Егоров А.И. - Основы теории управления (1050562), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Выбираем,подстановкойпространствевтребуется,^2(а,врассматриватьмножествовведемСначаланеоднороднымможноабусловиюнепрерывны.непосредственнойусловиямфункцияхиопределитьзначениятого,Назаданыоднозначнополучаютсяи8.1,Кроме=удовлетворяющиеipi(t)u{t)удовлетворяющуюможнопринимающуюви(/?°(?,ж),Ееусловияпостоянные,~tp°(t)функцию(8.16).условиям8ифункциискалярнуюгде7/(t,x),функцииабстрактныеаинтервалеиотрезкеаоднородным<х<Ъ.60Гл.ММножествоvP(t).функцийкраевойзадачибудемсовокупность(8.15),(8.16)обозначимv(t),абстрактнуюформулойопределяемаяисходнойu(t).функциюТогдаоче-Mt.множествуОтсюдаРешение=u(t)-u°(t),(8.17)v(t)принадлежитабстрактныхзначенийМ^.черезопределяетсистемуправляемыхобластькакрассматриватьИхфункциячтоочевидно,моделированиеМатематическое1.чтоследует,уравнение^(8.18)являетсяоператорнымкраевойпредставлениемоднороднымиграничнымиdu(t,a)а—)-^-Решивфункцию(8.15),задачи(8.17)сПриведенныедифференциальное(8.18)u(t),уравнениеабстрактнуюВс=0,граничнымиза-дифференциальописывае-процессу,частныхвкраевойоператорноенестационарномууравнениянаходимисходнойусловиями.чтосоответствиедля(8.17),формулойрешениюпоказывают,задачейпроизводныхслишьоднород-условиями.операторноеслучаяхдругихзадачичсоответствующуювграничнымиоднородными,„-Cu(t,a)охнеоднороднымиставитсякраевойописываемому(8.15)уравнениядлявоспользовавшисьирассужденияуравнениезадачиусловиями(снеоднородныммыуже(8.18)представлениеусловием)граничнымнеоднороднойможнокраевойполучитьспосо-инымспособом.ИмпроцессовпользовалисьзадачиуравнениеТеженеибытьпоставитьопределенныйпредставленаужезадачтеориисбанаховойтиповчтотого,алгебренекоторыйQПустьвыпишемнеограниченные)элементоператоры,Тогдавматематическойвбудутзадачифизике.решенииврассматриватьсяРиккатиуравненийобщееможет(8.18).видавпоследующихвпроизвольнойфизи-математическойвтакогоуравнениеразличныхтипаВ.—определения.записатьЭтиразличныхпространствоРиккатиуравненийзадачезадачанапримерРиккатидеталикраевойчтокраеваяуравнения,рольэтифункциональноекоторыхпомощьюуравнениенасдляфакт,самлишьоператорногоуправления.начнемиливидебольшаяотмечаласьопе-процессов,сейчаснекотороесоператор,вАнализглавах.немкакколебательныхОднакоВаженсоответствиеОператорное8.2.физикенаоболочек.интереса.вобыкновенныхрассматриватьописанииприиособогопроцес-краевойвместосистемаможносистемуприменятьпластинпредставляюттепловыхчтотом,впоследовательностей.можнометодыВышесостоитбесконечнаяТакуюпространствевколебанийможноОнсоответствующаяуравнений.напримерописании1.1).параграфрассматриваетсядифференциальныхоператорноематематическомпри(см.телетвердомвстационарноеизБ,адействующиеЛ,Ви1Z(алгебраическое)Вуравнениевидеб>,(8.19)(ограниченныелинейные—извБ,собщейРиккатиобластьюможно8Применениегдевнулевой—Вуравнений61операторныхтомкогда(8.19)уравненияВоператорболееполучаемQбанаховаЕслитопространствомQ(t)+A(t)XK(s,a)ядроРиккативозьмем[а, Ь].отрезке/=предполагаетсяs)fbdxltС(а,Ь)пространствоНафункцияхэтихопределимможнорассматриватьабстрактныеs)a(t,+как(p(s)Приi^Пример8.3.заданыbki(t)операторпредставить+Q{t)A(t)A(t).всозначе-Tфунк-видеX/C(t)X,t.отнанепрерывныеr!?j(t),иЛ@Х+чтонекоторуюфункциюфункциюикакможнонужноозначает,собой[a, 6]EрассматриватьQ(t)этогоЭтоабстрактнуюt(8.20)=ДляС{а,Ъ).представляетопределяемQjVa) da(8.20)Риккати.Х(т)значениимож:нозависитПустьcJfjit),qij(t),Ъ.^s,aa)x(t,вт=уравнениенеK(t,значениямиtA(t)этом/5)уравнениесокаждомпри^операторx(t,+Аналогичнообозначенияхэтихs)значенииC(a,b).q(t, s)a(t,s).значениямиs)x(t,X(t)Gзначениями^априоператорноеконкретномфункциюda,непрерывнымфункциикаждомВK(s,<j)cp(<j)aуравнениеq(t,=ввестифункцииабстрактныхX1Z(t)X.+алгебрынаинтегро-дифференциальное—^^гдезначенийуравнениеоператорТогдасоXB(t)+банаховойкачествеJпри0.=дифференциальноеJCcpгдевместоРиккатиуравненияХПХ+являетсянепрерывныхинтегральныйХВ+В8),алгебрыэлементомформу~\7~=В(р(х),функцийАХвыписать—8.2.являетсяобщуюВможно7Пример+алгебраХ(?),функцийВ.алгебрыэлементслучае,i,j,k,l0отрезкеt^^Соотношениямиl,.

.,n.=nn^XУгз^hiX2_^aijxkU=%=fc,/копределяютсяабстрактныефункции={^/с/}х(?)ZисоhJrijXkU=l,.-,n,,1=1операторыYматрицыhi•2^=A(t),{%},B(t),отображающиезначенияминаX,матрицахXматрицыЕслисоответственно.ввеститеперьто={хы}абстракт-уравненийсистемуklk=lq=lklможнопредставитьввидех)Риккати.Именнотакаяситуациядифференциальногооператорного=Q(t)+имеетA(t)x+местоxB(t)+прирассмотренииуравненияx1Z(t)x.матричногоуравненияв62Гл.Пример8.4.моделированиеМатематическое1.Рассмотримкраевуюзадачусистемуправляемыхнелинейногодлятеп-уравнениятеплопроводности-^D(t)u—^+a(x,t)u=^)_/ЗЦМ)Сначала<р(х),0(8.22).условиямНа<Введем^,абстрактныетеперьдифференциального(8.22)дифференцируемыхграничнымлинейныеa(t,=uможно0u(t)=усло-операторых)<р,функции(8.21),0.(8.22)=однороднымА{Ь)ч>О,(8.21)t >непрерывноопределяем-D(t)задачудваждыудовлетворяющихфункцияхэтих=краевуюМ1,<х0<ж<1,7^i)+,w(M)О)=множествовведемфункцийf(t,s),+<сопредставить1,<хзначениямиМ.навидев0.t >Тогдадиффе-операторногоРиккатиуравненияПИ=—f{t)гдеабстрактная—функция,Основные9.1.понятиясистемы,Всоотношениями.третьемвможноодномкакуравнениякаждомисследованиякоторогоконкретныхуравнений(дифференциальныхпонятиеохватитьвсеизсостоящиелингвистическихестественноивмодельпроцесса,аппаратконкрет-мощныесредстваимеетнееетипасистемрассматриватьсодержатьуправлениявозникаютиразличныеихматематическиенабо-программирования),системесодержатьсямогутвнекоторыеотношениязадачичистоилингвисти-Всесоотношений.математическихлишьописывать-характеризоватьсяописыватьсяникакихможетсистемыможетсо-можетлинейногоВподсистемасодержащихописаниеэлементовможетзадачахуравнениями.Однакотерминах,вуправ-управления,подсистемадругаяместояв-что-задачсистемыОднаразностях,этозадачинедостаточно,содержательныхитипа.конечныхматематическиенимоказываетсяинтересразличногоавтоматы.словесноетакоготольконоинтересныхдифференциальными—саппаратазначительный(какнеравенствсвязанныеэтогопрактическитипывконечныеотносительноичтоподсистемуравненияминаборомнеобразом,такимматематическуюразностных),производописанийэтихоператорногоИ,использоватьуправленияПредставляюттретьяизреализациюполучаемилиобщими,настолькоуправления.описыватьсяКаждоеанализа.являютсячтобычастныхвпространстве.можнодлядифференциальныеуравненийконкретнуюмырассматри-мыматематическимиразностях.некоторуюслучаепоробыкновенныедляфункциональномнекоторомконкретномфункциональногоОднакобыликонечныхвсихконкретнымизадачиуравнениярассматриватьДоописатьэтокраевые——вкаждомприсистемтеорииопределения.случаедругомвпроизводных,ибыломожнокоторыеуравнения,общейПрименение9.рассматривалиf(t,x)значениепринимающая0.t >?,конкретном-утверждениямеждууправления,модели.относи-Приними.ипоэтомуанализевполнеобщейПрименение9.Общаятеориямаксимальновмоделиопределенноесистемы,определяется каксистемпредоставляетобщейформе.возможностьОсновойнаПредполагается,множествтеориичтоV/гдемножество—ОпределениеПод9.1.S, заданнойсистемойподмножестводекартоваV^,компонентыS,/аобъектом,аТогда1ХУМУ0,=5/,стакаяОпределениеiсистемаSсистемасоответствующаяT>(F)областьаЗамечаниеВ9.1.V(S)чтосчитать,(Зу)которойЕп,Ебудемуправлениямиобщееи—решениеЕАЕТ,иВЕ^п,1)V\О <t <2)V2+У.Снефункциональныхв{у:(Зх)((х,у)S)}.ебудемпротивное,счи-Вщ(9.2)u{t)решенийматрица(9.2)конкретномприДопустимымиматрицы.управ-L^OjT).EуравненияуиуправленииJo[=u{t)=Ау,томожноX(t)X-\s)u(s)ds,(9.3)постоянныймножествовсехОпределимвектор.абсолютномножествовсехфункцийизL^O,тривектор-функцийнепрерывныхТ;—через1Z(F)черезуравнениемпостоянныефундаментальнаяпроизвольный——оговореноглобаль-необозначатьвидевсАх=—x(t)=X(t)c+гдене=ис-обязательнонеявляетсяиTZ(S)определяемуюфункцииуравненияпредставитьбудем—S)},еслисистему,считатьX(t)ЕслиFFиспользоватьедальнейшем,Рассмотрим9.1.хе.кообласть)ее((х,у)хвт.будемэтомFX.=Примере.будем{х:=X,определения(т.обозначенияV(S)е.т.Причтоподчеркнуть,множествазначенийееАналогичныесистемах,объектом."вход-выход".функциональной.У, чтобыОбластьфункцией.X,СвыходнымназываетсяХ^У,—>элементекаждомчастичнойавходнымфункциейявляется(X)F:наглобальной,/,множестваназываетсясистемойназываетсяобозначениеопределена1Х}ЕгxY.(9.1)X=S:тоx{V^,/у}Eразбиениеобразуют=называетсяЕсли9.3.использоватьсистемы.отношениемопределяетсядальнейшем/СXSВ1Ух{Уг,=объектаминазываютсямножествомМножествоYмножествосистемаxViпроизведения1Х/.=некоторое:iel}.декартоваПусть9.2.1хП1упонимаетсяxVиндексирующимОпределениее.т./,ЕгназываетсяУ,напроизведенияScx{Vi-.системыI},ег:индексов.собственноеВсеопределяет-образом.множеств{Уг=систе-Системаследующимсемействозаданомоде-понятиеслужиттерминах.языкетакиесоздаватьэтогодлятеоретико-множественныхвотношениесистем63теорииT);объекта:х(?),64Гл.3) Узмножество—ТогдакаквсехсистемусистемумоделированиеМатематическое1.заданнуютерминахвSсостоитизсвязанытехЕслиViСV2хx(t)заданнаясистема,условиемполагаягдеSXсостоитFVi,изV2,=V3,Ескоторыессистемуx(t)(9.2)начальнымиа,=получим{x(t),u(t)},парV2,Eуравнениемх@)то,u(?)Vi,E(9.3).соотношениемрассматривается=рассматриватьУ3,x{x(?),u(?),c},троексобоймеждуможноуравнением,1.1определенияSгдеЕп.извекторовуправления,системуправляемыхобъектамидвумяu(?)X,EУ,E(9.1),видасвязанныхсоотношением/оОпределяяотношение,применяемыхспонятий.Присвойств,наблюдаемыханекаксистемуначинаеммычтотем,аточнее,насамом(метрика, непрерывностьмогут(объекты)т.д.).иоказатьсяменеедатьудаетсяОпределениефункция(СегоназываетсяэлементыглобальнойназываетсяВкакопределяетсяэта{/с:=R(c,x)Покажем,Пусть) ЗдесьR(9.2)системыЕп,глобальнаяааэтомприможнорас-реакцияопреде-сС}ЕS.такукакучитываетсяизэтогоОпределимXхY).—>функ-всевозможных{/=X:/CGCчтотаково,условия{(х,у)ТогдаG.множествоYx=(СR:е.Y}.—>fc<=>СR:теперьхПусть,S,СX—>далее,СгдеYсин-—помощьюfc(x).чтоS'FСт.FчерезFе.т.для==У,глобальнаянекотораясоответствуетчастичной?),Обозначиминдексирующее5,состояний,функциясостоянийЕсвекторовявляетсявмножествоЕглобальныхсистемы,S.системенеXGЕутверждение[R(c,x)=y].глобальныхреакцияДоказательство.отображающихмножество(х,у)(ж, у)SсистемыдлясправедливообъектомсистемыКаждой9.1.иусловия(Зс)и(9.3).Теоремафункций,такая,<=>Смо-когдатогда,множествосостояниямножество(метриструктурыособенночтоилимножествосоотношениемреакция,eSреакцией9.1примерерассматриватьYглобальныепросторассмотренномструктурамипроизвольное—>множеством—физи-помощьюсоответствующиерасплывчатыми,—X)хсВсистемы.СПусть:(х,у)СТогдадажеописаниеRнеопределеннымислучаяхи9.4.существуетдругихнаделенысловесноелишь(т.явлений).представляетдругихчеткими,этимие.при-наблюдаесвойствами,еемеждуилиВширокотерминахввзаимодействиясобойсоциальныхмножествапримереопределяетсяонаделенаиболееисистематерминахвотно-теоретико-множественноеструктурированныхэтомбиологических,физических,общеепредельнонаименее:R(c,x)=/с(Зс)С5.замечаниеуR(c,x)}.fc(x)=S^Значит,9.1.={(ж,у):РассмотримдляСSчтоследует,=5.некоторого(Зс)у=произвольнуюсGС.R(c,x)}.паруСледовательно,общейПрименение9.Обратно:I,Gх(/с=возьмемто\ {(ж,/с(ж)})SS'.С.СGЭтоТеоремаНачнемклассификации.линейные^х-?и///с/=Отсюда=дляследует,линейнойшагомпервымклассифи-ихТакаясистемы.таккакметодикавлинеаризацияпро-объектовповеденияизучениившагнекоторойестественной,вполнеестественныйразработкевпонятияопределениябылавсегда(^? 2/)илиX=положимиПоэтомуСледующийсостоитпредставляетсяпроцессовfc'{x)=GЕ5.еV(S)как/с/исистемы.системсисследованииFеS'.=Такдоказана.Абстрактныеабстрактных9.2.SчтоS.Енекоторое/Тогдаг/означает,полностьюизученииВыберем2/)}.следовательно,и,(ж, у)парунепусто.{(ж,Uс'чтовпроизвольную5множествонекоторогосистем65теориилюбойпри-природыСэтойнеобходимыенапомнимцельюдальнейшемвалгеб-общейпонятияры10).Пусть1Z,П\R=>SизсистеманепустаяЭта1Z.подмножествсистемаП-елюбойе.т.заданаесли11):алгеброй,е ?г;а)0,Дб)S ев)объединениепринадлежитRмножествевназываетсяконечнойSiчтотого,множествсовокупности1Z,Eг1..

Характеристики

Список файлов книги