Егоров А.И. - Основы теории управления, страница 5

.,n,нематрица(p(t)являетсянакИ^(р)y(t).управляю-cp(t)0==передаточныепоследовательнодвухtпри0>исоединен-функцийщ(р)гдеW(p)щсостоящейсистемы,формулойэлементовт.W2(p)rji(p),формулойWi(p),функции=определяетсяопределяетсяWn(p)Wn-i(p)..объектов,этихWi(p)uj,=W(p)функцияэлементов,—чтосчитатьтасновафункции.(рис.1.4.4)W(p)ou(p)JПередаточнаясоединенныхW(p)АнализВозвращаясьвозмущениебудемсистемы,выходе.возмущенияпередаточнойпроизведениюсправедливывходD.8).свойства4.1.объектовэтомысоотношениепростейшиеСвойствосоединенныхкакеезаметим,влияниерассужденияхбудемОтметимнаявнойвнаудобнее.характеризует1.4.5(имеющаяопределяетимеемделатьвеличи-схемапоступающиесхе-1.4.2),однойизхарактер)какиеищобе(рис.тоВтораядругая.соотношениюуправляющим,напредстав-наоперацииполучаетсяформеРис.сигналомиспользоватьуказываетнихкакойпомощьювеличины-1¦асмыслбудемдальнейшемПерваясимволическийАv(t),имеет1.4.3.рис.схемы.?Щр)являетсявходесхемучто-1.4.4Рис.1.4.3подчеркнутьпредставлятьОднако,р.Щ(Р)Рис.быдробно-являетсяпеременнойW(t)выходеубедиться,этомв2и(р).=множительслучаерациональнойЧтобымеждуVv(p)Вv(t).надоперациисистемуправляемых"зависимость"рассмотретьможномоделированиеМатематическое1.системы.изп4-моделиМатематическиеДоказательстволинейныхочевидно,замкнутуюсистемусхемаструктурнаяегоиработающуюизображенанасистемыбудем.неприводитьуправления,движенияуравнениясистем39конечномерныхпоИз1.4.5.рис.можноРассмотримобратнойпринципуэтогопредставитьтеперьЕесвязи.рисункачтоследует,видев(y(t)=W1(D)[<p(t)-(r(t)],\a(t)=W2(D)y(t).{ВчтобыИсключаяпоследующиеизD.10)системыавтоматического[Епреобразующийформулы-1,элементвведемсистемутого,длясправедливоСвойство4.3.автоматическогопредставленнойПопутноовопросD.10)замкнутойможно</?(?)замкнутойW2{p)иУчиты-системы.D.10)системевM-1(p)Ni(p),=придатьможнопред-0=рассматриватьиг1,2,=видN2(D)yбудемформулойопределяетсяD.7))Wi(p)Полагаяавтома-уравненииуравнение(см.уравнениям1.4.5,рис.системыхарактеристическомW\(p)функциивидевзамкнутойуправления.передаточныепредставитьуравненияW1(p)W2(p)]-1W1(p),+Характеристическоечтоматричногопреобразования.рассмотрим4.4.Учитывая,[E=автоматическогосистемынатождественногоматрица—W(p)функцияПередаточнаяуправления,Еодноговид.авто-следующееW(p)гделишьWtiDMt).=Следовательно,сделаноуравненийсистемувидевЭто—а.привлекательныйполучима,представленнуюW1(D)W2(D)]yваболееимелипеременнуюуправления,+}•M2(D)a-обозначенияновыевводя0.(=''у\у,=у2=D.11)вместосг,систему\ХарактеристическийОперационная<Ml{D)yl+Nl{D)y2=0,M2{D)y2-этихопределительимеет}"систем,двухD.12)системыматрица=0.(N2(D)yiодиночевидно,итотже.видM2(D)/Определительэтойвторойэлементысложитьвновь(обозначимматрицыстрокиполученнуюегослеваумножитьсстрокупервойД(М))черезнастрокой.матрицуВ-N1(D)M^1(D)N2(D)-N2(D)M2(D)yисходнойэквивалентнакотораяA(M(D))=A(M(D))A[Mi(L>)+итогеN1(D)M-1(D)N2(D))A(M2(D)).еслиизменится,Ni(D)M^1(D)получимОПоэтомуматрице.=не—иматрицусло-40Гл.Сдругойстороны,согласноивыражение,стоящееможнопреобразоватьформулы,последнейопределениюскобкахправойвчастиобразом:следующимWi(D)функцийвычислениядлясистемуправляемыхквадратныхвпередаточныхформулуокончательнуюмоделированиеМатематическое1.окончатель-получаемзамкнутоймногочленахарактеристическогосистемыA(M(D))Изнее,нулиА(М2).А[ЕМогутвчтоследует,этогонулямимногочленовпоявитьсяВ1соединены(объект(Mi)управления)1.4.5).(рис.последовательнофункциипередаточнойнеAисомножителемОУблокисистемеустройство)свойствуявляютсясистемыопределяемыенули,замкнутоймногочленаэлементовдополнительныеWi(D)W2(D)}.(управляющеесогласноW1(D)W2(D)]A(M2(D)).D.13)+характеристических+УУПоэтомучастности,втолькоA(Mi(L>))A[?=D.13)формулуиПоэто-можнозаписатьвидеW(D)гдеA(M(D))W1(D)W2(D).=управляемойвведемэтусистемуусловийопределениюоднувиW\(p)матрицаrai(p)через(т.е.сучетомcp(t)D.8)имеетуп-D.4).возмущении,соотношениивD.8)формезаключениестационарнойуравнениемвнешнемW1(p)ОбозначаяописываетсянулевомприВсистемы.линейнойхарактеристикукоторойоператорнойповедениеЗапишемначальныхуправляемойещесистемы,(D))A(M2(D)),W+функцииПереходныепараграфа4.5.этогоA(M!(D))A[E==(см.виднулевых0).D.7))СогласноM^(p)N1(p).=присоединеннуюматрицуMi(p),матрицыдлябу-иметьбудемр)-DЛ4)ПоэтомуD.8)соотношениеможноФ)вили,гдеriij(p)представляют—Такимдробно-рациональныеразложенияравенстваэлементыотносительнообразом,функциимножителиприр.A(Mi(p))0,=затемкy(t)=/Joujj{p)построениюпредстав-сверткиможноЗнаядроби.безвыполнитьисчисления,оригиналовравенству=0раз-путемхарактеристическогооперационногоK(t)дробно-рацио-вычислитькорниможноизсоответствующемуK(t-s)v(s)ds,собойпредставляюторигиналыоперациюэтутеоремупереходимИхпростейшиенапокоторыер.относительнофункцийПрименяяD.15)™i(p)^i(p)"(p).D-15)rai(p)iVi(p),матрицыполиномыэтихуравнениятруда.A(jj(p))=видевформе,скалярнойсобойпереписатьпри?<0,D.16)особоготруотравен-4-МатематическиегдефункциямоделиK(t)линейныхявляетсясистем41конечномерныхизображенияоригиналом1D.16)Функцияtto,=тополученавзятыvиудляфункциивместоy(t,to)/=K(tJt0Предположим,D.5)).D.16)получимs)v(s)ds,—чтоусловии,при(см.нулевыминачальныеЕслиt >жеусловияK(t)to,0,=tпритакиезадаватьусловия? <приО=приto-чтодалее,оо[\ K(t)\ dt<ос.toТогдавD.16)формулеперейтиможнопределукtoприПолагая—сю.—>2/(t)=toljmoo2/(*,*o),находимtооГГy(t)=Таккакпоjj-ооО/ K(t-s)v(s)ds=K(t)определениюK(s)v(t-s)ds.О при=0,t <тоооооy(t)/=D.17)ФормулаD.4)v(t)возмущениеtвремени=to-ВонаотпереходнойD.4)приконечным.Эторешениеустановившийсявозмущенийначальныхкоторыйпроцесс,ip(t)0 для=определяетсистемыввреме-крометактого,тогорешениеto,кtoпричемеепериодсис-внешнеемоментвкак?, близкихдинамикуvиграет,определяетсязначенийнаиурольсущественнуювпроцесссистемыреакциюжеявляетсянавыходарежим.Пример4.2.объектПусть(D2начальнымиописывается3D+уравнением2J/+(D=t>t0,D.18)l)v,+условиямиуТребуется(to)выписываемобщеекакегорешениеУи(to)=Зу+характеристическое+22/(j-\гч„—(t—to)имеетпредставитьiобъекта:0.=можноуравнения„.процессы.колебанийуравнениеэтогоу1.D.19)переходнойсобственныхуравнениеуТаку0,=установившийсяописатьСначалатоD.17)s)ds.установившийсяопределяетуправленияуравнениясе.т.независимотеорииназываемыйназываемыйтак0,=K(s)v(t-oo—ooопределяетcp(t)при/K(t-s)v(s)ds=jj—системеГГr^корниг\вл~2(?—to)//1=—1,г2=—2,видеогЛ42Гл.С\гдеС2ирешениеОбщееСъжеy(t,t0)=D.20)[-онзначениеv(t)функцияопределяет—Этаимеетдвеопределяет,однороднымуравнениемtto.переходной=Bу°=видевD.12)у1+г;0) е^"^,+tконечныхприD.21)иto,причемних(у0-y^e-W-'l+колебанияссобой(у0-у1^-^)+Ониобъекта.начальнымиобъектареакциюописываютсяD.19).условияминавнешнееВтораясостав-v(t)возмущениеусловиямиy(to)Онаимеетy(to)=0.=вид(Mo)ПокС\постоянныеD.19)процессизсобственныеговорят,исключаемуравненияv°) е-('-*>-Перваяпредставляетначальнымиу1+составляющих.какнаходим+Bу°приторешениеполучаемуо(Мо)составляющаяD.19),[2e-<-t-s^-3e-2<-t-s'>}v(s)dsJtov°постоянных,системвидусловиямии+гдеимеетвоспользоватьсярешенияпроизвольныхвариацииD.18)уравненияЕслиуправляемыхD.18)уравнениярешениеизметоднапример,частноемоделированиепостоянные.произвольные—Используя,иМатематическое1.тогомере—сю),\e-^to)-v°=какустановившийсяtвеличинаD.21)решениее-2^-^}-болеевсеГ-to—ds.(т.увеличиваетсяприближаетсяе.toрешению,к"устРемляется"определяющемурежимооy(t)^lirn^=y(t,t0)I=—K(t-s) v(s)ds,OOгдеK(t),ФункцияЕефункцией.сD.16)помощьювесафунк-переходнойявляетсяпереходнойимпульснойилифункциейобъекта.ПриведенныйформулефункциейрассматриваемогодляD.22),формулойопределяемаяназываютещепримеркоторойM(D)yчтопоказывает,собойпредставляет=f(t),известнойКошизадачарешаетсяфункцияматричнаяобобщениенекотороеDi2/(to)=0)*=0А-1.K(t)функциивформуКоши,с4-моделиМатематическиеКакизвестно,линейныхy(t)решениеW(t)решениесоответствующееданныхможноПоэтомуеслиитопроизводных,D.4)f=интегралW(tвD.23)образом,при(p(t)4.1.0fПример4.3.y(t)СначалапоинтегрированиемфункциидляvD.16),видевиеепроизвод-гдеN(D3)W(t-s).K(t),определяющаярешениефункциейназывается+управляемый1D.2)уравнениясистемывесауравнениеим-илиуравнением\(У12j{y2+функциювесазаписатьваппаратомвоспользуемсяописываетсяпроцесс5Dпостроитьэтовычислитьпредставлено=D.16),ПустьОТребуется^-.D.23)=функцией.2Еслидан-[N(Ds)W(t-s)]v(s)ds.ФункцияпереходнойимпульснойDsзначенияJt0формулепоформулеэтойK(t-s)=соот-начальныхнулевыхиполучимрешениеОпределениеds,начальныеy(t)=Таким0=формулыэтойпомощьюip(t)приs)N(Ds)v(s)справанулевыеформулыСКоши.видевпринятьизW(t-s)f(s)ds,Jtoуравненияпредставитьy(t)частямf=функцияматричная—формулойопределяетсяy(t)гдесистем43конечномерныхформеK(t).D.4),будемтоиметьисчисления.операционного+1тоD2-AD-73-Dгде(X)(X)Vi(p)=pfyi(t)e-ptdt,wk(p)оо=pJvk{t)e-ptdt.Таккак44Гл.ТакиммоделированиеМатематическое1.образом,[(Р2=дОтсюда4р-Используя\/свертки,J Г^-48т(*(sin(t-s)S(t)Таким+4)w3],+р-1Uполучаем\v2(s)+e(*"s)J2v3(s)+sin(ts)-Дирака,образом,функцияприt>О,Оприt <О.K(t)веса4sint_1рассматриваемомвsintcost—5.Основныеимеетпримереe~2t—A2 sinI,видt>V,матрица.нулевая—s)ds,а_e-2t00s) ds,--e-2tгдеl(s)l(t-s)-функция—Bр+8)--cos(t-s)=1Jтеоремуy2(t) (t)где3)w2-+14=(р-чтонаходим,yi( (t)7)ол-+2[C+системуправляемыххарактеристикипереходныхвпроцессовуправляемыхсистемахВуправленияпередаточныефункции,конкретныхуправленияхЗдесьдополнительныесистемынаиэтотхарактеристики,натевопросиныеилинайтиможнорешениевнешниевозмущения.системы,описывающейихуправле-можнопомощьюИначеопределятьзнаяговоря,процессэтиконкрет-приусловиях.болеерассматриваетсяудобновходнойсистемхарактеристикиСначальныхзаданныхкоторымигармоническийвведеныфункции.переходныеисистемыреакциюбылипараграфепредыдущем—сигнал.пользоватьсяВводятсядетально.прианализедополнитель-реакцииси-переходныхХарактеристики5.Частотные5.1.описываетсявпроцессовПустьхарактеристики.системах45управляемыхсистемауправляемаяописы-уравнениемM(D)yM(D)гдематрица—причемВявляетсянихпредставитьсформулойвидеA(D)матрицаM(D).пхт,размерности(см.DD.4)).функциюпередаточнуюполиномматрицыдляматрица—относительноэтойсистемыJ=характеристический—n,D.14)W(D)гдеaполиномомвсоответствииможнохпразмерностиизкаждаяN(D)v,E.1)N(D)=L(D)системы,Пусть,сигналдалее,наприсоединенная—входеимеетсистемуввидv(t)АгдеE.1)уравнениеЕслинегикорнемимеетВ\векторыE.4)функцииТакэтаподстановка-[W(iout)Aelu;tудобноB2wqj(iou)=Rqj(ou)амплитудной частотнойэтойR(u)схарактеристикой—Полагая,Pqj(oj)qмодулемфункция—фазовойамплитудно-фазовойдействительнаяхарактеристика.1, 2,=E.6)п..

.,вещественнойwqj(iuo)=1, 2,переменнойчастотнойфункции,a(АЧХ),Pqj{uj)JriQqj{uoIчастотнаяRqj(uo)=соi/jqj(ou)m,E.7)1,. .,—ееамплитуд-Ф(о;)(ФЧХ),матрицаполучаемсэлемента-(ФЧХ),(АФЧХ).характеристикойхарактеристика,аргументом.называетсяхарактеристикойчастотной=jn,. .,элементамисистемыеедалее,—wqj(iui)Rq3(uj)e^^\являетсяМатричнаяij jk{oo){wqj(iou)}qвидевэлементамиформе+wqj(-iw)Aje~iu't],функциюпредставитьRqjW(—iu)A.шI==W(-iout)Ae-lu;t]E.5)скалярнойв-^№и(ш)А,е™г=+записатькомплекснозначнуюможноM(iu)Aeiw\=W(iu)A,=E.5)Каждуючастотная=В\yq(t)характеристики:функ-подстановкойнепосредственнойопределитьдаетФункциюaтокакследовательно,где0,=E.3).y(t)и,А(р)уравнения^(B1eMt+B2e-i"t),E.4)=M(D)eiwtAтоe~luJt).E.3)+решениеможноуравнениевдифференциальноеисходноехарактеристическогочастноеВ^иТогда\N(D)A(eluJt=y(t)гдеe~iujt),E.2)+видявляетсяE.3)-A(elu;t=вектор.принимаетM(D)yуравнениеoutcosпостоянныйm-мерный—A=ещедвехарактеристи-Qqj{uo)—мнимая46Гл.Отметим,чтовведенныеДелаетсяэтоyqвид\[wql(iou)elujtУдЭтотсигналнаRqi(uj)Аналогично,Rq2{oj)Вфд2(ш)ИТотявляетсячтоописаниеполучитьнеE.7),удается,системысg{D)иg(D)гдеbjиai—=a0Dk=b0Dlниеy(t)=функциюТакимединичныйсигнал.=fcoобразом,Поэтомуразомкнутой(см.fco+ахВк-х+b.D1'1++ak^D+..+..формулампоопределяемые+b^Dak,bh+системызапишемl(t)вkowo(D),E.9)=дифференциальноеE.8)уравнениесобойпредставляетвидеfcoE.8)системыреакциюимеетреше-накоэффициентомназываетсяединич-усиленияуправления.E.9))\gw(iu)g(D)v,E.8)=коэффициентфункциюформулуха-системаэтой=системыЗаписываяполучаемv(t)При—•случае,однаобразом.w(D)fc0томещеиспользуетсяпостоянные.вещественныеПередаточнуюгдеВхарактеристика.полиномы,f(D)параметровлинейнымиихописываютсяодномерной,управляемаяскалярныеанали-коэффициентами.следующимодномернаяяв-значениязвеньячастотнаявводитсяW(iu).полноеслучаевилиэтиявляетсякотораяf(D)вычисляемматрицырядепостояннымиf(D)yгде0,=экспериментально,Вчтоизвестно,система—Ап=..элементыуправления.Логарифмическаяданаyq(t)значениямвычислитьзвеньевхотяуправляемаяПустьследовательно,и,=всенаходимтеорииотдельныххарактеристика,п..