Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений, страница 12

Вектор(x, z, θ) является состоянием системы, вектор (u, ϕ) — ее управлением.Система (2.46) плоская в области {u 6= 0} с плоским выходом y1 = x, y2 =z [47]. На переменные системы (2.46) налагаются естественные ограниченияна скорость (|u| ≤ u0 ), на угол поворота передних колес (|ϕ| ≤ ϕ0 ) и наускорение (|u̇| ≤ a).74Задача терминального управления для системы (2.46) с начальными значениями x0 , z0 , θ0 и конечными значениями xf , zf , θf сводится к двум связанным задачам терминального управления. Первая задача состоит в поиске кривой (траектории автомобиля) с концами в точках (x0 , z0 ) и (xf , zf ) снаклоном касательных θ0 и θf в них. Если кривая, заданная параметрическими уравнениями x = x(τ ), z = z(τ ), τ ∈ [τ0 , τf ], есть решение этой задачи, то вторая задача состоит в поиске такой функции τ (t), t ∈ [t0 , tf ], чтоτ (t0 ) = τ0 , τ (tf ) = τf .

Скорость и ускорение системы зависит от выбора функции τ (t), тогда как угол ϕ не зависит, так как tg ϕ/l есть кривизна кривой.Поэтому ограничения на ϕ, а также на x и z учитываются при решении первой задачи, а ограничения на скорость и ускорение — при решении второйзадачи. Мы получаем декомпозицию задачи терминального управления.Пример 7. Движение вертолета в вертикальной плоскости описываетсясистемой уравнений [65]u1u2sin θ −cos θ,MMu2u1cos θ +sin θ,z̈ = g −MMθ̈ = Lu2 ,ẍ = −(2.47)где x и z — координаты центра масс вертолета в земной неподвижной системе координат в вертикальной плоскости (y = 0), θ — угол рыскания (углыкрена и тангажа равны нулю), u1 , u2 — управления (проекции силы тяги несущего винта на две оси строительной системы координат), L = lh /iyy , lh —расстояние от втулки несущего винта до центра масс фюзеляжа, iyy — второй диагональный элемент матрицы инерции вертолета, M — общая массавертолета и g — ускорение свободного падения.Рассмотрим задачу терминального управления для системы (2.47) c граничными условиямиx(t0 ) = 0, z(t0 ) = z0 , θ(t0 ) = 0, ẋ(t0 ) = 0, ż(t0 ) = 0, θ̇(t0 ) = θ̇0 ,x(tf ) = xf , z(tf ) = zf , θ(tf ) = 0, θ̇(tf ) = 0.(2.48)75Система (2.47) имеет классические симметрии∂,∂xt∂∂+,∂x ∂ ẋ∂,∂zt∂∂+ .∂z ∂ żФакторизация системы (2.47) вдоль алгебры, порожденной симметриями(t − tf )∂∂+,∂x ∂ ẋ(t − tf )∂∂+ ,∂z ∂ żимеет видu1u2sin θ + (t − tf ) cos θ,MMu1u2β̇ = −(t − tf )g + (t − tf ) cos θ − (t − tf ) sin θ,MMθ̈ = Lu2 ,α̇ = (t − tf )(2.49)где α = x − (t − tf )ẋ, β = z − (t − tf )ż.Граничные условия (2.48) определяют граничные условияα(t0 ) = 0, β(t0 ) = z0 , θ(t0 ) = 0, θ̇(t0 ) = 0,α(tf ) = xf , β(tf ) = zf , θ(tf ) = 0, θ̇(tf ) = 0.Система (2.49) плоская в области θ̇ 6= 0 с плоским выходом h̃1 = θ, h̃2 =−α cos θ + β sin θ.Чтобы управлять вертолетом и в области, где θ̇ = 0, перейдем к плоскомувыходу(t − tf )2h2 = −α cos θ + β + g2h1 = θ,sin θ +(t − tf )θ̇.LMБудем искать зависимость h1 от t и h2 от θ = h1 .

Имеем2˙2dhh(t−t)1f2h˙1 = θ̇,== α sin θ + β + gcos θ +.dθ2LMθ̇Поэтому в момент t = t0 :h1 = 0,h˙1 = 0,h2 = 0,dh2=dθ(t0 − tf )2z0 + g2cos θ +1,LM76а в момент t = t0 :h1 = 0,h˙1 = 0,h2 = −xf ,dh21= zf +.dθLMТаким образом, значения θ = h1 в эти моменты совпадают, а значения h2 (θ) —нет.Терминальную задачу (2.47)-(2.48) можно решать, разбив интервал[t0 , tf ] на интервалы [t0 , t1 ] и [t1 , tf ], на которых θ = h1 изменяется монотонно,и определив сначала зависимость h1 от t, а затем h2 от θ = h1 .2.6. Метод накрытий для лиувиллевых системДинамические системы с управлением, орбитально эквивалентные системам вида(ki )xi= fi (t, y, . .

. , y (s) ),i = 1, n,называют лиувиллевыми [98].y = (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm ,(2.50)Как и в случае плоской системы (см. [19,47]), множество решений лиувиллевой системы легко описать:мно-жество решений системы (2.50) состоит из таких наборов функций(x1 (t), .

. . , xn (t), y1 (t), . . . , ym (t)), что функции y1 (t), . . . , ym (t) произвольны, афункции x1 (t), . . . , xn (t) находятся интегрированием правых частей системы (2.50). Переменные y1 , . . . , ym называют лиувиллевыми, их набор y —лиувиллевым выходом (по аналогии с плоским выходом [19, 47]), а переменные x1 , .

. . , xn — интегральными.Любая лиувиллевая система эквивалентна системе (2.50) с ki = 1 для всехi = 1, n. Так, в переменныхxli=lX(−t)ss=0s!(ki +s−l−1)xi,l = 0, 1, . . . , ki − 1,i = 1, . . . , n,система (2.50) имеет вид(−t)l˙lxi =fi (t, y, . . .

, y (si ) ),l!l = 0, 1, . . . , ki − 1,i = 1, . . . , n.77По этой причине и для упрощения обозначений рассмотрим только случай, когда ki = 1 для всех i = 1, n и m = 1. Предположим, что для системы (2.50) такого вида поставлена задача терминального управления c граничными условиямиx|t=t0 = x0 ,ỹ|t=t0 = ỹ0 ,x = (x1 , . .

. , xn ),x|t=tf = xf ,ỹ|t=tf = ỹf ,ỹ = (y (0) , . . . , y (L−1) ).(2.51)Для уравнения y (L) = v с конечными условиями ỹ|t=tf = ỹf построим rзамыкание видаy (k) = U (t, y),y = (y (0) , . . . , y (k−1) ),k = n + 2L,с накрытием, заданным функциями pj = pj (t, y),(2.52)j = 1, L (о способе постро-ения таких r-замыкания и накрытия см. раздел 2.2).В расширенном фазовом пространстве системы (2.52) рассмотрим векторное полеk−2X∂∂∂D=+y (l+1) (l) + U (t, y) (k−1) ,∂t∂y∂yl=0jи функции Fi (t, y), i = 1, n, определенные условиямиD(Fi ) = fi ,Fi |t=tf = 0.(2.53)Теорема 2.7.

Уравнение (2.52) удовлетворяет условиям (A) и (B) определения r–замыкания граничной задачи для системыẋi = fi (t, y, . . . , y (s) ),i = 1, n,(2.54)с граничными условиями (2.51), а функции pj , qi = xi − Fi , j = 1, L, i = 1, n,определяют соответствующее накрытие.JТак как векторная функция p = (p1 , . . . , pL ) определяет накрытие r-замыкания (2.52), то она удовлетворяет системе вида ṗ = P (t, p), где ṗ обозначает производную p в силу уравнения (2.52). Но та же система получается,78если дифференцировать p в силу системы (2.52), (2.54). С другой стороны, для i = 1, n производная функции qi в силу системы (2.52), (2.54) равнаẋi − D(Fi ) = 0 (см. (2.53)). Поэтому векторные функции p, q = (q1 , .

. . , qn )определяют накрытие из системы (2.52), (2.54) в систему ṗ = P (t, p), q̇ = 0,т.е. условие (A) выполняется.Для конечных условий из (2.51) условие (B) также выполняется, так как pудовлетворяет условию (B) для уравнения (2.52), а из второго условия в (2.53)следует равенство q|t=tf = x|t=tf = xf . IИз теоремы 2.7 следует, что если для начальных условий из (2.51) выполняется условие (C) определения r–замыкания, то уравнение (2.52) естьr–замыкание граничной задачи (2.54), (2.51), и для ее решения можно использовать метод накрытий.Для каждого i = 1, n условия (2.53) представляют собой задачу Коши дляуравнения в частных производных первого порядка.

Мы предлагаем решатьэти задачи численно, если не удается решить их аналитически.Выводы по второй главеВо второй главе изложены основные теоретические результаты работы.Среди них — метод накрытий для решения задач терминального управления. Показано, что если r-замыкание и накрытие для такой задачи строятся,то задача терминального управления решается последовательным решениемдвух задач Коши. Показано, как строить r-замыкание и накрытие в случаеплоских и лиувиллевых систем. В частности, оказывается, что в качествеr-замыкания плоской системы можно выбрать произвольную определеннуюсистему обыкновенных дифференциальных уравнений нужного порядка, длякоторой известно общее решение. На основе этого факта для учета ограничений задачи изложен подход, основанный на понятии инвариантного множества системы.79Другим теоретическим результатом главы является применение орбитальных декомпозиций систем с управлением к задачам терминального управления.

В отличие от классических работ по декомпозиции систем с упправлением (см. п. 1.4) мы используем более общее преобразование систем —орбитальную эквивалентность. Это приводит к новым результатам, к понятию декомпозиции задач терминального управления, и позволяет обобщитьметод предварительного выбора пути (см. п. 1.7).Еще одним результатом работы является подход к решению задач терминального управления, основанный на понятии зеркальной симметрии системы. Показано, как применение такой симметрии позволяет снизить количество граничных условий терминальной задачи.Сформулированные в этой главе методы и подходы облегчают решение задач терминального управления, а в некоторых случаях позволяют полностьюрешить такие задачи.80Глава 3.

Примеры решениязадач терминального управления3.1. Решение терминальной задачи длясистемы, описывающей движение вертолета3.1.1. Математическая модель движения вертолетаДля описания движения вертолета зададим земную неподвижную системукоординат, у которой ось Oz сонаправлена с вектором ускорения свободногопадения, и строительную систему координат, жестко связанную с корпусомвертолета.

Центр строительной системы координат поместим в центр массвертолета, а ее оси совместим с главными осями инерции. Угловое положениекорпуса вертолета будем задавать углами крена, тангажа и рыскания.Рассмотрим упрощенную математическую модель движения вертолета схвостовым винтом (см. [65]):ẋ = vx , ẏ = vy , ż = vz ,cos ψ sin θ cos ϕ + sin ψ sin ϕcos ψ cos θv˙x = −u1 −u2 −MMcos ψ sin θ sin ϕ − sin ψ cos ϕ−u3 ,Msin ψ sin θ cos ϕ − cos ψ sin ϕsin ψ cos θv˙=−u−u2 −y1MMsin ψ sin θ sin ϕ + cos ψ cos ϕ−u3 ,Msin θcos θ sin ϕcos θ cos ϕv˙z = g −u1 +u2 −u3 ,MMMϕ̇=p+qsinϕ+rcosϕtgθ,θ̇ = q cos ϕ − r sin ϕ,ψ̇=qsinϕ+rcosϕsec θ,iyy − izzlh u3ṗ=qr−,iixxxxizz − ixxlh u2q̇=rp+,iiyyyyi − iyylt u4 ṙ = xxpq +,izzizz(3.1)81где x, y и z — координаты центра масс вертолета в земной неподвижной системе координат; vx , vy и vz — проекции скорости центра масс; ϕ, θ и ψ —углы крена, рыскания и тангажа; p, q, r — скорости крена, рыскания и тангажа; u1 , u2 , u3 и u4 — управления (u1 , u2 и u3 — три проекции силы тягинесущего винта на оси строительной системы координат, а u4 — сила тягирулевого винта); ixx , iyy , izz — диагональные элементы матрицы инерции вертолета; lh — расстояние от втулки несущего винта до центра масс фюзеляжа;lt — расстояние от втулки хвостого винта до центра масс фюзеляжа; M —общая масса вертолета; g — ускорение свободного падения.Отметим, что в рассматриваемой модели не учитываются силы аэродинамического сопротивления и аэродинамические моменты.