8 (Лекции по математическому анализу)

Лекция 8Раздел IV. Векторная алгебра и аналитическая геометрияНаправленный отрезок: вектор AB  aДлинаЕдиничным вектором, или ортой, называется вектор, длина которого = 1.Св-ва векторов:10 a - b = a + (-b)20 a + b = b + a (переместительный)30 (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный)40 ∀ a + 0 = a50=6070(распределительный)8090 ∀ 1 a = a100 ∀ 0 a = 0110 Единичный вектор a0 =4.1 Линейная зависимость и независимость системы векторовЛинейная комбинация a1, a2, … an:Линейная комбинация называется тривиальной, если всеi 0 i  1, nЛинейная комбинация называется нетривиальной, если  хотя бы одноi0О1 Векторы a1, a2, … an называются л/з, если существует нетривиальнаялинейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. a  a1122 ...   na n  0 ,i0О2 Векторы a1, a2, … an называются л/нз, если только тривиальнаялинейная комбинация, равная нулевому вектору: a  a1122 ...   na n  0 ,  i  0 , i  1, nО3 Любой геометрический вектор a пространства можно разложить повекторам базиса e1, e 2, e 3 : a  a1e1  a 2e 2  a 3e 3 , где a = (a1, a2, a3)п 4.2 Действия над векторами в координатной формеa = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, b3)1) a  b  (a1  b1, a 2  b 2, a 3  b 3)2) a = b => a1=b1, a2=b2, a3=b33)  a  ( a1,  a 2,  a 3)4) У коллинеарных векторов a||b 5) | a |a21 a2  a32a ab b1212 a3b326) Направляющие косинусы тех углов, которые этот вектор образует сбазисными i, j, kcos  a1|a|;cos  a2|a|;cos  a3|a|cos   cos   cos   12a022 (cos  , cos  , cos  )п 4.3 Скалярное произведение векторовО4 Скалярным произведением a  b ненулевых a, b называется число:a  b | a |  | b |  cos (a, b)Механический смысл: A  a  b , где b – вектор силы; a – вектор пути; A –работаЗаконы скалярного произведения:1) a  b = b  a (переместительный)2) a  (b  c)  (a  b)  (a  c) (распределительный)3)   a  b   (a  b) (сочетательный)Св-ва:1) a  b  0, a  0, b  0 (тогда и только тогда когда) a  b2) | a | a  a3) cos (a, b) a b| a || b |4) Ортогональная проекция a и bпрba =a ba b; прab =|b||a|5) a  a1i  a 2 j  a 3k ; b  b1i  b 2 j  b 3ka  b  a1  b1  a 2  b 2  a 3  b 3п.

4.4 Векторное произведение векторовО5 Векторным произведением a  b векторов a и b называется векторc  abc  abba1) | c || a  b || a |  | b | sin (a, b)2) c  a, c  b3) Упорядоченная тройка некомпланарных (лежат в разных плоскостях)a, b, c называется правой, если при проведении этих векторов к общемуначалу кратчайший поворот от a к b виден из конца c против часовойстрелки (по часовой стрелке – тройка называется левой)a, b, c правая тройкаГеометрический смысл:S | a  b | - площадь параллелограммаS1| ab |2Законы векторного произведения:1) a  b  (b  a) (антипереместительный)2)  (a  b)  ( a)  b  a  (b) (сочетательный)3) a  (b  c)  a  b  a  c (распределительный)4) a  b  0 если a = 0 или b = 0 или a || bij5) a  b =  a1 a2b b 1 2ka3 b3 п.

4.5 Смешанное произведение 3х векторовО6 Смешанным произведением векторов a, b, c называется число, равноескалярному произведение a на b  cabc  a  (b  c)  (a  b)  cГеометрический смысл:Vпар| a  b  c | - объем параллелепипедаVпир1| a  b  c | - объем пирамиды6 a1 a2a  b  c   b1 b2c c 1 2a3 b3 c3  a1 a2Условие компланарности  b1 b2c c 1 2a3 b3   0c3 п. 4.6 Полярная система координатM - полярный угол - полярный радиус0    0    2{x   cos y   sin x ytg yx22Пример:1)Кардиордап.

4.7 Линии второго порядка1)ЭллипсЭллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых суммарасстояний от 2х данных точек, называющиеся фокусами, есть величинапостоянная, большая, чем расстояние между фокусамиbax ya b222212)ГиперболаГиперболой называется множество всех точек плоскости, для которыхмодуль разности расстояний от 2х данных точек, называемых фокусами,есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусамиx ya b22221ba3)Параболаy  2 pxyx.