Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений, страница 8

Время движенияT конечно и не фиксировано.Предположим плоским является выходξ = (ξ1 , . . . , ξm )T = h(x, u, . . . , u(l) ).(1.48)48Переменные состояния и управления выразим через функции плоского выходаи их производные:x = Φ1 (ξ, . . . , ξ (k−1) ),u = Φ2 (ξ, . . . , ξ (k) ).(1.49)Будем обозначать через I и Ŷ области в пространтствах с координатами(1)(k−1)ξ1 , .

. . , ξm , ξ1 , . . . , ξm(k)(k)и ξ1 , . . . , ξm соответственно. Кроме того, пустьS := {(x, u) ∈ Rn × Rm |f (x, u) = 0}— множество положений равновесия система (1.47),Y = {y ∈ h(x, u, 0, . . . , 0)|(x, u) ∈ S ∩ int(X × U)} ⊂ Rm— соответствующее множество в пространстве значений плоского выхода,где int(X × U) — внутренность множества X × U.Условия разрешимости поставленной задачи терминального управлениядает следующая теорема.Теорема 1.14.[16] Пусть система (1.47) плоская с плоским выходом (1.48), а соответствующие функции Φ1 и Φ2 из (1.49) непрерывны в областях I и J = I × Ŷ соответственно, причем выполнено условиеX × U ⊆ Φ1 (I) × Φ2 (J ),где Φ(I) — образ множества I при отображении Φ.

Кроме того, пусть K —открытое, линейно связное и ограниченное подмножество множества Y, аy0 = h(x0 , u0 , 0, . . . , 0) ∈ K,yT = h(xT , uT , 0, . . . , 0) ∈ K.Тогда существует решение x(t), u(t) системы (1.47), удовлетворяющее условиям∀t ∈ [0, T ] : x(t) ∈ X , u(t) ∈ U,T ∈ [0, +∞),x(0), u(0) = (x0 , u0 ), x(T ), u(T ) = (xT , uT ).49Задача терминального управления решается в два этапа. На первом этапестроится гладкий путь в K, соединяющий точки y0 и yT :p : [α0 , αT ] −→ K,p(α0 ) = y0 , p(αT ) = yT .На втором этапе численно решается задача оптимального управления поиска такой зависимости α(t) параметра пути от времени, которая минимизирует время движения T при выполнении граничных условийΦ1 pΦ1 pΦ2 pΦ2 pdk−1 pα(0) , .

. . , k−1 α(0) = x0 ,dtdk−1 pα(T ) , . . . , k−1 α(T ) = xT ,dtdk pα(0) , . . . , k α(0) = u0 ,dtdk pα(T ) , . . . , k α(T ) = uT ,dtи ограничений задачи:dk−1 px(t) = Φ1 p α(t) , . . . , k−1 α(t) ∈ X ,dtdk pu(t) = Φ2 p α(t) , . . . , k α(t) ∈ Udt∀t ∈ [0, T ].Можно показать, что если α(t) — решение этапа 2, тоdk pu(t) = Φ2 p(α(t)), . . .

, k (α(t))dt— решение поставленной терминальной задачи.Далее мы покажем, что указанное разделение решения задачи терминального управления на два этапа соответствует декомпозиции плоской системы.50Выводы по первой главеВ первой главе изложены основные теоретические результаты, известныеранее и используемые в работе. В частности, сформулированы задачи терминального управления и стабилизации, дано определение плоских и динамически линеаризуемых систем, изложены известные методы решения указанныхзадач для данных систем. Сделан подробный обзор литературы по локальнойдекомпозиции систем и связанных с ними задач управления.

Сформулированы основные результаты, касающиеся декомпозиции систем по статическойобратной связи.Значительное внимание уделено изложению геометрических моделей динамических систем с управлением на языке конечных и бесконечных джетов. Вчастности, определяются понятия симметрии и накрытия, на основе которыхдалее разрабатываются методы терминального управления.Кроме того, изложен метод предварительного выбора пути для терминального управления плоскими системами, который позволяет учитывать ограничения задачи.

Изложенные результаты могут быть теоретической базой новых методов терминального управления, учитывающих ограничения систем.51Глава 2. Основные теоретические результаты2.1. Использование симметрии длярешения задач терминального управленияПусть задана система с одномерным управлением видаẋ = f (t, x, u),x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,u ∈ R.(2.1)Рассмотрим пространство Rn+2 с координатами t, x1 , . . . , xn , u. Обозначим через U область этого пространства, где определена система (2.1).

Рассмотриммодуль 1–форм Картана (см. п. 1.5.1) в области U :C 1 Λ(U ) = spanC ∞ (U ) {dxi − fi (t, x, u) dt | i = 1, . . . , n}.Напомним (см. п. 1.5.2), что элементы этого модуля есть в точности те 1–формы на U , которые равны нулю на графиках всех решений системы (2.1).Предположим для системы (2.1) поставлена какая–либо задача терминального управления на отрезке [t0 , tf ]. Обозначим через M0 множество точекобласти U , удовлетворяющих начальным условиям, а через Mf — множествоточек области U , удовлетворяющих конечным условиям.

Так, для задачиx(t0 ) = x0 ,x(tf ) = xfимеемM0 = {(t0 , x0 , u) | u ∈ R} ∩ U,Mf = {(tf , xf , u) | u ∈ R} ∩ U.Пусть tc ∈ [t0 , tf ]. Обозначим через U1 и U2 множество точек областиU , координата t которых удовлетворяет условию t ∈ [t0 , tc ] и t ∈ [tc , tf ] соответственно. Диффеоморфизм F из некоторой области пространства Rn+2 ,содержащей U1 , в U называют зеркальной симметрией задачи терминального управления, если1) F ∗ C 1 Λ(U ) ⊆ C 1 Λ(U );522) F (M0 ) ⊆ Mf ;3) F ∗ (t) = 2tc − t.Из условий 2 и 3 этого определения следует, что 2tc = t0 + tf и F (U1 ) = U2 .Обозначим через Mc множество таких точек P области U , что точки P иF (P ) имеют одинаковые координаты t, x1 , .

. . , xn и могут отличаться толькозначениями координаты u. Из условия 3 следует, что Mc лежит в слое {t = tc }области U .Теорема 2.1. Пусть поставленная для системы (2.1) задача терминального управления имеет зеркальную симметрию F , а x∗ (t), u∗ (t) — такое решение системы (2.1) на отрезке [t0 , tc ], что t0 , x∗ (t0 ), u∗ (t0 ) ∈ M0 ,tc , x∗ (tc ), u∗ (tc ) ∈ Mc . Тогда(u∗ (t),t ∈ [t0 , tc ]u(t) =(2.2)∗F (u) 2tc − t, x∗ (2tc − t), u∗ (2tc − t) , t ∈ (tc , tf ]есть решение поставленной задачи терминального управления, т.е.

подставляя эту функцию в систему (2.1) и решая для такой системы задачу Кошис заданными начальными условиями, получаем решение, удовлетворяющееконечным условиям.J Обозначим через γ график решения x∗ (t), u∗ (t) , t ∈ [t0 , tc ]. Тогда γ ⊂U1 , F (γ) ⊂ U2 . Из условия 3 определения зеркальной симметрии следует,что образ F (γ) пересекает каждый слой {t = const} только в одной точке.Поэтому F (γ) представляет собой кривую вида x̃(t), ũ(t) , t ∈ [tc , tf ].Для любой формы ω из C 1 Λ(U ) имеем ω|F (γ) = F ∗ (ω)|γ = 0, так как изусловия 1 определения зеркальной симметрии F ∗ (ω) ∈ C 1 Λ(U ), а ограничениеформы из C 1 Λ(U ) на график решения системы (2.1) равно нулю.

Следовательноdxi − fi (t, x, u) dt |F (γ) = d x̃i (t) − fi t, x̃(t), ũ(t) dt =˙= x̃i (t) − fi t, x̃(t), ũ(t) dt = 0для любого i = 1, . . . , n, а значит x̃(t), ũ(t) — решение системы (2.1) наотрезке [tc , tf ], см. теорему 1.3 из п. 1.5.1.53По условию tc , x∗ (tc ), u∗ (tc ) ∈ Mc , а F tc , x∗ (tc ), u∗ (tc ) = tc , x̃(tc ), ũ(tc ) .Поэтому x̃(tc ) = x∗ (tc ), а векторная функция x (t), t ∈ [t , t ]∗0 cx(t) = x̃(t), t ∈ (tc , tf ](2.3)непрерывна на отрезке [t0 , tf ].Кроме того, по условию t0 , x∗ (t0 ), u∗ (t0 ) ∈ M0 , а F t0 , x∗ (t0 ), u∗ (t0 ) =tf , x̃(tf ), ũ(tf ) .

Поэтому из условия 2 определения зеркальной симметрииполучаем tf , x̃(tf ), ũ(tf ) ∈ Mf .Фиксируем t ∈ (tc , tf ]. Рассмотрим точку P = 2tc −t, x∗ (2tc −t), u∗ (2tc −t) .Имеем F (P ) = t, x̃(t), ũ(t) . Поэтому для t ∈ (tc , tf ]:ũ(t) = u F (P ) = F ∗ (u)(P ) = F ∗ (u) 2tc − t, x∗ (2tc − t), u∗ (2tc − t) .Таким образом, векторная функция (2.3) есть решение системы, получающейся из системы (2.1) подстановкой (2.2). Так как эта функция удовлетворяет начальным и конечным условиям, то (2.2) — решение поставленнойзадачи терминального управления. IЗеркальная симметрия задачи терминального управления используетсядалее для решения задачи управления вертолетом.2.2.

Описание метода накрытийПусть E и Y — две определенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. По определению (см. п.1.6.2), накрытием из системыE в систему Y является сюръективное отображение расширенного фазового пространства системы E в расширенное фазовое пространство системыY, при котором любая траектория системы E отображается в траекториюсистемы Y, а прообраз любой траектории системы Y состоит из точек траекторий некоторой подсистемы системы E. При этом говорят, что система E54накрывает систему Y, слоем накрытия называют прообраз любой точки расширенного фазового пространства системы Y, систему Y называют базовой,ее зависимые переменные — базовыми переменными, а остальные зависимыепеременные системы E — переменными слоя.Рассмотрим метод накрытий для решения задачи терминального управления для системыx ∈ X ⊂ Rn ,ẋ = f (t, x, u),u ∈ U ⊂ Rm ,(2.4)с граничными условиямиx(t0 ) = x0 ,x(tf ) = xf .(2.5)Предположим, что мы нашли функции Ui , ϕj , i = 1, m, j = 1, n, переменных(k −1)t, x1 , .

. . , xn , u1 , u̇1 , . . . , u1 1m −1), u2 , . . . , u(k,mk1 + . . . + km = n,удовлетворяющие следующим условиям.(A) Соотношения pj = ϕj , j = 1, n, определяют накрытие из системыẋj = fj (t, x1 , . . . , xn , u1 , . . . , um ),(ki )uij = 1, n,(k −1)= Ui (t, x1 , . . . , xn , u1 , u̇1 , . . . , u1 1(2.6)(k −1), u2 , . . . , umm),(2.7)i = 1, m,в систему видаṗ = P (t, p),p ∈ Rn .(2.8)(B) Заданные конечные значения x(tf ) однозначно определяют значения pf =p(tf ) и наоборот, значения p(tf ) однозначно определяют значения x(tf ).(C) Если p0 — значение в точке t0 решения p(t) системы (2.8), удовлетворяющего условию p(tf ) = pf , то система нелинейных уравнений(k −1)p0 = ϕ(t0 , x1,0 , . .

. , xn,0 , u1 (t0 ), . . . , u1 1m −1)(t0 ), u2 (t0 ), . . . , u(k(t0 ))m(2.9)55(k −1)имеет решение относительно u1 (t0 ), u̇1 (t0 ), . . . , u1 1(k −1)(t0 ), u2 (t0 ), . . . , umm(t0 ).В случае выполнения условий (A), (B), (C) задача (2.4), (2.5) может бытьрешена следующим образом.1. Из конечных условий (2.5) вычисляем значения p(tf ).2. Находим решение p(t) системы (2.8), удовлетворяющее условию p(tf ) =pf (решение задачи Коши в сторону уменьшения времени: от tf до t0 ).3. Вычисляем p(t0 ).4.(k −1)Из системы (2.9) находим значения u1 (t0 ), u̇1 (t0 ), .