Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений, страница 14

График x∗ (t)Рис. 3.2. График ẋ∗ (t)На Рис. 3.5 приведен график зависимости Lu2∗ (t) на всем отрезке [t1 , t2 ]времени движения. Это управление решает поставленную задачу терминального управления. Этот график является разрывной функцией от времени.Для устранения этого недостатка можно использовать стандартные алгоритмы сглаживания разрывных функций, что выходит за рамки данной работы.90Рис. 3.3. График θ∗ (t)Рис.

3.4. График θ̇∗ (t)3.1.6. Решение задачи терминального управлениядля движения вертолета в вертикальной плоскостиРассмотрим теперь еще раз систему (3.3)cos θsin θẍ=−uu21−MMcos θsin θz̈ = g −u1 +u2MM θ̈ = Lu ,2(3.22)которая описывает движение вертолета в вертикальной плоскости. Поставимдля нее следующую задачу терминального управления: перевести вертолет91Рис. 3.5.

График управления Lu2∗ (t)из положения равновесияx(t0 ) = 0,z(t0 ) = z0 ,θ(t0 ) = 0,ẋ(t0 ) = 0,ż(t0 ) = 0,θ̇(t0 ) = 0, (3.23)в состояниеx(tf ) = xf ,z(tf ) = zf ,θ(tf ) = 0,θ̇(tf ) = 0.(3.24)Для решения этой задачи используем метод декомпозиций, описанный вразделе 2.5. Система (3.22) имеет классические симметрии∂,∂xt∂∂+,∂x ∂ ẋ∂,∂zt∂∂+ .∂z ∂ żФакторизация системы (3.22) вдоль алгебры, порожденной симметриями(t − tf )∂∂+,∂x ∂ ẋ(t − tf )∂∂+∂z ∂ żимеет видu1u2sin θ + (t − tf ) cos θ,MMu1u2β̇ = −(t − tf )g + (t − tf ) cos θ − (t − tf ) sin θ,MMθ̈ = Lu2 ,α̇ = (t − tf )где α = x − (t − tf )ẋ, β = z − (t − tf )ż.(3.25)92Граничные условия (3.23)-(3.24) определяют следующие граничные условия на переменные α, βα(t0 ) = 0,α(tf ) = xf ,β(t0 ) = z0 ,β(tf ) = zf ,θ(t0 ) = 0,θ̇(t0 ) = 0,θ(tf ) = 0,(3.26)θ̇(tf ) = 0.Система (3.25) орбитально плоская в области θ̇ 6= 0 с плоским выходомh1 = θ,(t − tf )2(t − tf )θ̇h2 = −α cos θ + β + gsin θ +.2LM(3.27)Действительно, продифференцируем h2 по времени в силу системы (3.25):1(t − tf )2 ḣ2 = θ̇+ α sin θ + β + gcos θ .LM2Выражениеḣ2равно производной dh2 /dθ.

Поэтомуθ̇1(t − tf )2dh2=+ α sin θ + (β + g) cos θ.dθLM2(3.28)Используя выражения (3.27) и (3.28), выразим переменные состояния системы через переменные плоского выхода и их производные:θ = h1 ,1α=LM1β=LM dh2ḣ1 (t − tf ) cos h1 − sin h1 +sin h1 − h2 cos h1 ,dθ(t − tf )2dh2ḣ1 (t − tf ) sin h1 + cos h1 − g+ h2 sin h1 +cos h1 .2dθd2 h2в силу системы (3.25), получимdθ2d2 h2u1(t − tf )2= (t − tf )+ α cos θ − β + gsin θ.dθ22M ḣ1Вычислив производную(3.29)Теперь, используя выражения (3.27) и (3.29), получим выражение для управления u1 :M θ̇u1 =t − tfd2 h2θ̇2h2 +− (t − tf ).dθ2L(3.30)93Выражение для управления u2 (t) получается из последнего уравнения системы (3.25):u2 =ḧ1.LБудем искать зависимость h1 от t и h2 от θ = h1 . Имеем1dh2(t − tf )ḣ2= α sin θ + β + g=cos θ +.ḣ1 = θ̇,dθ2LMθ̇Поэтому в момент времени t = t0 условия на переменные плоского выходаследующие:h1 = 0,ḣ1 = 0,h2 = 0,dh2=dθ(t0 − tf )21z0 + g+,2LMа в момент времени t = tf :h1 = 0,ḣ1 = 0,h2 = −xf ,dh21= zf +.dθLMТаким образом, значения θ = h1 в эти моменты совпадают, а значения h2 (θ)— нет.

Будем решать терминальную задачу (3.22)–(3.24), разбив отрезок[t0 , tf ] на отрезки [t0 , t1 ] и [t1 , tf ], на которых θ = h1 изменяется монотонно.Положимt1 =t0 + tf,2h1 (t1 ) = θ1 ,ḣ1 (t1 ) = 0.Функцию h1 (t) выберем так, чтобы θ̈ гладко зависела от θ. Многочлен(tf − t)3 (t − t0 )3h1,∗ (t) = 64θ1(tf − t0 )6удовлетворяет этому условию и всем граничным условиям для h1 (t) на отрезках [t0 , t1 ] и [t1 , tf ]. График этого многочлена при θ1 = −0.35 изображен наРис. 3.6.Функцию h2 (θ) будем искать отдельно на каждом отрезке [t0 , t1 ] и [t1 , tf ],и на обоих отрезках в виде многочленов. Обозначим за h12,∗ (θ) желаемуюфункцию h2 на отрезке [t0 , t1 ], а за h22,∗ (θ) — желаемую функцию h2 на отрезке[t1 , tf ].94Рис. 3.6. График функции h1 (t)Функция h12,∗ (θ) должна удовлетворять условиям12dh(t−t)10f2,∗(0) = z0 + g+,h12,∗ (0) = 0,dθ2LMdh12,∗10(θ1 ) = ḣ02 ,h2,∗ (θ1 ) = h2 ,dθгде h02 , ḣ02 — параметры, которые можно варьировать. Таким образом, напервом отрезке [t0 , t1 ] функция h12,∗ — многочлен третьего порядка, зависящийот θ.

Функция h22,∗ (θ) удовлетворяет следующим условиямdh22,∗(θ1 ) = ḣ02 ,=dθ 2dh2,∗(0) = zk +h22,∗ (0) = −xf ,dθh22,∗ (θ1 )h02 ,d2 h12,∗d2 h22,∗(θ1 ) =(θ1 ),dθ2dθ21,LMd2 h11,∗где значение(θ1 ) вычисляется на предыдущем этапе. Это условие обесdθ2печивает гладкость управления u1 (t). Значит, многочлен h22,∗ — многочленчетвертого порядка, зависящий от θ.Графики h2 (θ) при θ1 = −0.35 приведены на рисунках 3.7, 3.8.Чтобы найти управление, воспользуемся формулой (3.30).

УправлениеM θ̇(t)d2 h2,∗ (θ(t))θ̇2 (t)u1,∗ (t) =h2 (θ(t)) +−(t − tf )t − tfdθLрешает задачу терминального управления (3.25)–(3.26), а значит, и задачутерминального управления (3.22)–(3.24).95Рис. 3.7. График функции h12,∗ (θ) на первом этапе управленияРис. 3.8. График функции h22,∗ (θ) на втором этапе управленияПри использовании этого управления возникает особенность при стремлении t → tf , поэтому заменим это управление кусочной функциейũ1,∗ (t) =u1,∗ (t),t ∈ [t0 , tf − ε];(3.31)0,t ∈ [tf − ε, tf ];где временной параметр ε > 0.3.1.7.

Результаты численного моделированияВыполним численнное моделирование решения указанной задачи терминального управления. Параметры модели зададим те же, что и в [65], а имен-96но:M = 4313 кг,g = 9, 8 м/c2 ,L = 1, 0456 · 10−4 1/c2 .Дополнительные параметры моделирования выберем следующим образом:t0 = 30 c,tf = 40 c,θ1 = −0, 35,xf = 100 м,h02 = −63 м,ḣ02 = −185 м.z0 = −100 м,zf = −200 м,Рис. 3.9.

График координаты x(t)Рис. 3.10. График координаты z(t)Как видно из графиков (см. Рис. 3.9, Рис. 3.10), заданное управлениерешает поставленную задачу терминального управления, вертолет перехо-97дит из положения равновесия (3.23) в другое заданное положение равновесия(3.24).Рис.

3.11. График управления u1 (t)(t − tf )На Рис. 3.11 приведем полученные графики управления (3.31), для удобства умноженный на (t − tf ).Отметим, что использованный метод требует тонкой настройки параметров, поскольку при неудачно заданных значениях граничных условий в точкеt1 возможны траектории, которые, хоть и являются решениями поставленнойзадачи терминального управления, но не удовлетворяют ограничениям, которые следуют из физической постановки задачи.3.2. Управление четырехвинтовым вертолетом3.2.1. Математическая модель квадрокоптераЧетырехвинтовой вертолет (квадрокоптер,четырехроторный верто-лет) представляет собой летательный аппарат с четырьмя винтами (см.Рис.

3.12). Винты закреплены на двух пересекающихся крест-накрест жестких балках и вращаются диагонально в противоположных направлениях, какпоказано на Рис. 3.13.98Рис. 3.12. Модельчетырехвинтового вертолетаРис. 3.13. Вращениевинтов вертолетаВ работах [2,3] показано, что движение квадрокоптера описывает плоскаясистема. Для управления такими системами применим метод динамическойобратной связи. Однако в этих работах свойство плоскостности используетсятолько частично: задача стабилизации в окрестности положения равновесиярешается заменой системы на ее линеаризацию, а для решении задачи терминального управления используются только движения вдоль координатныхосей.В данной работе решаются задачи терминального управления на этапахвзлета и посадки, а также задача стабилизации в окрестности желаемой траектории.

При этом используется метод динамической обратной связи, разработанный для плоских систем (см. [99]). Приведенные результаты демонстрируют, что данный метод применим и к рассматриваемой нелинейной моделичетырехвинтового вертолета, несмотря на ее сложность (12–мерное состояниеи 4–мерное управление).99Движение четырехвинтового минивертолета можно считать суммой поступательного движения центра масс и сферического движения тела относительно центра масс (см. [2]). Центр масс квадрокоптера находится на пересечении балок, на которых закреплены винты.Обозначим за Ox, Oy, Oz оси глобальной системы координат (связаннойс землей), а за OX, OY , OZ оси локальной системы координат, связанной сквадрокоптером.

Начало второй системы находится в центре масс квадрокоптера.Запишем второй закон Ньютона динамической системы:m~a = −mg e~z + R(ψ, θ, ϕ)~u,где ~a = (ẍ; ÿ; z̈)T — суммарное ускорение динамической системы, m — массасистемы, e~z — единичный вектор, направленный вдоль оси Oz, R(ψ, θ, ϕ) —матрица поворота локальной системы относительно центра масс, ψ — уголкрена, θ — угол тангажа, ϕ — угол рыскания (углы Эйлера), ~u — сумманеконсервативных сил, действующих на систему (включая силы лобового сопротивления и силу тяги винтов). Мы будем для упрощения считать, чтосилы сопротивления отсутствуют и в качестве ~u выступает только суммарная сила тяги четырех винтов, которую можно записать в виде:~u =4Xi=1f~i =4Xki ωi2 e~3 ,i=1где e~3 — единичный вектор, направленный вдоль оси OZ, ki — некоторыеположительные константы, ωi — угловые скорости винтов.Матрица поворота в данном случае имеет вид (здесь обозначено sin α = sα,cos α = cα):cθcψsψsθ−sθ R(ψ, θ, ϕ) =  cψsθsϕ − sψcϕ sθsϕsψ + cψcϕ cθsϕ cψsθcϕ + sψsϕ sθsψcϕ − cψsϕ cθcϕ100Умножим R(ψ, θ, ϕ) на ~u: 0∗ ∗ −sθ −sθ   u  ∗ ∗ cθsϕ   0  = u  cθsϕ  cθcϕ1∗ ∗ cθcϕгде u =4Pki ωi2 .

Получим следующую систему обыкновенных дифференци-i=1альных уравнений:mẍ = −u sin θmÿ = u cos θ sin ϕmz̈ + mg = u cos θ cos ϕ.Дополним систему уравнениями по остальным переменным:mẍ = −u sin θmÿ = u cos θ sin ϕmz̈ + mg = u cos θ cos ϕ(3.32)ψ̈ = τ̃ψθ̈ = τ̃θϕ̈ = τ̃ϕ ,где τ̃ = (τ̃ψτ̃θτ̃ϕ )T — вектор угловых ускорений точки в локальной систе-ме.Квадрокоптером можно управлять, только увеличивая или уменьшая силу тяги каждого винта, т.е. величинами fi = ki ωi2 , i = 1, 2, 3, 4. Приведемформулы связи f1 , f2 , f3 , f4 и u, τ̃ (их вывод можно найти в [3]). Считаем,что винты и их двигатели идентичны: ki = k, i = 1, 2, 3, 4, а расстояние ихдо центра масс одинаково и равно l.

Обозначим через IG матрицу инерцииквадрокоптера и положим ΠG (η) = IG J(η),1 0J(η) =  0 cϕ0 −sϕгде−sθ sϕ cθ  .cϕ cθ101Тогдаτ = ΠG (η)τ̃ + Π̇G (η)η̇,где η = (ψθϕ)T , τ = (τψτθ(3.33)τϕ )T иτψ = kl(ω12 + ω32 − ω22 − ω42 ),τθ = kl(ω22 − ω42 ),τϕ = kl(ω32 − ω12 ).Получаем следующие выражения для сил тяги:ττϕ u ψf1 =−+, 4lτ 2lτ 4 u ψθf2 = − + +,4 τ 4l τ 2l u ψϕf3 =++, 4lτ 2lτ 4 u θψ.f4 = − − +4l 2l 4(3.34)Далее, решая задачи управления, мы будем использовать систему (3.32),считая τ̃ и u входом (управлением) системы. После того, как закон управления в виде функций τ̃ и u от времени и состояния будет найден, мы найдемвыражения для истинных управлений f1 , f2 , f3 , f4 , используя формулы (3.33)и (3.34).Отметим, что выбором соответствующего τ̃ψ мы можем обеспечить любое значение угла крена и первой производной угла крена, а от переменнойψ остальные уравнения не зависят.