Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений, страница 3

. , y1ỹ = Ỹ (t, x, ξ),(n −1), y2 , . . . , ym mv = v,(1.8)) — состояние системы (1.7).Задача терминального управления с граничными условиямиx(t0 ) = x0 ,x(T ) = xf(1.9)для динамически линеаризуемой системы (1.1) решается следующим образом. Для вспомогательных переменных ξ задаются произвольные начальныеи конечные значения, и задача терминального управления ставится для расширенного вектора состояний:x(t0 ) = x0 ,x(tf ) = xf ,ξ(t0 ) = ξ0 ,ξ(tf ) = ξf .(1.10)Система (1.6) обратимой заменой переменной вида (1.8) преобразуется в эквивалентную систему (1.7).

Применяя преобразование (1.8), получаем для системы (1.7) задачу терминального управленияỹ(t0 ) = Ỹ (t0 , x0 , ξ0 ),ỹ(tf ) = Ỹ (tf , xf , ξf ).(1.11)Решение этой задачи обычно ищется в каком-то заранее заданном линейном пространстве функций, например, в пространстве полиномов по tPразмерности 2 mi=1 ni , где полиномы выбираются так, чтобы выполнялисьусловия (1.11). Обозначим это решение за (y∗ (t), v(t)), где vi (t) = (y∗,i (t))(ni ) ,i = 1, ..., m.

Применяя обратную к (1.8) замену переменных, получаем решение (x∗ (t), ξ∗ (t), v(t)) системы (1.5). Это решение удовлетворяет (1.10) в силупостроения. Таким образом, зависимостьu(t) = b(t, ξ∗ (t), x∗ (t), v(t)),t ∈ [t0 , tf ],решает задачу терминального управления (1.9).(1.12)15В случае системы (1.1), линеаризуемой динамической обратной связью(1.5), задача стабилизации вдоль заданной траектории x∗ (t) решается выбором таких функций v = V (t, x, ξ) и ξ∗ (t), что x∗ (t), ξ∗ (t) есть асимптотическиустойчивое решение системыẋ = f (t, x, b(t, x, ξ, V (t, x, ξ))),ξ˙ = a(t, x, ξ, V (t, x, ξ)).(1.13)При этом управление выбирается в видеu = b(t, x(t), ξ(t), V (t, x(t), ξ(t))),где x(t) — текущее состояние системы, а ξ(t) — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.13) с начальным условием ξ(t0 ) = ξ∗ (t0 ).Для решения задачи стабилизации в окрестности построенной программной траектории x∗ (t) строится обратная связь(ni )vi = (y∗,i (t))+ni −1X(j)γi,j (yi − (y∗,i (t))(j) ),i = 1, .., m,(1.14)j=0(j)где значения переменных yiи функций y∗,i (t) определяются соотношениями(1.8), а постоянные коэффициенты γi,j находятся из условия асимптотическойустойчивости следующей системы линейных дифференциальных уравнений(здесь обозначено ei = yi − y∗,i (t)):(n )ei i=ni −1X(j)γi,j ei ,i = 1, ..., m.j=0Обратная связь (1.14) дает решение задачи стабилизации для системы(1.7).

Решение задачи стабилизации для системы (1.1) задается соотношением (1.12), где v(t) — функция (1.14), записанная в переменных x, ξ.Метод динамической обратной связи применим к плоским системам, таккак любая плоская система динамически линеаризуема [19].161.3. Терминальное управление плоскимисистемами с учетом ограниченийПусть система (1.1) плоская в области O(l) с плоским выходом (1.2), ипоставлена задача терминального управления с граничными условиямиx(t0 ) = x0 ,x(tf ) = xf .(1.15)А именно, требуется найти такое решение системы (1.1), которое удовлетворяет условиям (1.15).Используя соотношения (1.3), условия (1.15) переписываются в виде(k )X(t0 , y1 (t0 ), ẏ1 (t0 ), .

. . , ym m (t0 )) = x0 ,(k )X(tf , y1 (tf ), ẏ1 (tf ), . . . , ym m (tf )) = xf .Чтобы найти граничные значения плоского выхода и его производных, удовлетворяющие этим условиям, следующим образом вводят дополнительные переменные (подробности см., например, в [100]). Выбирают функции ξ1 , . . .

, ξd(k )(k )переменных t, ỹ = (y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , y2 , . . . , ym m ) так, чтобы матрица Якоби∂(x, ξ)/∂ ỹ была квадратной и невырожденной. Решая систему нелинейныхуравнений, находят зависимость вектора ỹ от t, x, ξ:ỹ = Ỹ (t, x, ξ).(1.16)Для вектора ξ дополнительных переменных задают начальное (ξ0 ) и конечное (ξf ) значения.

Эти условия можно выбрать произвольными, но с учетомограничений на ξ физического, технического или иного характера. Используясоотношения (1.16), получают граничные условияỹ(t0 ) = Ỹ (t0 , x0 , ξ0 ),ỹ(tf ) = Ỹ (tf , xf , ξf ).(1.17)Если нет ограничений на переменные ỹ, ищут многочлены y1 (t), . . . , ym (t),удовлетворяющие этим условиям. А именно, если для каждого i = 1, m функция yi (t) есть многочлен степени не больше, чем 2ki + 1, то условия (1.17)17представляют собой крамеровскую систему линейных алгебраических уравнений на коэффициенты этих многочленов (см.

[89]). Решая эту систему иподставляя полученное решение y1 (t), . . . , ym (t) в соотношения (1.3) и (1.4),получают решение исходной задачи (1.15).Отметим, однако, что область значений функции (1.16) может быть только частью пространства переменных ỹ. Кроме того, на переменные состоянияx, управления u и производные управления u̇, . .

. , u(l) системы (1.1) могут налагаться некоторые ограничения, которые также преобразуются в условия наỹ. Задачу терминального управления необходимо решать с учетом всех ограничений на ỹ. При выборе ξ0 и ξf необходимо учитывать все ограничения наx, u и производные u.Таким образом, задача терминального управления для плоских системс учетом ограничениям сводится к следующей задаче.

Задана область Uпространства с координатами (t, ỹ) и условия (1.17), причем (t0 , Ỹ (t0 , x0 , ξ0 )) ∈U, (tf , Ỹ (tf , xf , ξf )) ∈ U. Требуется найти такие функции y1 (t), . . . , ym (t),t ∈ [t0 , tf ], которые удовлетворяют условиям (1.17) и(k )(km )(t, y1 (t), ẏ1 (t), . . .

, y1 1 (t), y2 (t), . . . , ym(t)) ∈ U,t ∈ [t0 , tf ].Эту задачу можно интерпретировать (см. [19, 47, 100]) как задачу терминального управления с граничными условиями (1.17) для системы(ki +1)yi= vi ,i = 1, m,(1.18)с состоянием ỹ и управлением v = (v1 , . . . , vm ), определенной в области U.1.4. Декомпозиция систем с управлениемпо статической обратной связиЗадача декомпозиции нелинейных систем управления была сформулирована Кренером А. Дж.

в работе [37]. Отправной точкой его исследованийбыла работа Крона К. Б. и Рода Дж. А. [40], в которой конечные автоматы18декомпозируются в каскады нескольких более простых конечных автоматов.Обобщая эти результаты на динамические системы с управлением, КренерА. Дж. ввел понятия полугруппы и алгебры Ли системы. А именно, из фазовых потоков векторных полей, соответствующих постоянным управлениям системы, выделяются диффеоморфизмы сдвигов вдоль решений в сторонуувеличения времени. Эти диффеоморфизмы пространства состояний системыобразуют полугруппу системы. Рассматривая минимальную группу, содержающую полугруппу системы, и соответствующую алгебру Ли векторныхполей пространства состояний, получаем алгебру Ли системы.

Кренером А.Дж. было доказано, что если алгебра Ли системы раскладывается в полупрямую сумму конечномерной алгебры и идеала, то система имеет нетривиальную декомпозицию. Отсюда и из известного факта о конечномерных алгебрахЛи следует, что любая система с конечномерной алгеброй Ли может быть декомпозирована в каскад систем с простыми или одномерными алгебрами Ли.Им также было показано, что алгебры Ли линейных и билинейных системконечномерны, а значит, такие системы имеют указанную декомпозицию.Однако алгебры Ли нелинейных систем, как правило, бесконечномерны итрудно вычисляемы, а вопрос о представлении их в виде полупрямой суммыконечномерной алгебры и идеала нетривиален.

Кроме того, язык, используемый Кренером А. Дж., оказался неудобным.С задачей декомпозиции оказались связаны ряд задач теории управления. Задача изоляции возмущений по статической обратной связи (static statefeedback disturbance decoupling problem) решалась в работах [26, 30]. Используя разные, но эквивалентные подходы, авторы ввели понятие инвариантного распределения нелинейной системы, обобщающее понятие инвариантногоподпространства линейной системы. Ими было доказано, что наличие инвариантного распределени определенного типа означает декомпозируемостьсистемы. Кроме того, в работе [30] на языке инвариантных распределенийбыли получены условия разрешимости задачи автономного регулирования19(noninteracting control problem) и задачи изоляции возмущений по динамической обратной связи (dynamic output feedback disturbance decoupling problem).В работе [12] для решений задач изоляции возмущений и автономного регулирования вместо инвариантных распределений были использованы алгебры Ли векторных полей, порождающие эти распределения.

Были введеныпонятия характеристических чисел системы с входами и выходами, на основекоторых был сформулирован алгоритм для решения этих задач.Собственно декомпозиции по статической обратной связи афинных системс управлением посвящена работа [60]. Там получены необходимые и достаточные условия декомпозиций двух видов: параллельной, когда обе подсистемы не зависят одна от другой, и каскадной, когда только одна подсистема независит от другой.В работе [54] указана связь задач автономного регулирования и паралелльной декомпозиции по статической обратной связи. Получены необходимые идостаточные условия автономного регулирования по статической обратнойсвязи.В работе [23] устанавливается связь наличия симметрий у системы и еедекомпозируемости.

В частности, показано, что нелинейная система управления, обладающая симметрией некоторого типа, допускает локальные декомпозиции, причем структура подсистем определяется группой симметрий.Кроме того, в работе [56] также была отмечена связь между симметриямии декомпозицией: в этой работе авторы определили частичные симметрии ипоказали, как частичные симметрии могут быть использованы при декомпозиции нелинейных систем.В работе [18] рассматривается связь между декомпозициями нелинейныхсистем с расслоениями и идеалами транзитивных алгебр Ли.В [59] проводится общий обзор эквивалентности исходной нелинейной системы с управлением некоторой другой системе, причем подробно обсуждается, в каких случаях размерность пространства состояний декомпозированнойсистемы не увеличивается по сравнению с исходной.20В [55] обсуждается обобщение декомпозиции линейных систем по входувыходу на нелинейный случай с помощью различных дифференциальногеометрических подходов, изложенных в [26, 30].В работе [22] исследуются условия управляемости подсистем, полученныхв результате декомпозиции управляемой системы.Наконец, в монографии [29] подробно обсуждаются локальные декомпозиции нелинейных задач управления.Среди более современных работ можно выделить следующие.