластины,(fi(x,y)еслинепосредствен-C.41).дляг/),необхо-каждомизэнергиюитакихработуопре-следующегопластины.функцийПаруколеблющейся3.1.состояниемC.34)основаниядаютколеблющейся(ро(х,функцийочевидно,потенциальнуюиC.38)соответствующимитипакинетическуюанализа,C.41).определяемымиусловиямисостояниясодержа-гладкостиC.42),ивтождествапластины,решениями,C.38)рассужденияпонятияфизическимусловиемсостояниеопределитьпеременпластиныэнергииинтегральноготребованийто-производ-методомграничнымизбыточныхтождествамирешенийопределениясобобщенныминепосредственно интегральнымиуравнениямизхарактеризующихпользоватьсянеобходимоимеетматематическимC.40)отto>пространственнымполнойнекоторыхБолеевремени.tопределяютсяисключительновводитьнеобходимымимоментпофункциявынужденыявляютсяприпорядкачтобытом,мынекоторыеначальныйопределениядляуравнениеоC.41),u(t,x,y)четвертогоиобусловленыu(t,x,y),ив"излишества"избавитьсяtpi(x,y)<?]_,функциятребуютсяТакиеt.задачи,tпонекоторыег/,C.40),исрообразомпорядкаизаботясьобразом,пластиныэнергиитакиммоментсодержаниемк(ж'у)е^'C-43)°'=задачитребованияполученнаяР~ТакимкраевойрешениемдополнительныедляД2Ца*)-будемкоторойэнергияEL2(^),функцияаназывать(ро(х,у)Р(х,у)на-определяетсянепрерывнаЕL/2(?l)итакая,причтоМатематическое3.описаниесвоегодостигаетЕсли,наименьшегочетвертогопопорядкауравнениюИзC.43)иэтогоопределения,(ро(х,у).=частныехионачтоследует,пластины(обозначимудовлетворяетурав-множествоначальныхегоЕи),черезсо-собойпредставляетлинейноескалярноепроизведениеформулепоопределитьчет-производныетог/,C.41).частности,впространствоПоэтомуипеременных{(fo(x,y),(pi(x,y)}можнокоторомнепрерывныеусловиям=гильбертововприимеетсовокупностиграничнымФ(х,у)состоянийзначениясро(х,у)частности,всистем31управляемыхвеличинуможнокакрассматриватьсостоянияФравновесияАналогичныммеру0.=образомОпределение(колебанием)C.35)процессомC.34)формуламиначальнымисостояниемcpi(x,y)еслиEZ/2(^),своего(ро(х,у)аминимального)значенияu(t,у)х,у)]ф(х,И/21(^)классуC.36)выполняютсяисро(х,-определя-{cpo(xiфункционалu(t,x,y)называть(ж, у) Е &},у)-, ^Pi(xiу)}->Т,<принадлежити=t<являетсячтотакая,иприto=будемкоторойэнергия{to=непрерывнаL/2(Q)E)'—-tвремениP(t,x,y)функциясуществуетмоментв^^vQотпластины.пластины,областивпластиныколебанияf u(t,x,y),VotфункцийПарусостоянияпонятиеопределяем3.2.колебательнымопределяетсяначальногоуклоненияу)О,=<з-44)^,)идостигаетусловияdU,плюбойприф(х,у)функцииC.44),УсловиеудовлетворялаЕможнозаменитьудовлетворяетФ(^1,х,г/)условиямпридФ'dtсинтегрируемыеВвведеннаякакчтоуравненийтеориисu(t,x,y)функцияОпределивиспользоватьпоквадратом0=имеетид2Ф5ж2'дхду"ду2'областиО.производнымиудовле-чтовведен-(Q).W2'колебательногопонятиекотораядоказывается,классуобразомг/),ж,производныед2Фчастнымиu(t,x,y)функцияФ(?,д2ФпринадлежиттакимлюбойФ(Ь2,х,у)=чтобытребование,функциинаC.38)тождествуможнопроцесса,ис-величинумерууклоненияЕслисуществуетфункцияотнуляначальноеu(t,х,г/),имеющаясостоянияпроцессасостояниеввмомент{to<областиQtвремени={^o(^?2/)?^i(^?2/)}пластины=t<Т,т.такое,(х, г/)Е?2}анепре-32Гл.рывнуюd2u(t,x,производную—^гоу)включительнопорядкаудовлетворяетмоделированиеМатематическое1.поC.40),уравнениювсеисистемуправляемыхнепрерывныедопроизводныепространственнымпеременнымграничнымC.41),условиямудовлетво-хиу,атакжечетверто-начальнымусло-условиямгх(О,тофункциюзадачиC.40),начальноеu(t,исостояниепластиныКромефункциизадачи.непрерывностьР(х,Вдоказывается5),чтокраеваязадачаAимеетполнуюпопределяется1^(^)вХп(х,у),=1, 2,(при**ФфункцииИ7^(^)),GудовлетворяетЕслиЛпкоторомвEh2такжеэтоу)1970.например:Апприu(t,x,y),МихлинавсяХп(х,т.четвертогоЛ=у)Лп,=т.е.топорядка,у)тождествасправедливы(ж, у)0,Хп(х,г/),Хп(ж,функциичтооказывается,еП,п=1, 2,.

Характеристики

Список файлов книги