Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений, страница 5

Действительно, пусть (t, x1 , . . . , xn+m ) — адаптированная система координат нарасслоении π над некоторой окрестностью U точки t0 ∈ M . Локальные координаты t, x1 , . . . , xn+m определяют функции на J k π. Дополним их функциями28(j)xi , которые определяются по формуле(j)xi ([s]kt0 )dj si (t0 )=,dtji = 1, . . . , n + m,j ≤ k.(j)Набор окрестностей πk−1 (U ) с координатными функциями t, xi , xi(j)структуру гладкого многообразия на J k π. Далее координаты xiзадаетмы будемназывать каноническими координатами, ассоциированными с адаптированной системой координат (t, xi ).Проекция πk : J k π → M является гладким локально-тривиальным расслоением. Так как для l < k класс эквивалентности [s]kt ∈ J k π однозначно определяет класс [s]lt ∈ J l π, то определены проекцииπk,l : J k π → J l π,πk,l ([s]kt ) = [s]lt .Проекции πk,l являются гладкими локально-тривиальными расслоениями,причем πl ◦ πk,l = πk .Для данного расслоения π можно рассмотреть серию многообразий джетовJ k π, k = 0, 1, .

. . Полезно представлять себе их расположенными одно наддругим в виде башни:Джеты и проекцииКоординаты в джетахJ k+1 πt, xi , xi , i = 1, . . . , n + m, j ≤ k + 1(j)↓ πk+1,kJ kπ(j)t, xi , xi , i = 1, . . . , n + m, j ≤ k↓ πk,k−1..........................................↓ π1,0J 0π = Et, xi , i = 1, . . . , n + m↓πMt29(k+1)При этом проекция πk+1,k ”забывает” значения xi, i = 1, . . .

, n + m, исохраняет остальные значения.При помощи введенных в рассмотрение объектов можно дать геометрическое описание распределения Картана.Заметим, что если s — сече-ние расслоения π, то для любой точки t ∈ M можно определить элементjk (s)(t) = [s]kt ∈ Jtk . Отображение jk (s): M → J k π есть гладкое сечениерасслоения πk : J k π → M .

Оно называется k–джетом сечения s. Графикомk–джета сечения s в пространстве J k π будем называть кривую jk (s)(M ).Пусть θ = [s]kt . Касательную в точке θ ∈ J k π к графику jk (s)(M ) k-джетасечения s называют R-прямой.Заметим, что R-прямая в точке [s]kt определяется (k + 1)-джетом сеченияs.

Более того, точку θ0 ∈ J k+1 π можно рассматривать как пару, состоящуюиз точки θ = πk+1,k (θ0 ) ∈ J k π и R-прямой Rθ0 ⊂ Tθ (J k π), которая представляетсобой касательную к графику k-джета такого сечения s, что [s]k+1= θ0 . Говоряtиначе, θ0 — это набор значений производных до порядка k + 1, а прямая Rθ0 ⊂Tθ (J k π) определяется значениями первых производных от k-х производных.Плоскостью Картана Cθk (π) в точке θ ∈ J k π называется линейная обо−1(θ), т. е. линейная оболочка всех касалочка всех прямых Rθ0 при θ0 ∈ πk+1,kтельных к графикам k-джетов сечений, проходящих через θ. СоответствиеC k : θ 7→ Cθk (π) называется распределением Картана на J k π.В канонических координатах на J k π распределение Картана задается набором 1-форм(l)(l)(l+1)dC xj = dxj − xjdt,l = 0, . .

. , k − 1, j = 1, . . . , n + m.Любая C ∞ (J k π)–линейная комбинация таких форм называется формой Картана на J k π.Произвольную гладкую поверхность E в J k π будем называть дифференциальным уравнением порядка k на сечения расслоения π. Теорему 1.3 можнообобщить и доказать, что график решения уравнения E ⊂ J k π есть 1-мерное30интегральное многообразие распределения Картана на J k π, целиком лежащее на поверхности E и без вырождения проектирующееся отображением πkна прямую R.Распределение Картана C(E) на уравнении E⊂J k π определяется как ограничение на E распределения Картана на J k π, т.е.

Cθ (E) = Cθk (π) ∩ Tθ (E) дляθ ∈ E.1.5.3. Симметрии систем с управлениемГоворя неформально, симметрия системы – это такое преобразование совокупности независимой, зависимых переменных и их производных, при котором сохраняются дифференциальные связи между этими переменными. Рассмотрим сначала симметрии простраств джетов, которые называются такжепреобразованиями Ли.Допустим, мы имеем независимую переменную t и зависимые переменныхx1 , . .

. , xn+m . Пусть заданы формулы замены переменных t̃ = g 0 (t, x , . . . , x1n+m ). x̃j = g j (t, x1 , . . . , xn+m )(1.29)Пользуясь стандартными правилами математического анализа, мы можем вdl x̃jdl xj(l)(l)этом случае выразить частные производные x̃j =через t, xj и xj =.dt̃ldt̃lПример 2. Пусть n + m = 3,t̃ = t1 + t2 − t x̃ = a + a − x1121x̃2 = −x2 x̃3 = x3 .Имеем(1)x̃1dx̃1dx̃1 . dt̃(1)=== x1 .dt dtdt̃31Аналогично получаем(1)(1)x̃2 = x2(1)(1)(2)(2)(2)(2)x̃3 = −x3x̃1 = −x1x̃2 = −x2(2)(2)x̃3 = x3 .Данные соотношения задают диффеоморфизм пространства J 2 π.Рассмотрим общую геометрическую конструкцию, соответствующую заменам переменных и продолжению действия этих замен на производные.Пусть π : E → M — некоторое расслоение.

Тогда формулы (1.29) можно интерпретировать как координатную запись некоторого диффеоморфизмапространства E. Диффеоморфизм A : E → E для любого k ≥ 1 порождаетдиффеоморфизм A(k) : J k π → J k π, определяемый следующим образом. Пустьθ — некоторая точка многообразия J k π, b и a — ее проекции в E и M соответственно. Выберем такое сечение s, что θ = [s]ka и рассмотрим его графикs(M ) ⊂ E. Под действием преобразования A точка b переходит в некоторую точку b0 ∈ E, а график s(M ) в некоторое подмногообразие многообразия E, которое в окрестности точки b0 будет иметь вид графика некоторогосечения, если только не расположится вертикально относительно проекцииπ : E → M .

Если оно локально совпадает с графиком сечения s0 , то положимA(k) (θ) = [s0 ]ka0 , где a0 = π(b0 ). Построенный диффеоморфизм A(k) называютk–ым поднятием диффеоморфизма A или точечным преобразованием многообразия J k π.Преобразование A(k) определено, вообще говоря, не на всем многообразииJ k π, но в некоторой открытой всюду плотной области в J k π (это вытекает изтого,что условия, достаточные для существования образа A(k) (θ), нарушаются при обращении в нуль некоторых миноров матрицы Якоби).

Этот геометрический факт соответствует тому, что в процессе преобразований производных могут появляться ”члены в знаменателе”, обращение которых в нуль32указывает множество значений переменных, где преобразование не определено.Из приведенной конструкции преобразования A(k) видно, что в областисвоего определения оно сохраняет распределения Картана C k .

В самом деле,подпространства Cθk порождаются R-прямыми Rθ̃ , θ̃ ∈ J k+1 π, а касательное(k)отображение A∗переводит такие прямые друг в друга: если A(s(M )) и(k)s0 (M ) в окрестности точки b0 = A(b) совпадают, то A∗,θ (Rθ̃ ) = Rθ̃0 , где θ =00 k+1[s]ka , θ̃ = [s]k+1a , θ̃ = [s ]a0 . Поскольку распределения Картана задаютсяформами Картана, преобразование A(k) сохраняет модуль форм Картана наJ k π. Этим фактом удобно пользоваться при практическом нахождении явныхформул, задающих преобразование A(k) .Диффеоморфизм F : J k π → J k π называют преобразованием Ли, еслиF∗,θ (Cθk ) = CFk (θ) для любой точки θ ∈ J k π.Распределение Картана на J 0 π совпадает со всем касательным расслоением многообразия J 0 π. Поэтому преобразованием Ли пространства 0–джетовявляется произвольный диффеоморфизм J 0 π.Процедура поднятия применима не только к диффеоморфизмам многообразия зависимых и независимых переменных E = J 0 π, но и к преобразованиям Ли любого многообразия джетов J k π.

При этом если F : J k π → J k π —преобразование Ли, то всюду, где определено поднятие F (l+s) : J k+l+s π →J k+l+s π, имеет место равенство (F (l) )(s) = F (l+s) .Понятие поднятия позволяет сформулировать следующую теорему оструктуре преобразований Ли в случае n + m > 1. Случай n + m = 1 здесь идалее мы не рассмативаем в виду его неактуальности в теории управления.Теорема 1.4. [83, Гл.3, теорема 3.1] В случае n + m > 1 всякое преобразование Ли многообразия джетов J k π расслоения π есть k–ое поднятиенекоторого (произвольного) диффеоморфизма пространства J 0 π.Замечание. Подразумевается, что диффеоморфизмы и преобразования,о которых идет речь, могут быть определены не всюду, но на некоторыхоткрытых областях.33Векторное поле X на многообразии J k π называется полем Ли, если егофазовый поток состоит из преобразований Ли.Пусть X — поле Ли на J k π и {At } — его фазовый поток.

По определению,(l)At — преобразования Ли и, следовательно, определены их поднятия At намногообразие J k+l π, также являющиеся преобразованиями Ли. Поле X (l) , со(l)ответствующее однопараметрической группе {At }, называется поднятиемполя X.Теорема 1.5. [83, Гл.3, теорема 3.3] Всякое поле Ли на J k π в случаеn + m > 1 имеет вид X (k) , где X — векторное поле на пространстве J 0 π.Переход на инфинитезимальную точку зрения имеет два преимущества.Первое заключается в том, что поднятие поля Ли, в отличие от поднятияконечного преобразования Ли, всегда определено на всем многообразии.

Действительно, для того, чтобы узнать вектор поля X (1) , приложенный к некоторой точке θ ∈ J k+1 π, нужно знать сколь угодно малый участок траекторииэтой точки под действием фазового потока этого поля. Остается заметить,что точке θ отвечает R–прямая в J k π и при достаточно малых преобразованиях Ли образ этой прямой также является R–прямой, т.е. задает некоторуюточку в J k+1 π.Вторым достоинством использования инфинитезимальных симметрийвместо конечных преобразований является то, что существуют явные вычислительные формулы, выражающие компоненты векторного поля X (k) черезкомпоненты поля X.Теорема 1.6.

[83, Гл.3, теорема 3.4] Еслиn+mX∂∂X=a +bj∂t j=1 ∂xj— координатная запись векторного поля X на J 0 π, то его поднятие на многообразие J k π имеет видkX(k)n+mXX∂∂=a +blj (l) ,∂t∂xj=1l=0j34где коэффициенты blj вычисляются по формулам(l+1)blj = axjи+ Dl (ϕj ),(1)ϕj = bj − axjn+m ∞X X (l+1) ∂∂D=xj+(l)∂t j=1∂xl=0j— оператор полной производной по t.Вектор–функцию ϕ = (ϕ1 , .