Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений, страница 6

. . , ϕn+m ) называют производящим сечением(или производящей функцией) поля Ли X (k) . Её смысл заключается в том, чтоона, во-первых, однозначно определяет данное поле, а во-вторых, ее значенияна графике k-джета (или, что равносильно, 1-джета) всякого сечения задаетскорость его эволюции под действием фазового потока, порожденного даннымполем (см. [83, гл.3, п.3.2]).Классической (конечной) симметрией уравнения E ⊂ J k π называется такое преобразование Ли A : J k π → J k π, что A(E) ⊂ E.Классической инфинитезимальной симметрией уравнения E ⊂ J k π называется поле Ли, касающееся E.С практической точки зрения конечные симметрии, разумеется, предпочтительнее; однако искать их нелегко. Общих алгоритмов поиска таких симметрий в сущности нет, и, кроме очевидных соображений, найти их можнолишь случайно или используя «физические» соображения.

Напротив, поискинфинитезимальных симметрий происходит по вполне определенному алгоритму, приводящему, с технической точки зрения, к решению (как правило,сильно переопределенных) систем линейных дифференциальных уравнений.Это объясняется тем, что поля Ли можно эффективно описать при помощипроизводящих функций. Поэтому обычно употребляют термин «симметрия»,имея в виду инфинитезимальную симметрию, а чаще всего— даже производящую функцию инфинитезимальной симметрии.351.6.

Бесконечномерные модели систем с управлениемПостроение теории преобразований общего вида, в частности, теорииплоских систем невозможно в рамках конечномерной дифференциальной геометрии. Необходимо рассматривать пространства бесконечных джетов и бесконечные продолжения систем (подробности см. в [83]).1.6.1. Пространства бесконечных джетов и их геометрияПространство бесконечных джетов J ∞ π определяется как обратный предел цепочки проекцийπ1,0πk+1,kJ 0 π ←− J 1 π ← . .

. ← J k π ←− J k+1 π ← . . . .А именно, элементом J ∞ π является последовательность таких точек θk ∈ J k π,k ≥ 0, чтоπ1,0πk+1,kθ0 ←− θ1 ← . . . ← θk ←− θk+1 ← . . . .Для l ≥ 0 определим отображение π∞,l : J ∞ π → J l π формулой π∞,l (θ) = θl , гдеθ — последовательность {θk }k≥0 . Канонические координаты на многообразиях(l)конечных джетов порождают канонические координаты (x0 , xj , xj ) на J ∞ π,где j = 1, . .

. , n, а l — произвольное натуральное число.Бесконечный джет [s]∞t сечения s расслоения π в точке t есть последовательность k–джетов [s]kt , k ≥ 0. Отображение j∞ (s): R → J ∞ π, j∞ (s)(t) =[s]∞t , называют бесконечным джетом сечения s.На множестве J ∞ π определяются аналоги основных дифференциальногеометрических понятий, встречающихся в дифференциальном исчислениина конечномерных многообразиях. Определим их кратко (подробности см.в [83, гл.4, §1]).Касательный вектор Xθ к многообразию J ∞ π в точкеθ = {θk }k≥0 ∈ J ∞ π определяется как совокупность {Xθk } таких касательныхвекторов к многообразиям J k π в точках θk соответственно, что(π1,0 )∗(πk+1,k )∗Xθ0 ←− Xθ1 ← .

. . ← Xθk ←− Xθk+1 ← . . . .(1.30)36По определению,касательное отображение (π∞,l )∗ проецирует вектор{Xθk }k≥0 в вектор Xθl .Как и в случае конечномерных многообразий, касательный вектор к J ∞ πинтерпретируется как дифференцирование алгебры гладких функций со значениями в R, а векторное поле — как дифференцирование этой алгебры. Приэтом гладкие функции на J ∞ π определяются следующим образом. Обозначимчерез Fk (π) алгебру гладких функций на конечномерном многообразии J k π.Для чисел k, l таких, что k ≥ l, имеем вложение (πk,l )∗ : Fl (π) → Fk (π).Отождествляя функции f ∈ Fl (π) и (πk,l )∗ (f ) ∈ Fk (π) положим F(π) =S∞k≥0 Fk (π). Элементы F(π) называются гладкими функциями на J π. Аналогично, дифференциальные формы на J ∞ π определяются как элементы мноSжества Λi (J ∞ ) = k≥0 Λi (J k π).Производная функции f ∈ F(π) вдоль вектора Xθ = {Xθk }k≥0 по определению равна производной этой функции вдоль вектора Xθl : Xθ (f ) = Xθl (f ), гдеl — такое число, что f ∈ Fl (π).

Операция вычисления производной функциивдоль вектора к многообразию J ∞ π есть дифференцирование в точке.Семейство X = {Xθ } касательных векторов на J ∞ π, параметризованныхточками θ ∈ J ∞ π, называют векторным полем на J ∞ π. Как и в конечномерном случае производная функции f ∈ F(π) вдоль векторного поля Xесть функция θ 7→ Xθ (f ), обозначаемая через X(f ). Векторное поле на J ∞ πназывают гладким, если производная любой гладкой функции вдоль этого поля есть гладкая функция.

Операция вычисления производной функции вдольвекторного поля на J ∞ π есть дифференцирование алгебры F(π). В канонических координатах на J ∞ π векторные поля, т.е. дифференцирования алгебрыF(π), представляют собой F(π)–линейные комбинации (возможно бесконечные) частных производных по координатам.Векторное поле на J ∞ π, заданное выражениемn+m ∞X X (j+1) ∂∂+xi,D=(j)∂t∂xi=1 j=0i37называют полной производной по переменной t.Векторное поле D обладает следующим определяющим свойством. В произвольной точке θ = {θk } ∈ J ∞ вектор Dθ представляет собой такой набор{Dθk ∈ Tθk (J k π)}, что Dθk есть направляющий вектор R-прямой, соответствующей точке θk+1 , а π0,∗ (Dθ0 ) = ∂/∂tπ0 (θ0 ) .Распределения Картана на J k π, k ≥ 0, порождают распределение Картана C(π) на J ∞ π.

А именно, в точке θ = {θk } ∈ J ∞ π вектор (1.30) принадлежитплоскости Картана Cθ (π), если для любого натурального k вектор Xθk принадлежит плоскости Картана Cθkk (π).Распределение Картана на J ∞ π 1–мерно и порождается полной производной по t (см. [83, гл.4, Утверждение 2.2]). Любая интегральная кривая распределения Картана на J ∞ π совпадают с графиком j∞ (s)(R) бесконечногоджета некоторого сечения s расслоения π. Распределение Картана на J ∞ πинволютивно, но неинтегрируемо. А именно, через каждую точку J ∞ π проходит несколько максимальных интегральных многообразий. Таким образом,теорема Фробениуса на J ∞ π может не выполняться.

В частности, полнаяпроизводная по t не имеет фазового потока.1.6.2. Бесконечные продолжения систем и отображенийПусть E⊂J k π. Множество E (1) ⊂J k+1 π, состоящее из таких точек θ0 ∈J k+1 π, что R-прямая Rθ0 касается уравнения E в точке θ = πk+1,k (θ0 ), называют первым продолжением уравнения E. Продолжение E (l) порядка l уравнения E определяется индуктивно, как первое продолжение продолжения E (l−1)(1)порядка l − 1: E (l) = E (l−1) .

Многообразие E (l) лежит в J k+l π и задается всеми дифференциальными следствиями уравнения E вплоть до порядка lвключительно.Определим бесконечное продолжение E ∞ (или диффеотоп) уравненияE ⊂ J k π как подмножество J ∞ π, состоящее из таких точек θ = {θl } ∈ J ∞ π,что для любого натурального l точка θk+l принадлежит E (l) . Распределение38Картана на E ∞ определяется как ограничение на E ∞ распределения Картанана J ∞ π.Полная производная Dt по независимой переменной t системы E касаетсяE ∞ .

Поэтому определено ограничение Dt ∞ полной производной по t на E ∞ ,Eкоторое порождает распределение Картана на E ∞ . Интегральные кривыераспределения Картана на E ∞ совпадают с графиками решений системы E.На диффеотопе системыẋ = f (t, x, u),x ∈ Rn ,u ∈ Rm ,(1.31)определены координаты(0)(1)(2)(1)t, x1 , . . . , xn , u1 , . .

. , u(0)m , u1 , . . . , um , u1 , . . . ,(1.32)которые называются каноническими координатами данного диффеотопа.В канонических координатах полная производная по независимой переменной t системы (1.31) имеет видnm∞XX X (j+1) ∂∂∂D=u+fl (t, x, u)+.(j)∂t∂xl i=1 j=0 i∂ul=1iСовокупность ограничений на E (l) гладких функций, определенных на объемлющем пространстве J k+l π, обозначим через Fl (E). Для любого l ≥ 0 имеем∞SFl (E) называютвложение Fl (E) ⊂ Fl+1 (E). Элементы множества F(E) =гладкими функциями на диффеотопе E ∞ .l=0Гладким отображением диффеотопов называют такое отображениеF : E ∞ −→ S ∞ ,(1.33)для которого индуцированное отображение F ∗ отображает гладкие функциив гладкие, т.е.

F ∗ F(S) ⊂F(E), где F ∗ (g) = g ◦ F . Отображение (1.33) называется диффеоморфизмом, если оно гладкое, взаимнооднозначное, и обратноеотображение также является гладким.39По определению дифференциал dF (или F∗ ) гладкого отображения (1.33)отображает вектор Xθ в точке θ ∈ E ∞ в вектор dF (Xθ ) в точке F (θ) ∈ S ∞ ,производная функции g ∈ S ∞ вдоль которого равна dF (Xθ )(g) = Xθ F ∗ (g) .Произвольное гладкое отображение диффеотопов не сохраняет дифференциальные связи между переменными. Распределение Картана есть тагеометрическая структура, которая определяет эти связи. Поэтому интерес представляют гладкие отображения, сохраняющие распределение Картана. Например, семейство {F (k) : J k π → J k π̃}k∈N продолжений отображенияF : J 0 π → J 0 π̃ определяет гладкое отображение F ∞ : J ∞ π → J ∞ π̃, котороеточку θ = {θl } ∈ J ∞ π отображает в точкуF ∞ (θ) = {F (l) (θl ), l ≥ 0}.Действительно, из формулыπ̃k,q ◦ F (k) = F (q) ◦ πk,q ,k > q,и определения θ следует, чтоπ̃k,q F (k) (θk ) = F (q) πk,q (θk ) = F (q) (θq ),а значит, последовательность F ∞ (θ) есть точка в J ∞ π̃.

Будем называть отображение F ∞ бесконечным продолжением отображения F . Из определенийследует, что отображение F ∞ отображает распределение Картана на J ∞ π враспределение Картана на J ∞ π̃.Диффеоморфизм (1.33) называется C–диффеоморфизмом (или изоморфизмом Ли–Бэклунда, или орбитальной эквивалентностью [19]), еслиF∗ (Cθ (E)) = CF (θ) (S),∀θ ∈ E ∞ .(1.34)При этом C–диффеоморфными называются системы, чьи диффеотопы связаныC–диффеоморфизмом. Определение C–диффеоморфизма в окрестности точки40θ ∈ E ∞ получается, если многобразия E ∞ и S ∞ в приведенных здесь определениях заменить на окрестности точек θ ∈ E ∞ и F (θ) ∈ S ∞ соответственно.Заметим, что так как распределение Картана порождается полной производной по независимой переменной, условие (1.34) означает, что F∗ (DE ) =aDS , где DE и DS — полные производные по независимым переменным на E ∞и S ∞ соответственно, а a — функция, определяемая равенствамиa = ((F −1 )∗ ◦ DE ◦ F ∗ )(tS ) =1DS ((F −1 )∗ (tE )),(1.35)где tE и tS — независимые переменные на E ∞ и S ∞ соответственно.

Если Fсохраняет независимую переменную, то a ≡ 1.Любой C–диффеоморфизм F из диффеотопа E ∞ системы (1.31) в диффеотоп S ∞ системыẏ = g(t, y, v),y ∈ Rs ,v ∈ Rr ,однозначно определяется функциямиF ∗ (t), F ∗ (y1 ), . . . , F ∗ (ys ), F ∗ (v1 ), .

. . , F ∗ (vr ).Бесконечные продолжения диффеоморфизмов областей пространств 0джетов есть C–диффеоморфизмы, которые называются преобразованиями Липространств бесконечных джетов. Ограничение преобразования Ли пространств бесконечных джетов на диффеотоп E ∞ называется преобразованиемЛи диффеотопа E ∞ .Так как интегральные кривые распределения Картана совпадают с графиками решений соответствующей системы, то из условия (1.34) следует,что любой C–диффеоморфизм отображает графики решений одной системы вграфики решений другой системы.

Таким образом, C–диффеоморфные системы — это эквивалентные системы. Образ диффеотопа E ∞ при преобразовании Ли F есть диффеотоп, а ограничение F на E ∞ есть C–диффеоморфизм изE ∞ в этот диффеотоп.41Гладкое отображениеF : E ∞ −→ S ∞ ,(1.36)называется накрытием, если в каждой точке θ ∈ E ∞ :(a) касательное отображение F∗,θ является эпиморфизмом векторных пространств;(b) выполняется условие (1.34);(c) размерность ядра F∗,θ постоянна.Размерностью накрытия называется размерность ядра F∗,θ .Ес-ли (1.36) — накрытие, а E ∞ и S ∞ — диффеотопы систем E и S соответственно, то говорят, что система E накрывает систему S, или что F — накрытиесистемы S системой E.Накрытия обладают следующими свойствами:1) Композиция накрытий есть накрытие.2) Любой C–диффеоморфизм является накрытием нулевой размерности.3) График любого решения системы E накрытие (1.36) отображает в графикрешения системы S.4) Обратно, для любого решения s системы S, определенной в окрестности∞точки t ∈ R, и произвольной точки θ слоя F −1 ([s]∞t ), где [s]t — бесконечныйджет решения s в точке t, существует единственное решение s̃ системы Eтакое, что [s̃]∞t1 = θ, а накрытие (1.36) отображает график решения s̃ в графикрешения s.5) Любое накрытие ν из диффеотопа некоторой системы в диффеотоп системыẏ = g(t, y, v),y ∈ Rs ,v ∈ Rr ,однозначно определяется функциямиν ∗ (t), ν ∗ (y1 ), .