Решение задач терминального управления для плоских и лиувиллевых систем с учетом ограничений (1024957), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Методами этой теории решаютсямногие задачи математической физики. В этой работе также будет показано,что эта теория применима и для решения некоторых задач терминальногоуправления.Другим методом, используемым для решения задач терминального управления, применимым как к плоским, так и к неплоским системам, являетсяметод, основанный на понятии накрытия [83]. Он заключается в дополнении системы уравнениями на производные управлений и в построении специального отображения (накрытия) из расширенного фазового пространства8дополненной системы в расширенное фазовое пространство новой системы.При этом любое решение новой системы должно удовлетворять всем начальным условиям терминальной задачи.
Программное движение в этом случаеможет быть найдено как решение двух специально поставленных задач Кошидля новой и дополненной систем. Основную сложность здесь представляетнахождение дополнительной системы, которую мы называем r-замыканиемисходной системы.Целью работы является применение дифференциально-геометрическихподходов для решения задач терминального управления динамическими системами при наличии ограничений.Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующихосновных задач:1. Решение задачи нахождения программного управления при известнойзеркальной симметрии задачи терминального управления.2.
Разработка метода накрытий для решения задач терминального управления как плоскими, так и неплоскими системами.3. Формулировка условий применения декомпозиции систем для решениязадач терминального управления с учетом ограничений.Методы исследования. В диссертации используются методы математической теории управления, дифференциальной геометрии, теории устойчивости, численные методы.Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научныерезультаты, которые выносятся на защиту:1. Метод накрытий для решения задач терминального управления в случае плоских систем.2. Метод накрытий для решения задач терминального управления в случае лиувиллевых систем.3. Решение задачи синтеза программного движения квадракоптера вдолькоридора подбором плоского выхода.94.
Метод решения задач терминального управления с учетом ограничений, основанный на декомпозиции систем.5. Решение задачи синтеза программного движения вертолета вдоль горизонтальной прямой с применением зеркальной симметрии.Достоверность и обоснованность научных результатов и математических выводов подтверждается строгостью используемого математического аппарата. Сформулированные в работе допущения обоснованы в рамках содержательной постановки задачи, а также в процессе математическогомоделирования.Теоретическая и практическая ценность полученных результатовсостоит в том, что реализуемые в работе методы позволяют решать задачитерминального управления при наличии ограничений на состояния и управление для широкого класса систем.Апробация результатов работы.
Результаты диссертационной работы были доложены на научных семинарах кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 2014, 2016); Всероссийской научной конференции «XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014» (Москва, 2014); Международной научной конференции«1st Conference on Modelling, Identification and Control of Nonlinear Systems(MICNON-2015)» (Saint-Petersburg, 2015).Основные научные результаты диссертации отражены в 9 научных работах, в том числе 5 статей в журналах и изданиях, которые включены в Перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий дляопубликования основных научных результатов диссертации, и материалахроссийской и международной конференций.Личный вклад соискателя.
Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены соискателем лично в процессенаучной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включенлишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.10Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трехглав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа изложенана 149 страницах, содержит 49 иллюстраций. Библиография включает 101наименование.11Глава 1. Известные ранее теоретические результаты1.1. Задачи терминального управления и стабилизацииРассмотрим динамическую систему с управлениемẋ = f (t, x, u),x ∈ X ⊂ Rn ,u ∈ U ⊂ Rm ,(1.1)где t — независимая переменная, x = (x1 , .
. . , xn ) — состояние, вектор u =(u1 , . . . , um ) — управление, X и U — области их изменения, f = (f1 , . . . , fn ) —гладкая векторная функция, а ẋ ≡ dx/dt. Под гладкостью здесь и далеепонимается бесконечная дифференцируемость.Задача терминального управления для системы (1.1) ставится, когда заданы начальное x0 в начальный момент времени t0 и конечное xf состояниясистемы.
Заключается она в поиске такой зависимости u(t) в классе допустимых управлений, при которой траектория системы переходит из начальногосостояния x0 в конечное состояние xf за время tf − t0 , где время tf можетбыть задано, а может выбираться из некоторых дополнительных соображений с учетом очевидного требования tf > t0 .Пусть для системы (1.1) мы нашли управление u(t), которое позволяетследовать желаемой траектории x∗ (t). Однако на техническую систему могутвоздействовать (как правило, случайным образом) внешние силы, которые неучитываются в модели (1.1).
В результате этих воздействий система можетизменить свое состояние в некоторый момент времени t1 на x(t1 ) 6= x∗ (t1 ). Вэтом случае ставится задача стабилизации: используя управление, вернутьсистему на заданную траекторию x∗ (t).1.2. Плоские системы с управлениемРассмотрим систему с управлением вида (1.1) и некоторое неотрицательное целое число l. Считая переменныеt, x1 , .
. . , xn , u1 , . . . , um , u̇1 , . . . , u̇m , ü1 , . . . , u(l)m12независимыми, рассмотрим пространство с такими координатами. Через O(l)будем обозначать какую-либо область этого пространства.Систему (1.1) называют (дифференциально) плоской в области O(l) , еслина O(l) определены функцииy1 = h1 (t, x, u, u̇, . . . , u(l) ),...,ym = hm (t, x, u, u̇, . . .
, u(l) ),(1.2)удовлетворяющие следующим двум условиям. Во-первых, переменные x и uвыражаются через t, функции (1.2) и их производные в силу системы (1.1) докакого-то конечного порядка:(k )(km )x = X(t, y1 , ẏ1 , . . . , y1 1 , y2 , . . . , ym),(k1 +1)u = U (t, y1 , ẏ1 , . . . , y1(km +1), y2 , . . . , ym).(1.3)(1.4)Во-вторых, любой конечный набор функций (1.2), их производных в силу системы (1.1) и функции t функционально независим.
При выполнении указанных условий набор функций (1.2) называют плоским (или линеаризующим)выходом системы (1.1).Если в этом определении разрешить преобразовывать еще и независимуюпеременную, то получится определении орбитально плоской системы [19,47].Орбитально плоские системы рассмотрим ниже.Пример 1.
Движение автомобиля при отсутствии проскальзывания (см.Рис. 1.1) описывает следующая система [47] дифференциальных уравнений:ẋ = u cos θ,ż = u sin θ,uθ̇ = tg φlгде x, z — декартовы координаты середины задней оси автомобиля, u —скорость автомобиля, θ — угол между осью абсцисс и прямой, проходящейчерез середины двух осей, φ — угол поворота колес передней оси относительно13Рис. 1.1. Автомобильуказанной прямой, а l — расстояние между серединами двух осей. Здесьвектор (x, z, θ) является состоянием системы, вектор (u, φ) — ее управлением.Система является плоской в области {u 6= 0} с плоским выходом y1 =x, y2 = z. В самом деле, u2 = ẏ12 + ẏ22 , а при ẏ12 + ẏ22 6= 0 имеемẏ2 θ = arctg , когда ẏ1 6= 0ẏ1x = y1 , z = y2 ,ẏ θ = arcctg 1 , когда ẏ2 6= 0.ẏ2Динамической обратной связью системы (1.1) называют обратную связьвидаξ˙ = a(t, x, ξ, v),u = b(t, x, ξ, v),ξ ∈ Rd ,v ∈ Rm ,(1.5)с состоянием ξ, входом (x, v) и выходом u.
Динамическую обратную связьможно понимать как преобразование системы (1.1) в системуẋ = f (t, x, b(t, x, ξ, v)),ξ˙ = a(t, x, ξ, v)(1.6)с состоянием (x, ξ) ∈ R(n+l) и управлением v. Второе равенство в (1.5) определяет отображение из множества решений системы (1.6) в множество решенийсистемы (1.1).Говорят, что система (1.1) линеаризуема динамической обратной связью(1.5) (или просто динамически линеаризуема), если получающаяся с помощьюэтой связи система (1.6) преобразуется в эквивалентную систему вида(ni )yi= vi ,i = 1, m(1.7)14обратимой заменой переменныхt = t,(n1 −1)где ỹ = (y1 , y˙1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
