Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаНа правах рукописиБелинская Юлия СергеевнаРЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯДЛЯ ПЛОСКИХ И ЛИУВИЛЛЕВЫХ СИСТЕМС УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙСпециальность 05.13.01 – Системный анализ, управлениеи обработка информации (информатика, машиностроение)Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,доцентЧетвериков Владимир НиколаевичМосква, 20172ОглавлениеСтр.ВВЕДЕНИЕ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Глава 1. ИЗВЕСТНЫЕ РАНЕЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ111.1. Задачи терминального управления и стабилизации . . . . . . .111.2. Плоские системы с управлением . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.3. Терминальное управление плоскими системами с учетом ограничений . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.4. Декомпозиция систем с управлением по статической обратнойсвязи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.5. Геометрия систем с управлением . . . . . . .

. . . . . . . . . .231.5.1. Распределение Картана . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231.5.2. Пространства джетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251.5.3. Симметрии систем с управлением . . . . . . . . . . . . .301.6. Бесконечномерные модели систем с управлением . . . . . . . .351.6.1. Пространства бесконечных джетов и их геометрия . . . .351.6.2.

Бесконечные продолжения систем и отображений . . . .371.6.3. Геометрическая интерпретация плоскостности и динамической обратной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .421.6.4. Интегрируемые симметрии систем . . . . . . . . . . . . .451.7. Решение задач терминального управления предварительнымвыбором пути . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .47Выводы по первой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ . . . . . .512.1. Использование симметрии для решения задач терминальногоуправления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512.2. Описание метода накрытий . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .532.3. Метод накрытий для плоских систем . . . . . . . . . . . . . . .563Стр.2.4. Орбитальная декомпозиция систем с управлением . . . . . . .622.5. Декомпозиция задач терминального управления. . . . . . . .692.6. Метод накрытий для лиувиллевых систем . . . . . . . . . . . .76Выводы по второй главе . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .78Глава 3. ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯЗАДАЧТЕРМИНАЛЬНОГОУПРАВЛЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .803.1. Решение терминальной задачи для системы, описывающейдвижение вертолета . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .803.1.1. Математическая модель движения вертолета . . . . . . .803.1.2. Симметрия задачи о движении вертолета вдоль горизонтальной прямой и синтез программного движения . . . .833.1.3. Накрытия в задаче о движении вертолета вдоль горизонтальной прямой . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843.1.4. Построение программного движения . . . . . . . . . . . .873.1.5. Результаты численного моделирования . . . . . . . . . .883.1.6. Решение задачи терминального управления для движениявертолета в вертикальной плоскости . . .

. . . . . . . . .903.1.7. Результаты численного моделирования . . . . . . . . . .953.2. Управление четырехвинтовым вертолетом . . . . . . . . . . . .973.2.1. Математическая модель квадрокоптера . . . . . . . . . .973.2.2. Метод динамической обратной связи для математическоймодели квадрокоптера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2.3. Решение задач терминального управления и стабилизации 1043.2.4.

Результаты численного моделирования . . . . . . . . . . 1073.2.5. Решение задачи терминального управления для системыс ограничениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.2.6. Результаты численного моделирования . . . . . . . . . . 1203.3. Управление автомобилем . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 1233.3.1. Реализация маневров поворота и разворота . . . . . . . . 1234Стр.3.3.2. Реализация маневра змейка . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.4. Решение задачи терминального управления методом накрытийдля маятника Капицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 1303.4.1. Математическая модель маятника Капицы . . . . . . . . 1303.4.2. Метод накрытий для управления маятником Капицы . . 1313.4.3. Результаты численного моделирования . . . . . . . . . . 134Выводы по третьей главе . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 135ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО РАБОТЕ . . . . . . . 137ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395ВведениеМетоды решения задач терминального управления нелинейными динамическими системами разрабатывались многими авторами (см. [13, 15, 28, 38,70, 74, 88], а также [53] и библиографию там). Такие задачи возникают приуправлении различными механическими (см. [94]) и мехатронными системами, например, летательными аппаратами (см.

[67], а также главу 9 в [8]) илимобильными роботами (см. [13,34,72,84]). Задача терминального управлениязаключается в определении программного движения (программной траектории и программного управления), переводящего динамическую систему из заданного начального в заданное конечное положение. Время движения можетбыть фиксировано или выбираться из каких-либо дополнительных соображений.Формулировка задачи терминального управления может содержать ограничения на состояние и управление. Ограничения могут возникать как изфизической поставновки задачи, так и из некоторых других соображений.В частности, ограничения могут возникать в ходе преобразования исходнойсистемы к некоторому специальному виду.

Независимо от природы ограничений их наличие существенно усложняет решение задачи управления.Для нелинейных динамических систем подходы к решению задачи терминального управления известны лишь для отдельных классов систем. Например, для аффинных систем, преобразуемых в заданной области к специальному виду, называемому регулярным каноническим видом [90,91], программную траекторию, удовлетворяющую граничным условиям, задают в виде полиномов от времени, порядок которых определяется количеством граничныхусловий. При таком подходе основным вопросом является выбор времени движения.Кроме того, для некоторых аффинных систем возможно приведение их ктак называемому квазиканоническому виду (см.

[95, 96, 101] и ссылки там). Вэтом случае сложности возникают из-за того, что в системе квазиканонического вида возможно наличие неуправляемой подсистемы.6Более общим классом нелинейных систем с управлением, включающимв себя аффинные системы, преобразуемые к каноническому виду, являются так называемые плоские системы [10, 19, 21, 62–64, 99].А именно, ка-ждое решение плоской системы однозначно определяется некоторым наборомфункций, который называют плоским выходом системы. Для этого класса систем также известны достаточно общие подходы к синтезу программных движений [19, 99].

Например, распространенный подход состоит в построении линеаризующей обратной связи и полиномиальной зависимости отвремени [99].Этот метод для решения задач терминального управленияи стабилизации в случае плоских систем применяется достаточно широко(см. [6, 25, 32, 35, 41, 43–46, 48, 52, 61, 66, 74]) в силу его удобства и простоты.Однако рассмотренные в этих работах подходы не учитывают ограничения на состояние и управление системы. Ограничения могут возникать наобласть значений плоского выхода и его производные.

Плоский выход можетбыть построен так, что область значений его и его производных не совпадает со всем пространством. Решение в многочленах, найденное упомянутымметодом, может не удовлетворять тем или иным ограничениям.Нелинейная динамическая система не всегда является плоской, и для неплоских систем общие подходы к решению терминальных задач неизвестны.Среди неплоских систем выделяют, например, лиувиллевы системы (см.,например, [65, 98]), для которых в частных случаях известны подходы к решению задач управления.

Например, в [65] для модели вертолета решеназадача синтеза управления, обеспечивающего одновременное смещение в горизонтальной и вертикальной плоскостях.Как для плоских, так и для неплоских систем актуальна разработка новых методов построения программного движения с применением различныхклассов функций.В западной литературе принятым подходом для построения программногодвижения является решение связанной задачи оптимального (как правило, по7времени) управления (см., например, [1,5,7,13,15,16,28,38,42,51,70,73]). Недостаток этого подхода в том, что его применение связано с большими трудностями, возникающими из-за нелинейности системы и ограничений, которыенакладываются на эту систему.

Эту проблему, как правило, решают такимобразом, что решение задачи оптимального управления ищут в некоторомзаранее заданном классе допустимых траекторий. Время движения при этомне фиксируется.Предложенный в [16] подход к решению задачи терминального управлениядля плоской системы заключается в построении сначала пути в пространствезначений плоского выхода, а затем в построении зависимости параметра путиот времени. Программная траектория на первом этапе выбирается в области,соответствующей точкам покоя системы с управлением, которые удовлетворяют части ограничений задачи.

На втором этапе численно решается задачаминимизации времени движения с учетом остальных ограничений задачи.Этот подход можно интерпретировать как декомпозицию плоской системы,преобразующую задачу терминального управления в две связанные граничные задачи: для пути следования и для зависимости параметра пути от времени.В настоящей работе предлагаются, в числе прочих, подходы, основанныена понятии симметрии. Теория симметрий дифференцильных уравнений развивалась бурными темпами последние 40 лет (см. [14, 23, 24, 27, 33, 36, 50, 56,57, 71], а также [83] и библиографию там).