1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (Войтишек - Основы метода Монте-Карло), страница 9

Ðåøàÿ óðàâíåíèå (13.8) äëÿ ïëîòíîñòè (13.17), ïîñëåäîâàòåëüíîïîëó÷àåìZξ0−1(1 − µ2 ) du= α0 ,2 (1 + µ2 − 2 µ u)3/2Zξ0−144(1 − µ2 ) d(1 + µ2 − 2 µ u)= α0 ,−4µ (1 + µ2 − 2 µ u)3/2−1 − µ24µZ1+µ2 −2µξ01 − µ22µv −3/2 dv = α0 ,(1+µ)2112µα0p,−=21+µ1− µ21 + µ − 2µξ0è, íàêîíåö,1ξ0 =1 + µ2 −2µZ1+µ2 −2µξ01p1+dv −1/2 = α0 ,(1+µ)2µ2− 2µξ01 − µ22 µ α0 + 1 − µ=2µα0 + 1 − µ1 − µ2!2 !.(13.18)Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α0 = 0 äàåò ξ0 = (1 + µ2 − (1 + µ)2 )/(2µ) = −1, à ïðèα0 = 1 èìååì ξ0 = (1 + µ2 − (1 − µ)2 )/(2µ) = 1.13.6. Î ñâÿçè ñòàíäàðòíûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé.

Êàê áûëî óêàçàíî â ïîä-ðàçä. 4.4, â öåëîì ðÿäå ïðèëîæåíèé öåëåñîîáðàçíûì ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèåäåëüòà-ïëîòíîñòèf (u) = δ(u − x0 ),a < u < b,(13.19)ãäå δ(u − x0 ) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà, îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåìZ bϕ(x0 ) ïðè x0 ∈ (a, b),ϕ(u)δ(u − x0 ) du =0 ïðè x0 ∈/ (a, b)aäëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ϕ(u), íåïðåðûâíîé â òî÷êå u = x0 (ñì., íàïðèìåð, [7]).

Ôóíêöèÿ (13.19), î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì(13.4) ïðè x0 ∈ (a, b).Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ , èìåþùàÿ ïëîòíîñòü (13.19), ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ξ = x0 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Íàîáîðîò, ëþáîå ÷èñëî x0 ìîæíîòðàêòîâàòü êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ ñ ïëîòíîñòüþ (13.19). ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî ââåñòè îáîáùåííóþ ïëîòíîñòü äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì (11.1):f (u) =NXpi δ(u − xi ), −∞ < u < +∞; pi ≥ 0, p1 + . . . + pN = 1. (13.20)i=1Äëÿ ïðîñòîòû ïîëàãàåì x1 < x2 < .

. . < xN . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòè (13.20) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñòóïåí÷àòûé âèä 0 ïðè x < x1 ,Ri = p1 + . . . + pi ïðè x ∈ [xi , xi+1 ); i = 1, .., N − 1, (13.21)F (x) =1 ïðè x ≥ xN .45Òàêîé âèä ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîçâîëÿåò îòíåñòè äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ê ¾ýêçîòè÷åñêèì¿. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, îáðàòíîéê (13.21), íåîäíîçíà÷íî. Îäíàêî ìîæíî ââåñòè àíàëîã ôóíêöèè F −1 (z)äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (13.21) ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿG(z) =infxx:z<F (x)è ñîîòâåòñòâóþùèé àíàëîã ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿξ0 = G(α0 ). Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà äàåò ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (àëãîðèòì 11.1).  ñâÿçè ñ ýòèì àëãîðèòì 11.1 èíîãäà íàçûâàþò ìåòîäîìîáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûñ ðàñïðåäåëåíèåì (11.1).

Ìû, îäíàêî, â äàëüíåéøåì áóäåì ðàçëè÷àòüñòàíäàðòíûå àëãîðèòìû 11.1 è 13.1 ìîäåëèðîâàíèÿ äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñîîòâåòñòâåííî.13.6. Òåîðåìà î çàìåíå ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ.  ðÿäå ðàññóæäåíèé, ñâÿçàííûõ ñ îáîñíîâàíèåì àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ, íàì ïîòðåáóåòñÿñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 13.1 (ñì., íàïðèìåð, [1]). Ïóñòüu(i) = Φ(i) (v (1) , .

. . , v (d) ),i = 1, 2, . . . , d âçàèìíî îäíîçíà÷íîå äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå îáëàñòè A â ïðîñòðàíñòâå ñ êîîðäèíàòàìè v (1) , . . . , v (d) íà îáëàñòü B â ïðîñòðàíñòâåñ êîîðäèíàòàìè u(1) , . . . , u(d) . Åñëè ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãî âåêòîðàη = (η (1) , . . .

, η (d) ) â A ðàâíà fη (v (1) , . . . , v (d) ), òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ=(ξ (1) , . . . , ξ (d) ) â B , ãäåξ (i) = Φ(i) (η (1) , . . . , η (d) ), èìååò âèä ∂(v (1) , . . . , v (d) ) .(13.22)fξ (u(1) , . . . , u(d) ) = fη (v (1) , . . . , v (d) ) ∂(u(1) , . . .

, u(d) ) (i) ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ v äîëæíû áûòü âûðàæåíû ïîñëåäíåãî(1)(d) ∂(v,...,v)÷åðåç u(j) , à ∂(u(1) ,...,u(d) ) åñòü ÿêîáèàí ïåðåõîäà îò êîîðäèíàò {v (i) }ê êîîðäèíàòàì {u(j) }.13.7. Òåõíîëîãèÿ ¾âëîæåííûõ çàìåí¿. Ïðè ðàññìîòðåíèè ÷èñëåííûõ ìîäåëåé ñî ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü,ñ îäíîé ñòîðîíû, íà îñíîâàíèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ âûáðàòü çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ, à ñ äðóãîé èìåòü46àëãîðèòìû ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ïî âûáðàííûì âåðîÿòíîñòíûì çàêîíàì.  ñâÿçè ñ ýòèì ìîæíî çàíÿòüñÿ ñîçäàíèåì¾áàíêà¿ ðàñïðåäåëåíèé, äîïóñêàþùèõ ïîñòðîåíèå ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïëîòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþòåõíîëîãèþ, îñíîâàííóþ íà îäíîìåðíîì âàðèàíòå óòâåðæäåíèÿ 13.1.ÒÅÕÍÎËÎÃÈß 13.1. Ïóñòü fη (v) ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η , èìåþùåé ýëåìåíòàðíîåR ðàñïðåäåëåíèå â èíòåðâàëå (c, d), ò.

å.ηèç ñîîòíîøåíèÿ òèïà (13.8) c 0 fη (v) dv = α0 äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ η0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η ìîæíî ïîëó÷èòüôîðìóëó òèïà (13.3): η0 = ψη (α0 ), ãäå ψη (w) ïðîñòàÿ êîìïîçèöèÿýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðèì âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå, çàäàâàåìîå ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé ϕ(x), ïåðåâîäÿùåé èíòåðâàë (a, b) â èíòåðâàë (c, d); â ÷àñòíîñòè ϕ(a) = c, ϕ(b) = d. Ïîëàãàåì òàêæå, ÷òî ôóíêöèþ ϕ(x) è îáðàòíóþ ê íåé ôóíêöèþ ϕ−1 (y) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîñòîé êîìïîçèöèè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååòïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) = fη (ϕ(u)) ϕ0 (u), u ∈ (a, b);(13.23)ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ôîðìóëû (13.22). Ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî f (u) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.

å. óðàâíåíèå (13.8) ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ξ0 â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ è ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà ξ0 = ϕ−1 (ψη (α0 )).Äåéñòâèòåëüíî, çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå (13.8) äëÿ ïëîòíîñòè (13.23),èìååìZ ξ0Z ϕ(ξ0 )0fη (ϕ(u)) ϕ (u) du = α0 , èëèfη (v) dv = α0 ,aϕ(a)èëè ϕ(ξ0 ) = ψη (α0 ), èëè ξ0 = ϕ−1 (ψη (α0 )).(13.24)Ïîëó÷åííóþ ïëîòíîñòü (13.23) ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå èñõîäíîéïëîòíîñòè fη (v) è îñóùåñòâèòü åùå îäíî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå òèïà ϕ(u). Ñ ïîìîùüþ òàêèõ âëîæåííûõ çàìåí ìîæíî ïîëó÷àòü íåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî íîâûõ ïëîòíîñòåé ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ãðàôèêè ýòèõ ïëîòíîñòåé ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîëó÷åííûìè èç ýêñïåðèìåíòà ðàñïðåäåëåíèÿìè è âûáèðàòü ïîäõîäÿùèé äëÿäàííîé ÷èñëåííîé ìîäåëè ñëó÷àéíûé ýëåìåíò.4713.8.

Ïðèìåðû. Èëëþñòðàöèåé ïðèìåíåíèÿ òåõíîëîãèè 13.1 ÿâëÿåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ïðèìåð 13.4.  íåì èñõîäíûì ÿâëÿåòñÿ àíàëîã óñå÷åííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñ ïëîòíîñòüþfη (v) = (ac bc /(bc − ac )) cv −c−1 , 0 < a < v < b,c>0ïðè a = (1 − |µ|)2 , b = (1 + |µ|)2 , c = 1/2 (äëÿ êëàññè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòîp a = 1, b = +∞ ñì. ïðèìåð 13.3) c ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëîéη0 = ab/ c bc − (bc − ac )α0 . Èñïîëüçîâàíà çàìåíà v = ϕ(u) = 1+µ2 −2 µ u,ïðèâîäÿùàÿ ê ïëîòíîñòè (13.17) è ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëå (13.18).Ïðîäåìîíñòðèðóåì åùå íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ïðèìåíåíèÿ òåõíîëîãèè13.1.ÏÐÈÌÅÐ 13.5 (1.5 áàëëà).

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ , èìåþùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) = exp u × exp(− exp u), −∞ < u < +∞.(13.25)Ýòî ïëîòíîñòü ýêñòðåìàëüíîãî (òî÷íåå, ìèíèìàëüíîãî) ðàñïðåäåëåíèÿ(ñì., íàïðèìåð, [10]), îïèñûâàþùàÿ îäíî èç òðåõ âîçìîæíûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âèäàan min(η1 , . . . , ηn ) + bn(13.26)ïðè an 6= 0, n → ∞; çäåñü an , bn ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,à {ηi } íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.Âûâåäåì ìîäåëèðóþùóþ ôîðìóëó äëÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ .

Ðåøàÿ óðàâíåíèå (13.8) äëÿ ïëîòíîñòè (13.25), ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z ξ0Z exp ξ0exp u exp(− exp u) du = α0 ,exp(−v) dv = α0 ,−∞0− exp(− exp ξ0 ) + 1 = α0 è, íàêîíåö, ξ0 = ln(− ln α00 ), ãäå α00 = 1 − α0 .Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α0 = 0 äàåò α00 = 1 è ξ0 = ln(− ln 1) = −∞, à ïðèα0 = 1 èìååì α00 = 0 è ξ0 = ln(− ln 0) = +∞. Îïèñàíèå ïðèìåðà 13.5çàêîí÷åíî.Ïðèìåíåíèå òåõíîëîãèè 13.1 äëÿ ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà ìîæíîîïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èñõîäíûì ÿâëÿëîñü ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (13.11) äëÿ äëÿ ñëó÷àÿ λ = 1, ò. å. fη (v) = e−v , v > 0;ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà: η0 = − ln α00 .

Çàòåì èñïîëüçîâàíà çàìåíà v = ϕ(u) = eu , −∞ < u < +∞.48Çàìåòèì òàêæå, ÷òî äâà äðóãèõ (îòëè÷íûõ îò (13.25)) âîçìîæíûõàñèìïòîòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âèäà (13.26)(ñì., íàïðèìåð, [10]) òàêæå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà ñ ïëîòíîñòüþf (1) (u) = uc−1 exp(−uc ), u > 0, c > 0(13.27)(1)è ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëîé ξ0 = (− ln α0 )1/c , à òàêæå ðàñïðåäåëåíèå ñïëîòíîñòüþf (2) (u) = c (−u)c−1 exp(−(−u)c ), u < 0, c > 0(13.28)(2)è ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëîé ξ0 = −(− ln α0 )1/c .Ïðèìåíåíèå òåõíîëîãèè 13.1 äëÿ ïëîòíîñòåé (13.27) è (13.28) ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èñõîäíûì, êàê è äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ(13.25), ÿâëÿëîñü ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå fη (v) = e−v , v > 0ñ ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëîé η0 = − ln α0 .

Çàòåì èñïîëüçîâàíû çàìåíû:äëÿ ïëîòíîñòè (13.27) v = ϕ(u) = uc , u > 0, à äëÿ ïëîòíîñòè (13.28)v = ϕ(u) = (−u)c , u < 0.ÏÐÈÌÅÐ 13.6 (2.5 áàëëà). Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ , èìåþùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ√π3 3 cos u, 0<u< .(13.29)f (u) =22π(sin u + sin u + 1)Âûâåäåì ìîäåëèðóþùóþ ôîðìóëó äëÿ ξ . Ðåøàÿ óðàâíåíèå (13.8) äëÿïëîòíîñòè (13.29), ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:√√Z ξ0Z ξ03 3 cos u du3 3 d(sin u + 1/2)= α0 ,= α0 ,π((sin u + 1/2)2 + 3/4)π(sin2 u + sin u + 1)00√√ZZ6 sin ξ0 +1/2 d(2v/ 3)6 2(sin ξ0 +1/2)/ 3 dw√= α0 ,= α0 ,π 1/2π 1/√3w2 + 1(2v/ 3)2 + 161261√sin ξ0 +arctg− arctg √ = α0 ,π2π3321πarctg √sin ξ0 += (α0 + 1)263è, íàêîíåö,!√ 13 πξ0 = arcsintg(α0 + 1) −.(13.30)26249√Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α0 = 0 äàåò ξ0 = arcsin((√ 3/2) tg(π/6) − 1/2) =arcsin 0 = 0, à ïðè α0 = 1 èìååì ξ0 = arcsin(( 3/2) tg(π/3) − 1/2) =arcsin 1 = π/2.

Îïèñàíèå ïðèìåðà 13.6 çàêîí÷åíî.Ñõåìà ¾ñî÷èíåíèÿ¿ ïëîòíîñòè (13.29) òàêîâà. Áåðåì èñõîäíóþ ïëîòíîñòü√61fθ (w) =, √ <w< 3π(w2 + 1)3ñ ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëîé√θ0 = tg(π(α0 + 1)/6). Èñïîëüçóÿ ëèíåéíîåïðåîáðàçîâàíèå ϕ1 (v) = (2/ 3)(v + 1/2), ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü√4 3√fη (v) =, 0<v<1π((2(v + 1/2)/ 3)2 + 1)√è ìîäåëèðóþùóþ ôîðìóëó η0 = ( 3 tg(π(α0 + 1)/6) − 1)/2.