Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений (1024957), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В работе [68] исследуется решение задачи терминального управления для нелинейных систем особого вида, а в работе [69] рассматривают понятие факторизации нелинейных систем и условия существования таких факторизаций.Кроме того, в работе [71] обсуждаются такие свойства, как устойчивость иуправляемость для нелинейной системы, которую можно представить в виде декомпозиции на некоторые подсистемы меньшей размерности.
В работе [58] обсуждаются локальные декомпозиции нелинейных бесконечномерныхсистем.Из работ российских авторов можно отметить [86], в которой для нелинейной управляемой динамической системы выводятся определяющие уравнения для симметрий и рассматриваются локальные декомпозиции нелинейныхуправляемых систем.Классические результаты, касающиеся декомпозиции по статическойобратной связи, получены в работе [60].
В ней автор рассматривает системус управлением видаẋ = f (x) +kXui gi (x),x(0) = x0 ∈ M,(1.19)i=1где x ∈ M , M — аналитическое многообразие размерности n, f , gi , i = 1, k— аналитические векторные поля на M .21Предположим, что координаты (x1 , . . . , xn ) на M разбиты на N групп:x1 = (x1 , . . . , xp1 ),x2 = (xp1 +1 , .
. . , xp2 ),(1.20)...,xN = (xpN −1 +1 , . . . , xn ),где 1 ≤ p1 < p2 < . . . < pN −1 < n. Кроме того, пусть существуют такиеподмножества Jj ⊂ {1, . . . , k}, j = 1, . . . , N , что выполняются условия∪Nj=1 Jj = {1, . . .
, k}.Ji ∩ Jj = ∅,(1.21)Говорят, что система (1.19) допускает каскадную декомпозицию в локальных координатах (x1 , x2 , . . . , xn ), если она в этих координатах с учетомразбиений (1.20) и (1.21) принимает видẋ1 = f 1 (x1 ) +Pui gi1 (x1 ),i∈J1ẋ2 = f 2 (x2 ) +Pui gi2 (x1 , x2 ),i∈J2(1.22)...ẋN = f N (xN ) +ui giN (x1 , x2 , . .
. , xN ).Pi∈JNГоворят, что система (1.19) допускает параллельную декомпозицию в локальных координатах (x1 , x2 , . . . , xn ), если она в этих координатах с учетомразбиений (1.20) и (1.21) принимает видẋ1 = f 1 (x1 ) +Pui gi1 (x1 ),i∈J1222ẋ = f (x ) +Pui gi2 (x2 ),i∈J2(1.23)...ẋN = f N (xN ) +Pui giN (xN ).i∈JNДля формулировки результатов работы [60] о декомпозиции системы вида (1.19) рассмотрим произвольное подмножество J индексов {1, . . . , k}. Обозначим через L0,J алгебру Ли, порожденную векторными полями adqf gi , i ∈ J,22gi ].q ≥ 0, где adf gi = [f, gi ] — коммутатор полей f и gi , а adqf gi = [f, adq−1fЧерез L0 обозначим алгебру Ли L0,J в случае J = {1, .
. . , k}, а через L —алгебру Ли, порожденную полями f, g1 , . . . , gk . Наконец, для алгебры Ли Aобозначим через dimA(x) размерность в точке x распределения, определенногоэтой алгеброй Ли.Теорема 1.1. Система (1.19) в случае dimL0 (x) = n в некоторой системе координат допускает параллельную декомпозицию (1.23) тогда и толькотогда, когда существуют подмножества Jj ⊂ {1, . . . , k}, j = 1, . .
. , N , удовлетворяющие свойствам:Ji ∩ Jj = ∅,NPµj (x) = n,j=1qr[ adf gs , adf gt ]∪Nj=1 Jj = {1, . . . , k},где µj (x) = dimL0,Jj (x),= 0 для s ∈ Ji ,t ∈ Jj ,i 6= jии любых q, r ≥ 0.Для каскадной декомпозиции получен аналог рассмотренной теоремы.Теорема 1.2. Система (1.19) в случае dimL(x) = n в некоторой системекоординат допускает каскадную декомпозицию (1.22) тогда и только тогда,когда существуют подмножества Jj ⊂ {1, . . .
, k}, j = 1, . . . , N , удовлетворяющие свойствам:Ji ∩ Jj = ∅,NPµj (x) = n,∪Nj=1 Jj = {1, . . . , k},где µj (x) = dimL0,Ij (x),j=1Ij = ∪jp=1 Jp .Преобразование системы (1.19) к виду (1.22) или (1.23) осуществляется заменой координат (x1 , . . . , xn ) на M . При этом ни t, ни u1 . .
. . , um не меняются.Далее мы рассмотрим преобразования более общего вида.Декомпозицией системы с управлением мы называем преобразование системы в систему видаż = g1 (t, z, v),z ∈ Rn 1 ,ζ̇ = g2 (t, ζ, z, v, v̇, . . . , v (l) , ξ),с состоянием (z, ζ) и управлением (v, ξ).v ∈ Rm1 ,ζ ∈ Rn 2 ,(1.24)ξ ∈ Rm2 ,(1.25)23В терминологии [60] декомпозиция (1.24)–(1.25) — каскадная, причем каскадов всего два.
Но если, в свою очередь, каскад (1.24) имеет декомпозициютакого вида, то получаем трехкаскадную декомпозицию и т.д.Декомпозиция (1.24)–(1.25) позволяет решать систему в два этапа: сначала находить решение z(t), v(t) системы (1.24), а затем решение ζ(t), ξ(t)системыζ̇ = g2 (t, ζ, z(t), v(t), v̇(t), . . . , v (l) (t), ξ),зависящей от решения z(t), v(t) .Преобразование, о котором идет речь в определении декомпозиции, может быть наиболее общего вида, т.е. z, ζ, v, ξ могут быть функциямиt, x, u, u̇, . .
. , u(l) для некоторого конечного l. Кроме того, независимая переменная t тоже может меняться и зависеть от аналогичного набора переменных. Преобразование должно быть обратимым, и обратное преобразованиетоже может быть общего вида. Можно показать, что такие преобразованиясохраняют размерность управления: m1 + m2 = m, но могут не сохранятьразмерность состояния: n1 + n2 6= n.1.5. Геометрия систем с управлением1.5.1.
Распределение КартанаРассмотрим системуẋ = f (t, x, u),x ∈ Rn ,u ∈ Rm ,(1.26)Обозначим(1)xn+1 = u1 , . . . , xn+m = um , x1 = ẋ1 , . . . ,(1)(1)x(1)n = ẋn , xn+1 = u̇1 , . . . , xn+m = u̇m(1)(1)и будем считать t, x1 , . . . , xn+m , x1 , . . . , xn+m координатами в некотором вспомогательном пространстве J 1 . Соотношения (1.26) задают в пространстве J 124поверхность E.
Поверхность E является более фундаментальным объектом,чем ее запись в виде системы (1.26), поскольку уравнения одной и той жеповерхности могут быть с виду различными, но равносильными.(1)Отметим, что мало считать функции t, xi , xiпросто независимыми ко-ординатами на J 1 : необходимо снабдить это пространство какой-то дополнительной структурой, которая указывала бы специфику данного пространства,(1)состоящую в том, что на самом деле между xi и xi(1)ренциальные связи, т.е. xiсуществуют диффе-есть производная xi по t. Эта дополнительнаяструктура есть распределение Картана C, которое задается 1–формами(1)dC xi = dxi − xi dt,i = 1, .
. . , n + m.(1.27)Роль распределения Картана состоит в том, чтобы выделять графики решений уравнения среди прочих кривых. А именно, имеет местоТеорема 1.3. [83, Гл.3, теорема 1.1] Пусть γ ⊂ J 1 есть кривая, котораяв окрестности своей точки y ∈ γ трансверсальна пространствам {t = const}(т.е. не касается этих пространств). Кривая γ вблизи точки y тогда и толькотогда является интегральной для распределения Картана C, когда ее можнозадать соотношениями вида xi = Xi (t)dXi (t) x(1)=idtдля некоторых гладких функций X1 , .
. . , Xn+m .J Условие трансверсальности пространствам {t = const} означает, что кривую γ можно задать уравнениями вида x = X (t)ii x(1) = X (1) (t),i(1.28)i(1)где Xi (t), Xi (t) — некоторые гладкие функции. Кривая γ является интегральной для распределения C, если 1-формы распределения обращаются в25нуль на этой кривой. Иначе говоря, это означает, что при подстановке выражений (1.28) в правую часть равенств (1.27) получаются тождественныенули:(1)dXi − Xi dt =(1)что эквивалентно XidXi (t)(1)dt − Xi dt = 0,dt= dXi (t)/dt для всех i = 1, .
. . , n + m.IИз теоремы 1.3 следует, что графики решений уравнения E ⊂ J 1 естьни что иное, как 1-мерные интегральные многообразия распределения Картана C, трансверсальные пространствам {t = const} и целиком лежащие наповерхности E.Связь между решениями данного уравнения E и интегральными многообразиями распределений можно построить также другим способом, которыйможно назвать внутренним, в отличие от только что описанного внешнего.А именно, ”забудем” о том что E — это поверхность в J 1 и рассмотрим многообразие E само по себе вместе с распределением C(E), которое ”высекается”распределением C на E. Плоскость распределения C(E) в каждой точке y ∈ Eесть пересечение плоскости Cy с касательной плоскостью Ty E к поверхностиE. Аналитически эта геометрическая конструкция проводится так: нужноввести внутреннюю систему координат на E (как правило, для этого удобновыбрать некоторые из координат в J 1 , так, чтобы остальные выражалисьчерез них на E) и переписать в этих координатах базисные 1–формы распределения C.Ясно, что класс интегральных многообразий распределения C(E) совпадает с классом интегральных многообразий распределения C, лежащих на E.Поэтому графики решений уравнения E — это 1-мерные интегральные многообразия распределения C(E), трансверсальные пространствам {t = const}.1.5.2.
Пространства джетовОпределим пространства вида J 1 инвариантно. Это позволит разобратьсяв принципиальных вопросах геометрии систем с управлением.26До сих пор мы рассматривали уравнения на вектор–функциюx(t) = (x1 (t), . . . , xn+m (t)).С геометрической точки зрения функция x(t) представляет собой аналитическую запись некоторого сечения тривиального расслоения Rn+m × R → R.Тривиальным расслоением над многообразием M со слоем N называютпроекцию прямого произведения M × N на M. Более общо, пусть N — гладкое многообразие.
Гладкое отображение π: E → M многообразий называютлокально-тривиальным расслоением (или просто расслоением) со слоем N ,если для любой точки P ∈ M существует такая окрестность U ⊂ M , чтоограничение отображения π на π −1 (U ) есть тривиальное расслоение со слоемN , т.е. существует такой диффеоморфизм FU из U × N в π −1 (U ), что композиция π ◦ FU есть проекция на сомножитель U . При этом многобразие Mназывают базой расслоения, E — тотальным пространством расслоения,π — проекцией расслоения, EP = π −1 (P ) — слоем над точкой P ∈ M . СлойEP над любой точкой P ∈ M диффеоморфен N .Сечением расслоения π: E → M называется такое гладкое отображениеs: M → E, что композиция π ◦ s есть тождественное отображение многообразия M .
Иными словами, отображение s переводит точку Q ∈ M в некоторую точку слоя EQ = π −1 (Q). В частном случае тривиального расслоенияπ: M × N → M слой EQ отождествляется с N , а сечения — с отображениямииз M в N .Рассмотрим произвольное локально-тривиальное расслоение π: E → Rнад M = R. Пусть U ⊂ M — некоторая окрестность, над которой расслоение π тривиально, t — координата на U , а x1 , . . . , xn+m — координаты в слоеN расслоения. Тогда t, x1 , . . .
, xn+m — координаты на U × N . Диффеоморфизм FU : U ×N → π −1 (U ) переносит эти координаты в координаты на π −1 (U ),которые называются адаптированными координатами для данного расслоения. Всякое сечение s над U отображает точку t ∈ U в точку s(t) ∈ π −1 (U ) и27s(t) = (t, x1 (t), . . . , xn+m (t)). Таким образом в адаптированных координатахсечение задается вектор-функцией x(t) = (x1 (t), . .
. , xn+m (t)).Будем называть два сечения s1 , s2 расслоения π, касающимися в точкеt0 ∈ M с порядком k, если вектор-функции, описывающие эти сечения, имеютв точке t0 одинаковые частные производные до порядка k включительно.Можно показать, что условие касания с порядком k не зависит от выбора системы координат и равносильно совпадению отрезков рядов Тейлорадля вектор–функций до порядка k включительно. Поскольку сами функцииможно рассматривать как производные нулевого порядка, при k = 0 это требование сводится к совпадению значений s1 (t0 ) и s2 (t0 ), т.е. графики сеченийs1 и s2 должны пересекать слой Et0 в одной и той же точке.Касание порядка k в точке t0 есть отношение эквивалентности, которое мыk,t0будем обозначать как s1 ∼ s2 .
Множество классов эквивалентных сечений,т.е. множество всевозможных рядов Тейлора длины k обозначим Jtk0 . Классэквивалентности сечения s будем обозначать [s]kt0 и называть k-джетом сечеk,t0ния s в точке t0 . Таким образом, если s1 ∼ s2 , то [s1 ]kt0 = [s2 ]kt0 . Пространством (или многообразием) k-джетов расслоения π называют объединениеJtk0 по всем точкам t0 ∈ M :J kπ =[Jtk0t0 ∈MДля любой точки θ = [s]kt ∈ J k π положим πk (θ) = t. Тем самым определенапроекция πk : J k π → M , причем πk−1 (t) = Jtk .SПри k = 0 получаем, что J 0 π =Et = E — тотальное пространствоt∈Mрасслоения π.Многообразие k-джетов расслоения π — это и есть тот глобальный объ(j)ект, локальными координатами в котором служат функции t, xi , xi , соответствующие независимой, зависимым переменным и их производным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
