Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений, страница 13

Такое упрощениемодели на первом этапе исследования представляется допустимым, посколькууказанные силы и моменты можно учесть при решении задачи стабилизациинайденного программного движения с использованием более полной модели.Также предполагается, что втулка несущего винта расположена на вертикальной оси строительной системы координат на расстоянии lh от центрамасс.Рассмотрим движение вертолета в вертикальной плоскости. Не нарушаяобщности, положим y = 0.

При движении в выбранной вертикальной плоскости ψ(t) = ϕ(t) = 0 и ṙ(t) = ṗ(t) = 0. В этом случае система уравнений (3.1)упрощается и сводится к системеsin θcos θv˙=−u−u2 ,x1MMcos θsin θ v˙z = g −u1 +u2 ,MMθ̇ = q,lh u2. q̇ =iyyОбозначим L =lh.iyy(3.2)Cистему (3.2) можно записать в виде системы диффе-82ренциальных уравнений второго порядкаsin θcos θẍ=−u−u2 ,1MMsin θcos θu1 +u2 ,z̈ = g −MM θ̈ = Lu .2(3.3)Выразив из первого и второго уравнения системы (3.3) управление u2 ,получимu2 = −M ẍ− u1 tg θcos θи u2 = −M (g − z̈)+ u1 ctg θ.sin θОтсюдаu1 = M (g − z̈) cos θ − ẍ sin θ .(3.4)Подставив (3.4) в первое уравнение (3.3), после упрощений получимẍ = −(g − z̈) tg θ −u2.M cos θРассмотрим движение вдоль горизонтальной прямой.

Не нарушая общности, зададим эту прямую уравнением z = c. В этом случае получим системудифференциальных уравнений второго порядкаẍ = −g tg θ −θ̈ = Lu2 ,1u2 ,M cos θ(3.5)которую будем рассматривать как математическую модель, описывающуюдвижение вертолета по горизонтальной прямой.Для выбранного многообразия (горизонтальной прямой) поставим следующую задачу терминального управления: перевести вертолет из одного положения равновесияx(t1 ) = x1 ,θ(t1 ) = 0,ẋ(t1 ) = 0,θ̇(t1 ) = 0,(3.6)ẋ(t2 ) = 0,θ̇(t2 ) = 0,(3.7)в другое положение равновесияx(t2 ) = x2 ,θ(t2 ) = 0,где момент t1 начала движения задан, а момент t2 окончания движения можетбыть выбран произвольно с учетом очевидного требования t2 > t1 .833.1.2.

Симметрия задачи о движении вертолета вдольгоризонтальной прямой и синтез программного движенияРассмотрим пространство переменных системы (3.5), т.е. пространство скоординатами t, x, θ, ẋ, θ̇, u2 . СоотношениеF:t; x; θ; ẋ; θ̇; u2 →7t1 + t2 − t; x1 + x2 − x; −θ; ẋ; θ̇; −u2(3.8)определяет отображение этого пространства, которое графики решений задачи (3.5), (3.6), (3.7) отображает в графики решений этой задачи.

Такоеотображение будем называть симметрией задачи терминального управления(3.5)–(3.7).Будем искать инвариантное относительно симметрии (3.8) решение задачи (3.5)–(3.7), т.е. такое решение, которое отображается в себя при преобразовании (3.8).Искомое инвариантное решение определяется своими значениями на отрезке [t1 , t3 ], где t3 =t1 + t2,2и удовлетворяет условиямx(t3 ) =x1 + x2,2θ(t3 ) = 0,(3.9)при этом значения ẋ(t3 ), θ̇(t3 ) произвольны в силу четности переменных ẋ иθ̇ относительно преобразования (3.8). Отметим, что построенная симметрияпозволяет снизить количество граничных условий задачи. Поскольку граничными условиями в данном случае становятся уравнения (3.6), (3.7), (3.9),от четырех граничных условий на правом конце задачи переходим к двум.Для нахождения программного движения сначала решаем задачу терминального управления (3.5), (3.6), (3.9) и находим соответствующую программную траекторию и программное управление u2,∗ (t).По найденному на отрезке [t1 , t3 ] решению строим для задачи (3.5)–(3.7)программное управление:u2 (t) =u2,∗ (t),t ∈ [t1 , t3 ];−u (t + t − t),t ∈ [t , t ].2,∗ 1232(3.10)84Чтобы получить соответствующую зависимость переменных состояния отвремени, решаем задачу Коши для системы (3.5) с управлением, заданнымсоотношением (3.10) и начальными условиями (3.6).3.1.3.

Накрытия в задаче о движениивертолета вдоль горизонтальной прямойВоспользуемся понятием накрытия и методом накрытия, подробно описанным в разделе 2.2. Перейдем к поиску накрытия с требуемыми свойствами взадаче о движении вертолета вдоль горизонтальной прямой.Обозначим x3 =x1 + x2.2Условия (3.6), (3.9) для системы (3.5) перепишемв видеx(t1 ) = x1 ,θ(t1 ) = 0,ẋ(t1 ) = 0,x(t3 ) = x3 ,θ(t3 ) = 0,θ̇(t1 ) = 0,(3.11)(3.12)где t1 , x1 и x3 заданы, а t3 можно выбирать произвольно с учетом t3 > t1 .Для решения задачи (3.5), (3.11), (3.12) выразим u2 из первого уравнениясистемы (3.5) и подставим во второе уравнение.

Получимẍ = −g tg θ −θ̈.LM cos θ(3.13)Зададим функцию ξ в виде 1 2ẍθ̇ − ẋθ̈ξ=D (x) =,θ̇θ̇3где D — производная по t в силу системы (3.5). Добавим к уравнению (3.13)уравнениеD(ξ) = 0.(3.14)Уравнение (3.14) определяет r–замыкание поставленной задачи. А именно,будем искать решение задачи терминального управления среди решений системы (3.13), (3.14). Выберем выходẋ θ2h = x − θ + ξ.2θ̇(3.15)85На решениях системы (3.13)-(3.14) в точках, где θ̇ 6= 0, имеемḣ = 0.(3.16)Действительно,ẋθ2 ˙θ2 ˙ θ2 ˙ẍθ̇ − ẋθ̈ḣ = ẋ − θ̇ − θ+ θθ̇ξ + ξ = −θξ θ̇ + θθ̇ξ + ξ = ξ = 0,222θ̇θ̇2поскольку ξ˙ = 0.Функция h, заданная соотношением (3.15), определяет накрытие из системы (3.13), (3.14) в систему (3.16), т.е.

накрытия r–замыкания (3.14).Использовать выход h для решения задачи (3.11)–(3.14) нельзя, так какэта функция не определена в области θ̇ = 0, а в начальной точке (см. (3.11))θ̇(t1 ) = 0.Поэтому разобьем поставленную задачу терминального управления на двезадачи. Первая необходима для выведения системы из положения равновесия,вторую решим с использованием построенного накрытия.Сначала выберем момент времени t4 ∈ [t1 , t3 ], числа θ0 < 0, θ̇0 > 0 и найдеммногочлен θ∗ (t) степени 3, удовлетворяющий условиямθ∗ (t1 ) = 0,θ˙∗ (t1 ) = 0,θ∗ (t4 ) = θ0 ,θ˙∗ (t4 ) = θ̇0 .(3.17)Построенный многочлен задает программное изменение переменных θ∗ (t) иθ̇∗ (t) на отрезке [t1 , t3 ], а следовательно, и программное изменение θ̈∗ (t).Из первого уравнения системы (3.5) найдем программное управлениеu2 (t) = θ̈∗ (t)/L, определенное на отрезке [t1 , t4 ], и для второго уравнениясистемы (3.5) с найденным управлением получим решение задачи Коши сначальными условиями, определенными в (3.11).

В результате определимпрограммное изменение x∗ (t) и ẋ∗ (t) на отрезке [t1 , t4 ].Таким образом, на указанном отрезке времени найдено программное движение, удовлетворяющее заданному граничному условию в момент времениt1 .86Построенное r–замыкание и накрытие используем для решения терминальной задачи (3.13)–(3.14) на отрезке [t4 , t3 ] с конечными условиями (3.12)и начальными условиямиx(t4 ) = x∗ (t4 ),θ(t4 ) = θ0 ,ẋ(t4 ) = x˙∗ (t4 ),θ̇(t4 ) = θ̇0 .(3.18)Из соотношений (3.12) следует, чтоh(t3 ) = x3 .(3.19)Начальные условия (3.18) не дают никаких ограничений на h, если значениеξ в точке t = t4 зависит от θ̈(t4 ). Значения t4 , θ0 и θ̇0 необходимо подбирать,исходя, в частности, из этого условия.Из уравнения (3.16) и условия (3.19) следует, что h ≡ x3 .

Используя этотфакт и вычисляя значение правой части равенства (3.15) в точке t = t4 сучетом условий (3.18), находим θ̈(t4 ). Добавляя это значение к набору (3.18),получаем начальные условия для системы (3.13), (3.14).Для нахождения программной траектории решаем соответствующую задачу Коши при t > t4 . Находим первый момент времени, когда θ = 0.

Это иесть искомый момент времени t3 . Одновременно получаем решение (x(t), θ(t))на отрезке [t4 , t3 ].Полученное решение, если оно существует, есть решение задачи терминального управления (3.12), (3.13), (3.18). Действительно, по построению оноудовлетворяет системе (3.13), начальным условиям (3.18) и второму равенству в (3.12). На этом решении функция (3.15) постоянна, а так как z(t4 ) = x3 ,то z(t3 ) = x3 . С другой стороны, из (3.15) следует равенство z(t3 ) = x(t3 ),так как θ(t3 ) = 0 в силу выбора момента t3 . Поэтому выполняется и первоеравенство в (3.12).Объединяя решения на отрезках [t1 , t4 ] и [t4 , t3 ], получаем решение задачитерминального управления (3.5), (3.11), (3.12).873.1.4. Построение программного движенияПриведем общую схему получения программной траектории и программного движения для рассматриваемой двухточечной терминальной задачи.Как указывалось выше, построения проводятся в четыре этапа.На первом этапе необходимо вывести динамическую систему из состоянияравновесия.

Сначала ищем многочлен третьего порядка θ∗ (t), определенныйна отрезке [t1 , t4 ] и удовлетворяющий условиям (3.17). Этот многочлен имеетвидθ∗ (t) = a1 t3 + a2 t2 + a3 t + a4 ,гдеθ̇0 t4 − θ̇0 t1 − 2θ0,(t4 − t1 )32θ̇0 t21 − θ̇0 t1 t4 − θ̇0 t24 + 3t1 θ0 + 3t4 θ0,=(t4 − t1 )3a1 =a2a3a4θ̇0 t31 + θ̇0 t21 t4 − 2θ̇0 t1 t24 + 6t1 t4 θ0=−,(t4 − t1 )3t21 (θ̇0 t1 t4 − θ̇0 t24 − t1 θ0 + 3t4 θ0 )=.(t4 − t1 )3Программное управление на первом этапе равноu2 =1¨1θ∗ (t) = (6a1 t + 2a2 ),LLт.е. линейно по времени.Программное изменение x∗ (t) и ẋ∗ (t) находим численно как решение соответствующей задачи Коши для (3.13) при подстановке в правую часть θ∗ (t)и θ¨∗ (t).На втором этапе для построения программного движения используем ме...тод накрытий. Выразив θ из уравнения ξ˙ = 0 (см. (3.14)), получим...θ=3LM ẋθ̈2 + 3 sec θθ̇θ̈(gLM sin θ + θ̈) − sec2 θθ̇3 (gLM + sin θθ̈).θ̇(sec θθ̇ + LM ẋ)(3.20)88Находим значение θ̈(t4 ) из соотношения z(t4 ) = x3 для функции (3.15) с учетом(3.13):LM θ̇(g tg θθ2 + 2(x3 − x)θ̇2 + 2θθ̇ẋ)θ̈(t4 ) = −,θ2 (sec θθ̇ + LM ẋ)(3.21)где значения переменных x, θ, ẋ, θ̇ берутся в точке t = t4 (см.

(3.18)).Решаем задачу Коши для системы двух уравнений (3.13) и (3.20) с начальными условиями (3.18) и (3.21). Интегрирование останавливаем в тотмомент, когда θ становится равным нулю. Такой момент времени обозначаем t3 . В результате находим функцию управления u2 (t) = θ¨∗ (t)/L на отрезке[t4 , t3 ].Управление на третьем и четвертом этапах строится с использованиемметода симметрий и задается формулой (3.10). Таким образом, управлениена третьем этапе симметрично управлению на втором этапе, а управление начетвертом этапе симметрично управлению на первом этапе. По продолжительности третий этап равен второму, а четвертый первому, поэтому общеевремя движения определяется как T = 2(t3 − t1 ), а время окончания движениякак t2 = t1 + 2(t3 − t1 ).3.1.5. Результаты численного моделированияЗададим следующие граничные условия: t1 = 20 , x(t1 ) = 100 , x(t2 ) =300 . Параметры модели возьмем из [65].

Выберем также дополнительныепараметры: t4 = 28 , θ0 = −0,2, θ̇0 = 0,3.Приведем графики зависимостей программного изменения переменных состояния системы от времени и программного управления от времени, полученных описанным выше методом.Из рисунков 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 видно, что решена поставленная задача терминального управления, вертолет переводится из положения равновесия в положение равновесия. Для удобства восприятия графиков этапы управленияразделены вертикальными линиями.89Рис. 3.1.