Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений, страница 10

. .Рассмотрим расслоение π̃: RN2 → R из пространства RN2 размерности N2 =1 + n1 + m1 + m2 с координатами t, z, v, ξ такое, что π̃(t, z, v, ξ) = t. Уравнения (2.25) задают в J 1 π̃ подмногообразие S. Бесконечное продолжение S ∞этого подмногообразия лежит в J ∞ π̃ и имеет координатыt, z, v, ξ, v̇, . . .

, v (s) , ξ (s) , . . . .Отображение F из E ∞ в S ∞ , которое ”забывает” координаты ζ1 , . . . , ζn2и сохраняет остальные координаты, есть накрытие размерности n2 системы (2.25) системой (2.25)–(2.26).63Теорема 2.3. Если S ∞ — диффеотоп системы (2.25), ν: E ∞ → S ∞ — конечномерное накрытие, а ζ = (ζ1 , . . .

, ζq ) — координаты слоя ν в окрестноститочки θ ∈ E ∞ , то система E в окрестности этой точки задается уравнениямиż = g1 (t, z, v),ζ̇ = g(t, ζ, z, v, v̇, . . . , v (l) ).(2.27)Доказательство следует из определений и того факта, что производныеζ в силу системы E есть функции от t, ζ, z, v, v̇, . . . , v (l) для некоторого l ≥ 0.Система (2.27) есть частный случай системы (2.25)–(2.26). Однако еслипеременные v можно разбить на две части: ṽ и ξ, при этом правые частисистемы (2.27) не зависят от производных ξ, а функция g1 не зависит и от ξ,мы получаем систему вида (2.25)–(2.26).Из замечания выше и теоремы 2.3 следуетТеорема 2.4.

Система E имеет орбитальную декомпозицию (2.27) тогдаи только тогда, когда существует конечномерное накрытие из системы E всистему (2.25).Рассмотрим систему видаa(t, z, ż, . . . , z (l) ) = 0,a ∈ Rn1 , z ∈ Rn1 +m1 ,ζ̇ = b(t, ζ, z, . . . , z (l) , ξ, . . . , ξ (l) ),ζ ∈ Rn2 , ξ ∈ Rm2 .(2.28)(2.29)Система (2.28)–(2.29) более общего вида, чем система (2.25)–(2.26). Мы также будем называть ее системой декомпозируемого вида. Исследуем задачуприведения системы с управлением к виду (2.28)–(2.29).Заметим, что полная производная по независимой переменной системы (2.28)–(2.29) имеет вид∞X∂∂ξ (j+1) (j) ,D = D2 + b(t, ζ, z, . . .

ξ ) +∂ζ j=0∂ξ(l)где D2 — полная производная по независимой переменной системы (2.28).Нетрудно видеть, что столбец X = (∂/∂ζ1 , . . . , ∂/∂ζq )T векторных полей надиффеотопе этой системы удовлетворяет равенству[X, D] = AX,(2.30)64где [X, D] — столбец коммутаторов [∂/∂ζi , D], i = 1, . . . , q, а AX — произведение матрицы функций A = (∂bi /∂ζj )i,j=1,...,q и столбца X.Набор векторных полей X1 , . .

. , Xq на диффеотопе E ∞ системы E будемназывать f –набором системы E, если1) векторные поля X1 , . . . , Xq порождают инволютивное распределениена E ∞ ;2) векторные поля X1 , . . . , Xq и DE линейно независимы в каждой точке ипорождают инволютивное распределение на E ∞ ;3) существует такое кольцо K функций на E ∞ , что F0 (E) ⊂ K ⊂ Fl (E) длянекоторого целого l ≥ 0 и Xi (K) ⊂ K для любого i = 1, .

. . , q.Регулярной точкой f –набора назовем точку общего положения θ ∈ E ∞ соответствующего кольца K, в окрестности которой существуют такие функцииζ1 , . . . , ζq ∈ K, что матрица Xi (ζj )(θ) невырождена.Теорема 2.5.a) Набор векторных полей ∂/∂ζ1 , . . . , ∂/∂ζq есть f –набор системы (2.28)–(2.29).b) Любой f –набор системы E в окрестности точки общего положения определяет для системы E орбитальную декомпозицию вида (2.28)–(2.29).c) Для любой орбитальной декомпозиции вида (2.28)–(2.29) системы E существует f –набор системы E, определяющий эту декомпозицию.J a) Для полей ∂/∂ζ1 , . . .

, ∂/∂ζq в качестве кольца K можно взять кольцогладких функций от t, ζ, z, ż, . . . , z (s) , ξ. Условие регулярности f –набора такжевыполняется для указанных полей, так как в качестве функций g1 , . . . , gq ∈ Kможно взять функции ζ1 , . . . , ζq .

Данные поля коммутируют, поэтому их F(E)–линейная оболочка есть алгебра Ли (здесь E есть система (2.28)–(2.29)). Аусловие 2) выполняется, так как справедливо равенство (2.30). Таким образом, указанные поля образуют регулярный f –набор системы (2.28)–(2.29).b) Искомый C–диффеоморфизм из заданной системы E в систему вида (2.28)–(2.29) будем строить так, чтобы независимая переменная и зависимые переменные z системы (2.28) были общими первыми интегралами векторных полей f –набора.65Пусть θ ∈ E ∞ — точка общего положения f –набора X1 , . . .

, Xq системы E,а K — соответствующее кольцо. По теореме 1.13 существуют такие окрестность U ∞ ⊂ E ∞ точки θ, система S ⊂ J p π̃ и C–диффеоморфизм F : U ∞ → S ∞ ,что K ⊂ F ∗ F0 (S) и любой элемент из F ∗ F0 (S) представляет собой функцию конечного числа элементов K. Учитывая указанные свойства K и соотношение Xi (K) ⊂ K, получаем вложение F∗ (Xi ) F0 (S) ⊂ F0 (S) для i = 1, . . . , q,а значит, отображение π̃∞,0 S ∞ проецирует поля F∗ (X1 ), . . . , F∗ (Xq ) в некоторые поля Z1 , . . . , Zq на J 0 π̃.Рассмотрим подкольцо K1 в Fl+1 (E), порожденное элементами из K и изD(K) = {D(g) | g ∈ K}.

Для любого i = 1, . . . , q имеем Xi (K1 ) ⊂ K1 , так как изPравенства (2.30) следует, что Xi (Dg) = D(Xi g) + j aij Xj (g) ∈ K1 , где g ∈ K,а aij — элемент матрицы A.Так как C–диффеоморфизм F сохраняет распределение Картана, то K1 ⊂F ∗ F1 (S) и любой элемент из F ∗ F1 (S) представляет собой функцию конечного числа элементов K1 .

Как и π̃∞,0 S ∞ отображение π̃∞,1 S ∞ проецирует поля F∗ (X1 ), . . . , F∗ (Xq ) в некоторые поля Z11 , . . . , Zq1 на J 1 π̃. Так как1∞π̃∞,0 S ∞ = π̃1,0 S 1 ◦ π̃∞,1 S ∞ , где S = π̃∞,1 (S ), то π̃1,0 S 1 проецирует поляZ11 , . . .

, Zq1 в поля Z1 , . . . , Zq .Пусть g1 , . . . , gq — такие функции из K, определенные в окрестности точки θ, что матрица Xi (gj )(θ) невырождена (см. условие 2 определения f –набора). Тогда (F −1 )∗ (gj ) ∈ F0 (S) (см. свойства кольца K) для j = 1, . . . , q ив точке θ00 = π̃∞,0 S ∞ F (θ) ∈ J 0 π̃ имеемZi (F −1 )∗ (gj ) (θ00 ) = Xi (gj )(θ),i, j = 1, . . . , q,(2.31)а значит, матрица с элементами (2.31) невырождена. Поэтому распределение, порожденное полями Z1 , .

. . , Zq , регулярно в некоторой окрестности точки θ00 ∈ J 0 π̃.Так как поля X1 , . . . , Xq проецируются при отображении π̃∞,0 S ∞ ◦F в поляZ1 , . . . , Zq , то их коммутаторы проецируются в коммутаторы полей Z1 , . . . , Zq .66Последние есть поля на J 0 π̃, поэтому из условия 3 определения f –набора следует, что векторные поля Z1 , . .

. , Zq порождают инволютивное распределениев некоторой окрестности точки θ00 . По теореме Фробениуса указанное распределение интегрируемо и обладает полным набором первых интегралов. Аналогичными свойствами обладает распределение на S 1 , порожденное полямиZ11 , . . .

, Zq1 .Независимая переменная t системы S является функцией на J 0 π̃(напомним, мы отождествляем функцию g ∈ Fl (S) с функцией(π̃∞,l S ∞ )∗ (g) ∈ S ∞ ). Если Zj (t) 6≡ 0 для некоторого j = 1, . . . , q, то выберемновую независимую переменную τ системы S следующим образом. В точке θ00рассмотрим R-прямую Rθ10 , соответствующую точке θ10 = π̃∞,1 S ∞ (F (θ)) ∈ S 1 .Пусть τ — такой общий первый интеграл векторных полей Z1 , . . . , Zq , чтоуказанная R-прямая не касается поверхности уровня τ в точке θ00 . Функцию(π̃∞,0 S ∞ )∗ (τ ) обозначим также через τ. Из определяющего свойства полнойпроизводной Dt следует, что проекция вектора Dt θ0 , θ0 = F (θ), на J 0 π̃ есть направляющий вектор R-прямой, соответствующий точке θ10 .

Поэтому Dt (τ )(θ0 )равно производной функции τ вдоль направляющего вектора R-прямой Rθ10 , азначит, Dt (τ )(θ0 ) 6= 0 и в окрестности точки θ0 функция τ может быть выбранав качестве независимой переменной системы S (см. (1.35)).Отметим, что если g — общий первый интеграл полей F∗ (X1 ), . . ., F∗ (Xq ),то из равенства (2.30) следует, что Dt (g) есть также их общий первый интеграл. Функция τ является общим первым интегралом этих полей по построению. Поэтому этим же свойством обладает и функция Dt (τ ). С другойстороны, полная производная Dτ по новой независимой переменной τ равна(см. (1.35))Dτ =1Dt .Dt (τ )Поэтому Dτ также отображает первые интегралы в первые интегралы f –набора.67Дополним τфункциями ϕ1 , . .

. , ϕs∈C ∞ (S 1 ) до максимально-го функционально независимого набора общих первых интегралов полей Z11 , . . . , Zq1 . Так как матрица с элементами (2.31) невырождена,то функции τ, ϕ1 , . . . , ϕs , (F −1 )∗ (g1 ), . . . , (F −1 )∗ (gq ) образуют систему координат в окрестности точки θ10∈S 1 . Обозначим через ζ1 , . . . , ζqфункции (F −1 )∗ (g1 ), . . . , (F −1 )∗ (gq ). Их производные Dτ (ζ1 ), . . . , Dτ (ζq ) естьфункции на S 1 , а значит, есть функции от τ, ϕ1 , . . .

, ϕs , ζ1 , . . . , ζq . Получаемуравнения видаDτ (ζ) = b(τ, ζ, ϕ).(2.32)Остальные уравнения системы S есть уравнения на общие первые интегралыполей F∗ (X1 ), . . . , F∗ (Xq ). Действительно, функции τ, ϕ1 , . . ., ϕs , ζ1 , . . . , ζq образуют систему координат на S 1 , поэтому любое уравнение системы S можнозаписать в видеG0 (τ, ϕ, ζ, Dτ (ϕ), Dτ (ζ), .

. . , Dτl (ϕ), Dτl (ζ)) = 0.Удалив из этого уравнения производные Dτi (ζ), используя соотношения (2.32),получаем уравнение видаG(τ, ϕ, ζ, Dτ (ϕ), . . . , Dτl (ϕ)) = 0.Производная этого уравнения вдоль поля F∗ (Xi ) имеет видqXG0ζj Zi (ζj ) = 0.j=1Так как матрица (Zi (ζj ))i,j=1,...,q невырождена, то G0ζj ≡ 0, j = 1, . . .

, q, а значит, функция G не зависит от ζ иG(τ, ϕ, Dτ (ϕ), . . . , Dτl (ϕ)) = 0.(2.33)Применим аналогичные рассуждения к остальным уравнениям системыS. Если ни функция ϕi , ни ее производные Dτ (ϕi ), . . . , Dτl−1 (ϕi ) не входят68ни в одно уравнение системы S вида (2.33), то обозначаем ее ξi1 с соответствующим номером i1 . Иначе обозначаем функции ϕi , Dτ (ϕi ), .

. . , Dτli −1 (ϕi )через zi2 , . . . , zi3 , где li — порядок старшей производной этой функции, входящей в уравнения системы S вида (2.33). Тогда уравнения (2.33) принимаютвид (2.28), а уравнения (2.32) — вид (2.29).c) То, что система E имеет орбитальную декомпозицию вида (2.28)–(2.29),означает, что существует C–диффеоморфизм F из E ∞ в диффеотоп системы (2.28)–(2.29). Часть a) данной теоремы утверждает, что векторные полей∂/∂ζ1 , .