Егоров А.И. - Основы теории управления

ОсновытеорииА.И.управленияЕгоров517.2,531.36,УДК519.7,62-50,681.522.161.6ББКЕ30А.Егоров504с.ОсновыИ.РассматриваютсяосновныеВуправления.нееосновыидентифицируемости;анализом89.итеорииПри5-9221-0543-4©систем;управляемыхнаблюэлементыуправления;этомсистемырассматриваютсяТеоретическийматериаласпирантов202иуниверситетовтеориейуправлениятехническихссопровожавузов,иеетакжедляприложениями.назв.©ISBNуправ-управляемости;оптимальногопараметрами.интересующихсяБиблиогр.теориипримеров.иработников,Ил.—моделированиенелинейныхтеориисистем.распределеннымимногочисленныхстудентовматематическойосновысистем;управляемыхинаучных2004.математическоетеории:устойчивостиметодыстохастическихсосредоточеннымиДляразделытеориинелинейныхколебанияисопровождаетсяФИЗМАТЛИТ,М.:—современнойследующиесистем;периодическиенаблюдаемостиуправления.направлениявключеныуправляемыхтеориитеории5-9221-0543-4.ISBN-ФИЗМАТЛИТ,А.И.2004Егоров,2004ПредисловиеТеориянаходитначинаяприменениесобластидостаточнокоторыеихорошоматематическимимногихтерминахиосноветакжемолекулярногочеткимивыражаютсяпонятиятеориисформулироватьновыеполучатьма-механики,законыониосновныеможносвоизаконамислучаяхТогдасистемуправляемыхнаэтойописываютсяИзвестныизучены.Восоотношениями.свойствателобла-вработаютВзаимодействиесистем.твердыхвзаимодействия.атомногоуправлениемсферахэтихсоответсвующихсистемыивсехнау-деятельности,кончаяиВодинамикуточекчеловеческойобъектамиотношений.определяющиематериальныхсферахконкретнымиобщественныхиобластьобширнуюдовольноразличныхвуправленияполитикизаконы,собойпредставляетуправленияОнанауки.ма-управленияиматематическихвзакономерноститер-общемдостаточноввиде.ГораздосложнееситуацияМатематическиеудаетсяполучитьнестольпонятиявысокатеорииописываемыхформевтехзадачтеорииэтойид.)т.основныенаправленияуравненийсматематическиметодахРассматриваютсяуправлеописыва-дополнительнымисоответствующимиоидетречьуправления.теориипроцессов,дляисследованияосновныеследующиенаправлениятеории.1.Математическоемоделированиеподобногоработдругихприменениепоня-оптимальностьформулируютсякоторыеиныхилиздесьосновныеменее,наблюдаемость,излагаютсязадач,Следовательноусловиями.невремяшироко.книгетехрешенииТемудает-настоящеевметодов.достаточноотношений.деятельностиПоэтому(управляемость,предлагаемойприобщественныхичеловеческойслучаях.математическихрольиспользуютсяВуправленияотдельныхуправленияздесьэкономикисфереэтойввлишьсферевзависимостиуравненийсистемввчастных2.ОсновыобщейэтойнаправленияважнойоснованныенаразрывнойраспределеннымитеориитеорииА.направлесистем.управляемыхЗдесьуравнений,управления.нелинейныхрешенийA.M.Пуанкаре,систем.замкнутыхсистемахзамкнутыхЛяпуноваииспользуемыйлинеаризации,приА.Н.Крылова,арастакжеуравненийанализесчастью.4.Управляемостьрассмотреныобщейосновныезатрагиваетпериодическихметодахправойиустойчивостиичастивпостроениягармоническойметодуравненийаппаратколебанияметодырассмотреныустойчивостисодержательнойи3.Нелинейныеотпримене-процессов.теорииматематическийздесьотличиерассмотренооператорныхуправляемыхИзложенныйподробнодостаточнопроизводных,описанииВпроцессов.управляемыхздесьрода,исоответствующиепараметрами.наблюдаемостьвзадачидлятеориисистемуправляемыхссосредоточеннымиЗдесьсистем.ирас-4Предисловиеоб5.Задачиоптимальномраспределеннымиаоптимальности,такжеизлагаютсяЗатемкнигеизложитьобъемвзначительнойтехмерепосноскахвидеям,работы,изложеныкоторыеАвторплодотворноепривыражаетсотрудничествочастичнойпокоторыевкниге.вподготовкефинансовойснекизложеннымРФФИ,Онполноту.ЮрьевнеэтойизданиюкоторыеблизкиЕленередакторуподдержкенанаиболееавторалитера-читателям,материаломпретендуетмнениюпризнательностьСписоктемознакомитьсясписоквключа-методамкХоданизаРаботакниги.грантобъ-егоавтора.вкусамистраницах.предназначенидополнительныеуказывалсоответствующихсразделыкнигу,иавторкниги,Этотглаве.теконцеподробнееменееилисоответствующейлишьнавболеезахотятвыполненатемевошедшеговоднойвееразличныеинтересаминеобходимым,казалосьпредставленныйлитературы,включаетэтогдеслучаях,многочислен-управленияописатьнаучнымиизласигна-фильтрации.решениемтеорииматериала,определялсяСначалаисосновыпытатьсяотборПоэтомуполнотой.источникивесличтоопти-случайныепрогнозаподробно,Ясно,невозможно,особыхииусловийуправлений.преобразующихзадачидостаточнопримеров.одинаковойВизлагаетсяматериалиллюстративныхсосредоточеннымисистем.систем,простейшиерассматриваютсяЭтотмногочисленныхпорядкастохастическихуправляемыхлинейныхсвойстваосновныевторогоснеобходимыхтеорияусловийзадачисистемдляИзложенатеория6.Простейшиесигналы.управлениипараметрами.выпол-01-01-00121.А.Егоровпло-ГЛАВАМатематическое1моделированиеуправляемыхсистемПодобъектов,науправляемуюповтраектории,образомзависитдействийотправлены,которыеж,усостоящаяилиz.изконечногоВсистемы.этомпространства.либофункциональногоэтихпараметровЕевоотметить,Есливхx(t)Еп.ЕекогдаихсистемытраекториейизОднакопроцессом.этотжеТакуюсигнала.ступенчатогоВторая(управлениями)времениопределяетсятого,какимконкретнымиu(t).=функциями=x(t)иирулями,рулей,u(t)восистемыикакиевре-зависитхпараметры=и)черезназываютПоведениеуправляемойпринадлежатхединичногообозначаютИхТиппространствамреакциивидениже.введемпараметрами.управляющимифункциейпереходапереходнымввоздействия.ког-илихарактеристикиобычносовокупностьуправляющиеилимеждудлявоздействиемы(ихпараметровгруппавнешниеопределяеттерминПроцессвнешнеехарактеристикулиниюженазываютиногдаиспользуетсянафункциязначенияпространства.термин(системы)Привре-тоэтотдискретныесостояниедругоевобъектанекоторуюИногдаt принимаетфункциональногосостоянияодногоЕп,определяетсистемы.когдаслучае,элементомуправляемогозависимостьтомвявляетсяx(t).=считатьпространствавременифазовойназываютиспользуетсяевклидовавекторизменяющемсянепрерывноприхдискретно.иликонечномерный—совокупностьрассматриваемойфункциейцелесообразносистемевкликакого-случаесостояниеразличныхнепрерывноконечногоэлементомкаждомвможетхимпульсовэлементхарактеризуетсядлясистема,качествевоказатьсяопределятьвременичтоможетОднакооднозначноповедениеизменяющимся=какслучаяхко-обозначаютобобщенныхирассматриватьдругихдву-параметры,механическаятоточек,пространства.важносовокупностьхговоря,теобычнокоординатможнохслучаецелена-вообщерассматриваетсяобобщенныхобра-действиявсематериальныхнабордолжнасистемы.время,есличислаВевклидоваИхсистемы.скоростьюуправляемым.относятсягруппечастности,любойфигурироватьэтомВЭтихарактеризуется,первойсостояниеопределяютчерезхКпараметров.группамилетитисущественнымявляетсясистемаотлича-каменьположениемполета.дельтапланауправляемаяскалыдельтапланапроцессевдвижениеМатематическидвумяполетаспортсменапоэтомуиопределяетсятраекториявыборасоеговыборомвлиятьтакогоБрошенныйоднозначноОднакомате-совокупностьможновремениВозможностьвоздействий.котораяброска.моментвонеуправляемой.отсистемулюбаяпонимаетсякоторойповедениевнешнихцеленаправленныхотличаетсистемахуправляемыхобычносистемойуправляемойматериальныхобПонятие1.(непрерывныеиоти,каковаили6Гл.дискретные)значенияназываетсяможетпроцесс"однихРассмотримнесколькопримеровтFi,F3F2jосиЕсликаждыйFi,mx2обозначениядлякоторыхпроекциивекторасистемыFF(t)=F2,Г Xl(to)тх3Fto<t<T,A.1)F3,={Fi,F2iF3}=тозадана,внешнихсостояниесилнасоот-объектадвижущегосяначальнымиопределяетсяЖ?,X2(t0)=уравненийкоординат.t однозначновремениис-материальнойдвижениесистемойописать=декартовойфункциямоментНьютоназаконуможно=—соответствующиевторомупространствевmxiгдедляописание.Согласно1.1.массыпроцессов,управляемыхматематическоеразличноеПримерточкиупотребляютсяпонятий.жеиспользуется"управля-терминылитературечасто(x(t),u(t))Параt.параметрнаучнойсистема""управляемаяитехиВпроцессом.системуправляемыхчисловойприниматьуправляемым"управляемыймоделированиеМатематическое1.условиямиХ%,X3(t0)=каж-вX°3J=\x1(t0)=x\,x2(t0)=xl,x3(t0)=xl.Чтобычастосвстречаютсяивспомнитьполетптицы.определенаначальнымначальныммоментнаборомх\(т)=±i(r)хъПараметрыповедениеФункцииопределяютсистемойопределяетсявоСвязь"рулей".дифференциальныхповедениеТакимобразом,(x(t),u(t)),x(t)гдеэтимимеждувектор-функция.ПараметрПримериФурье,tПусть1.2.чтоегоа=m~1u\^?4=т~хи2,A-4)±6=т~хи3.теплообменсвнешней=х6.средойu3(t)однозначнообъектомau(t)паратрехмерная—аопи-процессA.4).вполетемпературномсогласнораспространяетсяподчиняетсяявля-являетсянепрерывно,находитсявидевпроцессомб,опреопреде-представляетсяуравнениямитеплохарактеризуютu2(t),управляемымизменяетсятелотела6,ui(t),иуправляемым(время)1,.

.,=размерностинекотороевнутригA.1)дифференциальнымипредположим,ага,вектор-функцияобыкновеннымиописываетсяto,примеремассы—времениxs(r)ж5,=функциифункциямиавремени,рассматриваемомввмоментu3=F3(t),A.3)t >уравненийточкаматериальнаятоль-"принимает"птицахз(т)ж4,=Xi(t),=х2являетсянепроизвольныйF2(t),=xiобъектауправляемогох2(т)ж3,u2управление.бытьможетсоотношениямиu1=F1{t),определяюттехпараметров:=заданныеи3,отопределяетсякоторыеввеличинаубедиться,неОнаееэтомвдвиженияA.2).объектах2(т)ж2,иu2еерешениями,шести=ui,темииазависимостиЧтобыТраекторияусловияхзадана,вусловий.Состояниевремени.определяетсят=нонеобъектавозникшихреальныхвзаранеесостояниемсостоянием,каждыйFуравне-ОднакоТ.^движениявремяцелейпроинтегрироватьt^силакогдавоконкретныходнозначно0отрезкеситуации,достаточнотольконавыбираютсяиныхилидостаточносостояние,A.2)условияминаправлениеиtэтоопределитьA.1)уравнениязаконузаконуНьютона.ДляобПонятие1.описаниясистемах7управляемыхпроцессаu(t,обозначения:t,времениsi,ащвнешнейзаданытотепла,температураоднозначноtto=ивремеисточниковвнутреннихлюбойвмоментвремениполемтемпературнымтела>тмоментвtoвре-:u\t=tQПроцессмоментвтела./точкеобозначе-следующие(^1,52,53)=границыуегоначальнымопределяетсявременилюбойвsинтенсивностьищтелавведемточкевсредытемпературателевтелатемпература~~температура—ЕслитеплараспространенияS3)52,теплараспространения=(/?oO).A.5)телевописываетсятеплопровод-уравнениемтеплопроводностидиграничнымиdiv(/cgrad=—-ккоэффициент—SграницеитемпературыСУ 1JсПроцессомВфункцииэтойсобъекта.{/(т,(ix(t,5),v(t,5)),=s)}.времениописанияОнирулей.A.5)—A.7)вФурьерядdiv(/cgradix){Xn(s)}ПустьфункцийсобственныхаТогда{Ап}спомощью(f\ c-^O,—+anкраевой=0.A.8)s1^(^)соответствующаяпоследовательностьA.5)—A.7)задачисобствен-системаейкраевойзадачиШтурма-ЛиувилляZm) Jврешение=J2<un(t)Xn(s),/un(t)=можнопред-u(t,x)Xn(x)dx.чтонаходим,un(t)=другой=управляю-видеu(t,s)СAixдругиеирешениязадачиортонормированнаяA.8),значений.вОтсюдаполная—задачиразложенияфункциям+стороны,формулыJnчтоучитывая,Гринаполучаем:/ ut(t,x)Xn(x)dx.A.9)u(t,s)—решение=параиспользоватьпроцессауправляемогособственнымv(s)являетсяслучаеможнопроцессарезультатевпоИзмеуправля-A.5)—A.7).задачейсостояниепоявляютсяэтомвфизическогожеu(r,s).="траекторию"вектор-функцияпроцессомхарактеризующиепроизволь-вip(s)являетсякраевойтогопараметры,окружающейобъектаопределяетуправленияописываетсяплот-температурыфункциейУправляемымониизмененияуправляемоготечениемрешитьA.5).условиемцеленаправленногохарактеризуетсятПараметромs), щ(т,Для=s)ктемпе-t достаточновремениизменениеминормалиопределенияначальнымисостояниеслучаеtвнешнейДлямоментпутем/(?,этомS,A.7)направление—A.7)управлятьвремениуправляемоголюбойусловиемисточниковмоментпредставитьt0,A.6)>esтеплообмена.sgDhbможноuo(t,s).Изменениепграничнымвнутреннихсредыпроизвольныйсобственныхtu(t,s)},—коэффициент—точкеA.6)плотностиhQ,любойвh[uo(t,s)=——теплопроводности,областиуравнениеуправляющихsGll,условиемкгдеи) +/,краевойзадачиA.5)—A.7),Гл./(kglad)divJnJsи) Xm(x)/+ffdxсогласно//Xn/=ffJ{Н(щи)—u(t,x)Xrndx/=dS+hu}Xm+[ut(/с grad)div—u)] XmA.6),уравнениеотсюдаum=/ш=+—A.10)\шиш.—имеемAmixm+получаемAmixm+UmdxdShUmXmdSA.9)-A.10),соотношениям)/¦ГJuJsУчитывая\дпдпи—системуправляемыхтХт—-Xm)dx—Поэтому,/ к(=(kgidbd)udivJnJsмоделированиеМатематическое1.dS.кщХтуравненийсистемуmгхОш,/—.