1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (Войтишек - Основы метода Монте-Карло), страница 5

4.4 âêëþ÷åíèå îñîáåííîñòèâ ïëîòíîñòü.9.4. Ìåòîä ñîïðÿæåííûõ áëóæäàíèé. Äëÿ ìíîãèõ ïðèëîæåíèéâàæíûì ÿâëÿåòñÿ óìåíèå ñòðîèòü ëîêàëüíûå âåñîâûå îöåíêè ìåòîäàÌîíòå-Êàðëî, ïîçâîëÿþùèå ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿòü çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ ϕ(x) óðàâíåíèÿ (7.5) â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå x̂, èñïîëüçóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå àíàëîãè àëãîðèòìà 9.1 (ñì., íàïðèìåð, [1]).Ïåðâûé ïîäõîä îñíîâàí íà òåîðèè îáîáùåííûõ ôóíêöèé (ñì., íàïðèìåð, [7]) è íà èäåå âêëþ÷åíèÿ îñîáåííîñòè â ïëîòíîñòü (ñì., íàïðèìåð,[1] è ïîäðàçä. 4.4).

Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå ϕ(x̂) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ôóíêöèîíàëà (7.6):ϕ(x̂) = ϕ2 , ĥ , ĥ(x) = δ(x − x̂).(9.3)ßñíî, ÷òî äëÿ òàêîãî ôóíêöèîíàëà íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì (9.1) ââèäó íåâîçìîæíîñòè ïîäñ÷åòà äåëüòà-ôóíêöèè èç ñîîò(m)íîøåíèÿ (9.3) â ñëó÷àéíûõ òî÷êàõ ξj . Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî24ϕ, ĥ = ϕ∗ , f , ãäå f (x) ñâîáîäíûé ÷ëåí èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (7.5),à ϕ∗ (y) ðåøåíèå ñîïðÿæåííîãî (îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà (9.3)) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿZ∗ϕ (y) = k ∗ (y 0 , y) ϕ∗ (y 0 ) dy 0 + ĥ(y); èëè ϕ∗ = K ∗ ϕ∗ + ĥ,(9.4)ãäå K ∗ èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì k ∗ (y 0 , y) = k(y, y 0 ).

Âìåñòîîöåíêè (9.1) ìîæíî ñòðîèòü îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì äëÿ ôóíêöèîíàëàϕ∗ , f îò ðåøåíèÿ ϕ∗ (y) óðàâíåíèÿ (9.4):∗∗ζ =NXQ(m)∗ f (η (m) ),(9.5)m=0ãäå îäíîðîäíàÿ, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà öåïü Ìàðêî∗âà η (0) , η (1) , . . . , η (N ) èìååò íà÷àëüíóþ ïëîòíîñòü π ∗ (y) è ïåðåõîäíóþôóíêöèþ p∗ (y 0 , y) = r∗ (y 0 , y) 1 − p∗ (y 0 ) ;Q(0)∗ =ĥ(η (0) ),π ∗ (η (0) )Q(m)∗ = Q(m−1)∗k ∗ (η (m−1) , η (m) ).p∗ (η (m−1) , η (m) )(9.6) ñëó÷àå ĥ(x) = δ(x − x̂) âîçíèêàþò òðóäíîñòè ñ ðåàëèçàöèåé àëãîðèòìà 9.1, ñîîòâåòñòâóþùåãî îöåíêå (9.5), â ñâÿçè ñ íåâîçìîæíîñòüþ âû÷èñëåíèÿ âåñà Q(0)∗ èç (9.6). Îäíàêî çäåñü ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà èäåÿ¾âêëþ÷åíèÿ îñîáåííîñòè â ïëîòíîñòü¿ (ñì. ïîäðàçä.

4.4). Âîçüìåì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé ïëîòíîñòè π ∗ (y) ôóíêöèþ δ(y − x̂). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîíà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå η (0) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, òîæäåñòâåííî(ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà) ðàâíîé x̂ (ò. å. ýòî óæå ïî ñóòè äåòåðìèíèðîâàííàÿ íåñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà). Ñîîòâåòñòâåííî ïðè ìîäåëèðîâàíèè∗(0)òðàåêòîðèé öåïè η (0) , η (1) , . . . , η (N ) ñëåäóåò áðàòü ηj = x̂, ïðè ýòîì(0)∗Qj≡ 1. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêà ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ áëóæäàíèé:∗∗∗ϕ(x̂) = Eζ̂ , ζ̂ =NXQ(m)∗ f (η (m) ) + f (x̂).(9.7)m=19.5. ¾Ôóíêöèîíàëüíàÿ¿ ëîêàëüíàÿ îöåíêà. Íåäîñòàòêîì îöåíêè (9.7) ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ïðè íåîáõîäèìîñòè âû÷èñëåíèÿðåøåíèÿ ϕ(x) â íàáîðå òî÷åê òðåáóåòñÿ ìîäåëèðîâàòü èíäèâèäóàëüíûå25íàáîðû òðàåêòîðèé öåïè Ìàðêîâà, ñòàðòóþùèõ â êàæäîé èç òî÷åê.

Ýòîãî íåäîñòàòêà ëèøåíà ¾ôóíêöèîíàëüíàÿ¿ ëîêàëüíàÿ îöåíêà, êîòîðàÿñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.RÇàìåòèì, ÷òî ïåðâûé ÷ëåí Ik,x = Kϕ(x) = k(x0 , x)ϕ(x0 ) dx0 â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7.5) èìååò ôîðìó ôóíêöèîíàëà (7.6) äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè hx (x0 ) = k(x0 , x). Äëÿ êàæäîãî x (â òîì ÷èñëå, èäëÿ x = x̂) ìîæíî ïîñòðîèòü îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì âèäà (9.1) äëÿôóíêöèîíàëà Ik,x è ïðèáàâèòü ñâîáîäíûé ÷ëåí f (x) óðàâíåíèÿ (7.5):ϕ(x) = Eξ(x),ξ(x) =NXQ(m) k(ξ (m) , x) + f (x).(9.8)m=0Ïðè ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà 9.1 ìîæíî èñïîëüçîâàòü(N )(0) (1)îäèí è òîò æå íàáîð òðàåêòîðèé ξj , ξj , .

. . , ξj j (çäåñü j = 1, . . . , n)äëÿ ìíîãèõ òî÷åê x. Ñëåäóåò, îäíàêî, çàìåòèòü, ÷òî îáîñíîâàííîå ïðèìåíåíèå ëîêàëüíîé (à ïî ñóòè ¾ãëîáàëüíîé¿) îöåíêè (9.8) (÷òî îçíà÷àåò, â÷àñòíîñòè, âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè n−1/2 ïî ÷èñëóèñïûòàíèé) âîçìîæíî òîëüêî äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé ϕ(x), k(x0 , x), f (x)ïî ïåðåìåííîé x (ñì., íàïðèìåð, [8]). Äëÿ ïîäàâëÿþùåãî áîëüøèíñòâààêòóàëüíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ÿäðî k(x0 , x) è ñâîáîäíûé ÷ëåí f (x) ñîäåðæàò îñîáåííîñòè òèïà äåëüòà-ôóíêöèé ïî ÷àñòè ïåðåìåííûõ (òàêàÿñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî, â ÷àñòíîñòè, â çàäà÷å ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ, ðàññìîòðåííîé â ðàçä. 6, 7), è ïðèõîäèòñÿ ëîêàëüíî ¾âûðåçàòü¿ ýòè îñîáåííîñòè, ïðèáëèæàÿ íåãëàäêèå ôóíêöèè k(x0 , x), f (x) â ¾âûðåçàííûõ¿îáëàñòÿõ ãëàäêèìè àíàëîãàìè (îòñþäà íàçâàíèå ¾ëîêàëüíàÿ îöåíêà¿).10.

Ôèçè÷åñêèå äàò÷èêè ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ÷èñåë è ãåíåðàòîðû ïñåâäî-ñëó÷àéíûõ ÷èñåë.Ìåòîä âû÷åòîâ è åãî ñâîéñòâà10.1. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñòàíäàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû α. Èç ïðåäûäóùèõ ðàçäåëîâ ñëåäóåò, ÷òî êëþ÷åâûì ìîìåíòîìðåàëèçàöèè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ÿâëÿåòñÿ ìîäåëèðîâàíèå (èëè ðåàëèçàöèÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâíà ÝÂÌ, êîòîðîå ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ:1) ðåàëèçóþòñÿ çíà÷åíèÿ α1 , .

. . , αk ñòàíäàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû α, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â èíòåðâàëå (0, 1), ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîé ïðîãðàììû èëè óñòðîéñòâà, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ãåíåðàòîðîì ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ (ïñåâäîñëó÷àéíûõ) ÷èñåë;262) ñ ïîìîùüþ íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷åííûõ ÷èñåë {αj } âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ áîëåå ñëîæíûìè çàêîíàìèðàñïðåäåëåíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, òåîðèþ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê íàóêó î âîçìîæíîñòÿõ ïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé ñòàíäàðòíîãîñëó÷àéíîãî ÷èñëà α äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷.Ïåðå÷èñëèì âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû α.Ðàñïðåäåëåíèå ýòîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ñ ïëîòíîñòüþ f (u) ≡ 1, 0 < u < 1.

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà 0 ïðè x ∈ (−∞, 0],x ïðè x ∈ (0, 1),F (x) =(10.1)1 ïðè x ∈ [1, +∞),Äëÿ îáîñíîâàíèÿ àëãîðèòìîâ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ òî÷åê.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 10.1 (ñì., íàïðèìåð, [1]). Åñëè l-ìåðíàÿ òî÷êà αðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåíà â îáëàñòè G1 ⊂ Rl êîíå÷íîãî îáúåìàRḠ1 = G1 du, òî îíà òàêæå ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â ïðîèçâîëüíîéïîäîáëàñòè G ⊆ G1 îáúåìà Ḡ ïðè óñëîâèè ïîïàäàíèÿ â ýòó ïîäîáëàñòü;ïðè ýòîì P(α ∈ G) = Ḡ/Ḡ1 . êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ñôîðìóëèðóåìÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 10.2.

Ïóñòü èìååòñÿ èíòåðâàë (a, b) ⊆ (0, 1).Òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà α ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíàâ (a, b) ïðè óñëîâèè ïîïàäàíèÿ â ýòîò èíòåðâàë è P α ∈ (a, b) = b − a.ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 10.1. Óòâåðæäåíèå 10.2 èñïîëüçóåòñÿ ïðè îáîñíîâàíèè ìíîãèõ âû÷èñëèòåëüíûõ êîíñòðóêöèé ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî.10.2. Äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ñòàíäàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Âàæíûì äëÿ ïîñòðîåíèÿ è òåñòèðîâàíèÿ ãåíåðàòîðîâ ñòàí-äàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ðàññóæäåíèå. Ïîñêîëüêó α ∈ (0, 1), äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå êàæäîãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìååò âèäα = 0, α(1) . .

. α(k) . . . =∞Xα(k) 2−k ,(10.2)k=1ïðè÷åì êàæäûé ðàçðÿä α(k) ìàíòèññû ÷èñëà (10.2) ðàâåí íóëþ èëè åäèíèöå.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 10.3 (ñì., íàïðèìåð, [1]). Äëÿ òîãî ÷òîáû ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà α áûëà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â èíòåðâàëå (0, 1),27íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äâîè÷íûå öèôðû {α(k) } èç ñîîòíîøåíèÿ (10.2) ïðåäñòàâëÿëè ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõáåðíóëëèåâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà 1/2:P{α(k) = 1} = P{α(k) = 0} = 1/2.Ñ îäíîé ñòîðîíû, óòâåðæäåíèå 1.3 ìîæåò ïîâåðãíóòü èññëåäîâàòåëÿâ íåêîòîðîå óíûíèå, òàê êàê îíî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ¾íàñòîÿùåå¿ ñòàíäàðòíîå ñëó÷àéíîå ÷èñëî (10.2) èìååò áåñêîíå÷íóþ ìàíòèññó, âîñïðîèçâåñòè êîòîðóþ íà ÝÂÌ íåâîçìîæíî.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå ìàøèííûå îøèáêè, ñâÿçàííûåñ êîíå÷íîñòüþ ìàíòèññû, ÷àñòî íå ó÷èòûâàþòñÿ (â êà÷åñòâå ïðèìåðàìîæíî óêàçàòü èñïîëüçîâàíèå ôîðìàòîâ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë íà ÝÂÌ).Äëÿ èñïîëüçóåìûõ íà ïðàêòèêå ãåíåðàòîðîâ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ýôôåêòû,ñâÿçàííûå ñ êîíå÷íîñòüþ ìàíòèññû, êàê ïðàâèëî, íåçíà÷èòåëüíû.10.3.

Ôèçè÷åñêèå äàò÷èêè. Óòâåðæäåíèå 10.3 îáîñíîâûâàåò ïðèíöèï ðàáîòû òàê íàçûâàåìûõ ôèçè÷åñêèõ äàò÷èêîâ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë.Ýòî òåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà (÷àùå âñåãî ¾øóìÿùèå¿ ðàäèîýëåêòðîííûå ïðèáîðû), êîòîðûå âûðàáàòûâàþò ñëó÷àéíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüäâîè÷íûõ öèôð (óñëîâíî: ëàìïî÷êà ãîðèò èëè íå ãîðèò ñ âåðîÿòíîñòüþ1/2; åñëè âåðîÿòíîñòü íå ðàâíà 1/2, ìîæíî áðàòü ïàðû ñîáûòèé äàíåòè íåòäà, à ñîáûòèÿ äàäà, íåòíåò îòáðàñûâàòü). Ê ïðåèìóùåñòâàìòàêîãî ñïîñîáà ïîëó÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë îòíîñÿò áûñòðîòó ðåàëèçàöèè è íåîãðàíè÷åííîñòü çàïàñà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Íåäîñòàòêîì äàò÷èêîâ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïåðèîäè÷åñêè òðåáóåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîâåðêà âûðàáàòûâàåìûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë (ïîñêîëüêó äàæåñâåðõíàäåæíîå òåõíè÷åñêîå óñòðîéñòâî äàåò ñáîè). Êðîìå òîãî, íåò âîçìîæíîñòè âîñïðîèçâåñòè ðàñ÷åòû.

Ñëåäóåò òåì íå ìåíåå çàìåòèòü, ÷òîñóùåñòâóåò íåìàëî âû÷èñëèòåëåé, êîòîðûå ïðåäïî÷èòàþò èìåííî äàò÷èêè ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, è ðàáîòû ïî êîíñòðóèðîâàíèþ òàêèõ óñòðîéñòâïðîäîëæàþòñÿ.10.4. Ãåíåðàòîðû ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Áîëüøèíñòâî ðàñ÷åòîâ ïî ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî ïðîèçâåäåíî è ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþãåíåðàòîðîâ ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ïðåäñòàâëÿþùèõ èç ñåáÿ íåêîòîðûå âû÷èñëèòåëüíûå ïðîãðàììû.

Àðãóìåíòàìè â ïîëüçó ïðèìåíåíèÿïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ: âîçìîæíîñòü âîñïðîèçâîäèòü ðàñ÷åòû, áûñòðîòà ïîëó÷åíèÿ ÷èñåë, îòñóòñòâèå âíåøíèõ óñòðîéñòâ è íåîáõîäèìîñòè ìíîãîêðàòíîé ïðîâåðêè êà÷åñòâà ïîëó÷àåìûõ ÷èñåë, ìàëàÿçàãðóæåííîñòü ïàìÿòè ÝÂÌ. Áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ àëãîðèòìîâ ðåà-28ëèçàöèè ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë èìåþò âèäαn+1 = ψ(αn ),(10.3)ãäå íà÷àëüíîå ÷èñëî α0 çàäàíî. Îáëàñòüþ çíà÷åíèé ôóíêöèè ψ(x) äîëæåí ÿâëÿòüñÿ èíòåðâàë (0, 1).Îäíî èç ñîîáðàæåíèé î òîì, êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò âûáèðàòü ôóíêöèþ ψ(x) èç (10.3), ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.

Ïàðû òî÷åê(α1 , α2 = ψ(α1 )), (α3 , α4 = ψ(α3 )), (α5 , α6 = ψ(α5 )), . . .ñ îäíîé ñòîðîíû, äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ íà êðèâîé y = ψ(x), à ñ äðóãîé ýòè æå òî÷êè äîëæíû (ïî ñâîéñòâàì ¾íàñòîÿùèõ¿ ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë) áûòü ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû â êâàäðàòå Q2 = {(x, y) :0 < x < 1, 0 < y < 1}. Ïîýòîìó ãðàôèê ôóíêöèè ψ(x) äîëæåí äîñòàòî÷íî ïëîòíî çàïîëíÿòü êâàäðàò Q2 . Ïðèìåðîì òàêîé ôóíêöèè ψ(x) ìîæåòñëóæèòüψ(x) = {M x}(10.4)äëÿ áîëüøîãî ìíîæèòåëÿ M ; çäåñü {A} îáîçíà÷àåò äðîáíóþ ÷àñòü ÷èñëàA. Àëãîðèòì (10.3) ñ ôóíêöèåé (10.4) íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíûììåòîäîì âû÷åòîâ è ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç íàèáîëåå ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûõàëãîðèòìîâ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë.10.5. Ðàâíîìåðíîñòü è êîððåëÿöèÿ ñîñåäíèõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåòîäà âû÷åòîâ.

Îòìåòèì äâà ïîëåçíûõ ñâîéñòâàôóíêöèè (10.4).ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 10.4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà β = {M α} ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â èíòåðâàëå (0, 1) äëÿ ëþáîãî öåëîãî ïîëîæèòåëüíîãî÷èñëà M . êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè çàìå÷àíèÿ 10.1 ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâîñôîðìóëèðîâàííîãî óòâåðæäåíèÿ. Èññëåäóåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿF (x) = P(β < x). Ïî îïðåäåëåíèþ äðîáíîé ÷àñòè ÷èñëà è ñ ó÷åòîì òîãî,÷òî α ∈ (0, 1), èìååì β ∈ (0, 1), è ïîýòîìó F (x) = 0 ïðè x ≤ 0 è F (x) = 1ïðè x ≥ 1.

Åñëè x ∈ (0, 1), òî, èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 10.2, ïîëó÷àåì!M−1M−1XXk+xk≤α<=F (x) =P(k ≤ M α < k + x) =PMMk=0k=0=M−1 Xk=0k+xk−MM29=M−1Xk=0x= x.MÈç ôîðìóëû (10.1) ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà β ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â èíòåðâàëå (0, 1).Îäíèì èç ñóùåñòâåííûõ ñîìíåíèé, ñâÿçàííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìóëüòèïëèêàòèâíîãî ìåòîäà âû÷åòîâ (10.3), (10.4), ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {αn } çàâèñèìû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó âåñüìà âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 10.5 (ñì., íàïðèìåð, [1]). Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè!!!β (s) − Eβ (s)α − Eα(s)√pr(α, β ) = EDαDβ (s)ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí α èβ (s) = {M β (s−1) },β (0) = α; s = 1, 2, .