1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (Войтишек - Основы метода Монте-Карло), страница 10

Íàêîíåö,ïðåîáðàçîâàíèå ϕ2 (u) = sin u äàåò ïëîòíîñòü (13.29) è ìîäåëèðóþùóþôîðìóëó (13.30).Îòìåòèì, ÷òî ïîðÿäîê ïðåîáðàçîâàíèé ïðè ¾ñî÷èíåíèè¿ ïëîòíîñòèÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ê ïîðÿäêó çàìåí ïðè âûâîäå ýëåìåíòàðíîé ìîäåëèðóþùåé ôîðìóëû.  äàëüíåéøåì, åñëè ïëîòíîñòü êîíñòðóèðóåòñÿ ïîòåõíîëîãèè 13.1, ìû áóäåì ïðèâîäèòü òîëüêî âûâîä ìîäåëèðóþùèõ ôîðìóë, íå ôîðìóëèðóÿ äîñòàòî÷íî î÷åâèäíûõ ñîîáðàæåíèé î ¾ñî÷èíåíèè¿ïëîòíîñòè.ÏÐÈÌÅÐ 13.7 (3 áàëëà). Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ , èìåþùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) =3√, 0 < u < 3.(u + 3) 9 − u2Âûâåäåì ìîäåëèðóþùóþ ôîðìóëó äëÿ ξ . Ðåøàÿ óðàâíåíèå (13.8) äëÿçàäàííîé ïëîòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z ξ0Z ξ0 r3 du1 3+u6√= α0 ,×du = α0 ,22 3 − u (u + 3)2(u + 3) 9 − u00Z (3−ξ0 )/(3+ξ0 )3−udv1q√ = α0 ,d −= α0 , −3+u3−u2v102 3+us3 − ξ03 − ξ0−+ 1 = α0 ,= (α00 )2 , ãäå α00 = 1 − α0 ,3 + ξ03 + ξ0Zξ050è, íàêîíåö,ξ0 =3(1 − (α00 )2 ).1 + (α00 )2Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α0 = 0 äàåò α00 = 1 è ξ0 = 3(1 − 12 )/(1 + 12 ) = 0, àïðè α0 = 1 èìååì α00 = 0 è ξ0 = 3(1 − 02 )/(1 + 02 ) = 3.ÏÐÈÌÅÐ 13.8 (3 áàëëà).

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ , èìåþùóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) =8 sin u cos u, 0 < u < π/2.(sin u + 1)3Âûâåäåì ìîäåëèðóþùóþ ôîðìóëó äëÿ ξ . Ðåøàÿ óðàâíåíèå (13.8) äëÿçàäàííîé ïëîòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z0Z0sin ξ0ξ08 sin u cos u du= α0 ,(sin u + 1)3Z0ξ08 sin u d sin u= α0 ,(sin u + 1)3Z sin ξ0sin ξ08 d(v + 1)8 d(v + 1)((8v + 8) − 8) dv= α0 ,−= α0 ,2(v + 1)3(v+1)(v + 1)300 48−4+−+8= α0 , t2 − 2t − C = 0,(sin ξ0 + 1)2sin ξ0 + 1Zãäå t = 1/(sin ξ0 + 1) è C = (α0 − 4)/4. Äèñêðèìèíàíò ïîñëåäíåãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí D = 4 + α0 − 4 = α0 . Òîãäà ïîëó÷àåì√√2 ± α0∓ α012=èëè sin ξ0 =√ −1=√ .sin ξ0 + 122 ± α02 ± α0Çíàê ¾ìèíóñ¿ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè íå ãîäèòñÿ, òàê êàê èç óñëîâèéçàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî sin ξ0 íåîòðèöàòåëåí.

Ïîýòîìó √α0ξ0 = arcsin.√2 − α0√√0/(2 − 0)) = arcsin 0 = 0,Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α0 = 0 äàåò √ξ0 = arcsin(√à ïðè α0 = 1 èìååì ξ0 = arcsin( 1/(2 − 1)) = arcsin 1 = π/2.51ÐÅØÅÍÈÅ ÝÊÇÀÌÅÍÀÖÈÎÍÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÏÎ ÒÅÌžÌÅÒÎÄ ÎÁÐÀÒÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß¿Ýêçàìåíàöèîííûå çàäà÷è ïî òåìå ¾Ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ¿ ñêîíñòðóèðîâàíû ñîãëàñíî òåõíîëîãèè 13.1. Ïðè ðåøåíèèýòèõ çàäà÷ íóæíî íàéòè ôóíêöèþ ϕ(u), îïðåäåëÿþùóþ ñîîòâåòñòâóþùóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ, è ïðîäåëàòü âûêëàäêè âèäà (13.24).ÇÀÄÀ×À À1 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) = 3 sin 2u cos4 u, 0 < u <π.2ÐÅØÅÍÈÅ.

Ïðåîáðàçóÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå (13.8), ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåìZ ξ0Z ξ0ξ046 cos5 u sin u du = α0 , − cos6 u = α0 ,3 sin 2u cos u du = α0 ,000p6α00 , ãäå α00 = 1 − α0 .√Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α0 = 0 √äàåò α00 = 1 è ξ0 = arccos 6 1, à ïðè α0 = 1èìååì α00 = 1 è ξ0 = arccos 6 0 = π/2.ÇÀÄÀ×À À2 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿcos6 ξ0 = 1 − α0 è, íàêîíåö, ξ0 = arccosf (u) =5 ln4 5u,u1e<u< .55ÐÅØÅÍÈÅ. Ïðåîáðàçóÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå (13.8), ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåìZ ξ0Z 5ξ0ξ05 ln4 5u du= α0 ,= α0 ,5 ln4 w d(ln w) = α0 , ln5 5uu1/51/51ln 5ξ0 = α0 , è, íàêîíåö, ξ0 =5Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α0 = 0 äàåò ξ0 = e√5 ξ0 = e 1 5 = e/5.52√50e√5α05.5 = 1/5, à ïðè α0 = 1 èìååìÇÀÄÀ×À À3 (1.5 áàëëà).

Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) = √√4u3, 0 < u < 2.44u + 9ÐÅØÅÍÈÅ. Ïðåîáðàçóÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå (13.8), ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì√Z ξ0Z 44u3 du4u4 + 9 ξ01 4ξ0 +9 dw√√ = α0 ,= α0 , = α0 ,4 92w04u4 + 90rqq24 (2α0 + 3) − 944ξ0 + 9 = 2α0 + 3, è, íàêîíåö, ξ0 == 4 α02 + 3α0 .4√4Ïðîâåðêà13.1 ïðè α√0 = 0 äàåò ξ0 = 02 + 3 × 0 = 0, à ïðè α0 = 1 èìååì√ξ0 = 4 12 + 3 × 1 = 2.14.

Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ.Êîíñòðóèðîâàíèå äâóìåðíîãî ìîäåëèðóåìîãîâåêòîðà ñ çàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè14.1. Ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåê-òîðà. Èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [1]), ÷òî ïëîòíîñòü f (x) = f x(1) , . . . , x(d)ðàñïðåäåëåíèÿ d-ìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ = ξ (1) , . . .

, ξ (d) ìîæåòáûòü d! ñïîñîáàìè ðàçëîæåíà â ïðîèçâåäåíèå óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé:f (x) = fi1 x(i1 ) fi2 x(i2 ) x(i1 ) × .. × fid x(id ) x(i1 ) , x(i2 ) , .., x(id−1 ) ,(14.1)ãäå (i1 , . . . , id ) íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà íîìåðîâ (1, . . . , d) (òàêèõ ïåðåñòàíîâîê êàê ðàç d! øòóê),Z Zfi1 x(i1 ) = . . . f x(1) , . . . , x(d) dx(i2 ) . . . dx(id ) ,fi2 x(i2 ) x(i1 ) = fi2 x(i2 ) ξ (i1 ) = x(i1 ) =RR.

. . f x(1) , . . . , x(d) dx(i3 ) . . . dx(id ),=fi1 x(i1 )53R. . . f x(1) , . . . , x(d) dx(i4 ) . . . dx(id )fi3 xx ,x=,fi1 x(i1 ) fi2 x(i2 ) x(i1 )············ (i )R(1)(d)df x , .., xdx,fid−1 x(id−1 ) x(i1 ) , .., x(id−2 ) =(i)(i)d−21fi1 x..fid−2 xx(i1 ) , .., x(id−3 )f x(1) , .

. . , x(d)(id−1 )(id ) (i1 ).=x , .., xfid xfi1 x(i1 ) ..fid−1 x(id−1 ) x(i1 ) , .., x(id−2 )(i3 ) (i1 )(i2 )RÊàæäîìó ðàçëîæåíèþ (14.1) ñîîòâåòñòâóåò àëãîðèòì ðåàëèçàöèè(1)(d)âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ 0 =ξ0 , . . . , ξ0ñëó÷àéíîãî âåêòîðà(1)(d)ξ = ξ ,...,ξ.(i )ÀËÃÎÐÈÒÌ 14.1. 1. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 1 ñëó÷àéíîé(i1 )êîìïîíåíòû ξâåêòîðà ξ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fi1 (x).(i )2. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîåξ0 2 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ (i2 ) ñî çíà÷åíèå(i )ãëàñíî ïëîòíîñòè fi xξ 1 .20(i )3(i3 )3. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîåñî çíà÷åíèå ξ0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ(i)(i)12ãëàñíî ïëîòíîñòè fi3 x ξ0 , ξ0.············(i )d(id )d.

Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîåñî çíà÷åíèå ξ0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ(id−1 )(i1 )ãëàñíî ïëîòíîñòè fi x ξ , . . . , ξ.d0014.2. Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Îáîñíîâàíèå ôîðìóëû (14.1) è àëãî-ðèòìà 14.1 îñóùåñòâëÿåòñÿ èíäóêöèåé ïî ðàçìåðíîñòè d. Ïðè ýòîì èíäóêòèâíûé ïåðåõîä îñíîâàí íà ðàññìîòðåíèè äâóìåðíîãî âåêòîðà (ξ, η)(ñëó÷àéíûå êîìïîíåíòû ξ è η ìîãóò áûòü êàê ñêàëÿðíûìè, òàê è âåêòîðíûìè) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f (u, v), äëÿ êîòîðîé ñïðàâåäëèâûäâà ïðåäñòàâëåíèÿZf (u, v); (14.2)f (u, v) = fξ (u)fη (v|u); fξ (u) = f (u, v) dv, fη (v|u) =fξ (u)Zf (u, v)f (u, v) = fη (v)fξ (u|v); fη (v) = f (u, v) du, fξ (u|v) =. (14.3)fη (v)Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (14.2) àëãîðèòì 14.1 âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñíà÷àëà ðåàëèçóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè54fξ (u), à çàòåì ìîäåëèðóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå η0 ñîãëàñíî ïëîòíîñòèf (ξ0 , v)/fξ (ξ0 ).

Àíàëîãè÷íî äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (14.3) ñíà÷àëà ðåàëèçóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå η0 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fη (v), à çàòåì ìîäåëèðóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (u, η0 )/fη (η0 ).14.3. Òåõíîëîãèÿ ¾âçâåøåííîãî ïàðàìåòðà¿. Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ îñíîâíîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ âûáîð òîãî èçd! ðàçëîæåíèé (14.1), äëÿ êîòîðîãî âîçìîæíî ïîñòðîåíèå íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ïîñëåäîâàòåëüíîé ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé {ξij }. Óæå äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ ÷àñòî ìîæíî íàáëþäàòü ñëåäóþùóþ ñèòóàöèþ: îäíî èç ðàçëîæåíèé (14.2) èëè (14.3) ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ êîìïîíåíò ξ0 è η0 , àâòîðîå ðàçëîæåíèå íå äàåò òàêèõ àëãîðèòìîâ.

Ïðèìåðû òàêèõ ñèòóàöèéäàåò ñëåäóþùàÿÒÅÕÍÎËÎÃÈß 14.1. Ðàññìîòðèì ïëîòíîñòü ýëåìåíòàðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ fξ (u; λ), u ∈ (a, b), çàâèñÿùóþ îò ïàðàìåòðà λ, äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ïðèíàäëåæàò èíòåðâàëó (C, D). Ýëåìåíòàðíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå ïðîñòîé (ýëåìåíòàðíîé) ôîðìóëû ξ0 = ψξ (α1 ; λ) äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Ðàññìîòðèì òàêæå åùå îäíó ýëåìåíòàðíóþïëîòíîñòü fη (v) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η , ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëå v ∈ (c, d) ⊆ (C, D); ïðè ýòîì èìååòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿýëåìåíòàðíàÿ ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà η0 = ψη (α2 ). Òåïåðü ïîñòàâèìçàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõçíà÷åíèé (ξ0 , η0 ) äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η), ïðèíèìàþùåãîçíà÷åíèÿ â ïðÿìîóãîëüíèêå G = {(u, v) : a < u < b; c < v < d} èèìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u, v) = fη (v) × fξ (u; v), (u, v) ∈ G.(14.4)Ýòî ðåçóëüòàò ôîðìàëüíîãî óìíîæåíèÿ ïëîòíîñòåé fη (v) è fξ (u; v)(çäåñü ïðîèñõîäèò ïîäñòàíîâêà ïåðåìåííîé v âìåñòî ïàðàìåòðà λ). ïðåäñòàâëåíèè (14.3) äëÿ ïëîòíîñòè (14.4) èìååì fξ (u|v) = fξ (u; v).Äëÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëó÷àåì ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì 14.1:η0 = ψη (α1 ),ξ0 = ψξ (α2 ; η0 ).(14.5)Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (14.2) ïëîòíîñòè (14.4) ýôôåêòèâíûõ ôîðìóë òèïà (14.5) ïîñòðîèòü, êàê ïðàâèëî, íå óäàåòñÿ.5514.4.

Ïðèìåðû. Ïðèâåäåì ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ òåõíîëîãèè ¾âçâåøåííîãî ïàðàìåòðà¿.ÏÐÈÌÅÐ 14.1 (1 áàëë). Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûéàëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿf (u, v) =1 −uvve,2u > 0, 0 < v < 2.Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (14.3) äëÿ âåêòîðà (ξ, η): f (u, v) = fη (v)fξ (u|v);Zfη (v) =0+∞1f (u, v)1 −uvvedu = , 0 < v < 2; fξ (u|v) == ve−vu , u > 0.22fη (v)Ïëîòíîñòü fη (v) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàèíòåðâàëå (0, 2). Ó÷èòûâàÿ çàìå÷àíèå 13.3 è ôîðìóëó (13.16), äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ η0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàáëè÷íóþ ôîðìóëó η0 = 2α1 .

Ôóíêöèÿ fξ (u|η0 ) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì λ = η0(ñì. ôîðìóëó (13.11)) è, ñëåäîâàòåëüíî, ξ = −(ln α2 )/η0 (ñì. òàáëè÷íóþôîðìóëó (13.13)).Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (14.2) äëÿ âåêòîðà (ξ, η) : f (u, v) =fξ (u) fη (v|u). Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, èìååìZfξ (u) =021 − (2u + 1)e−2u1 −uvvedv =,22u2u > 0.Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ, è ïîýòîìó äëÿ ýòîãî ïðèìåðà ïðåäñòàâëåíèå (14.2) ÿâëÿåòñÿ çàâåäîìî õóäøèì (ñ òî÷êè çðåíèÿ ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà 14.1)ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäñòàâëåíèåì (14.2).ÏÐÈÌÅÐ 14.2 (2 áàëëà). Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûéàëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿf (u, v) =3 v sin v e−3uv1π, 0<u< , 0<v< .−v1−e32Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåãðàë ïî v îò ýòîé ôóíêöèè àíàëèòè÷åñêè íå âîçüìåòñÿ, ïîýòîìó ïðåäñòàâëåíèå (14.2) íå äàåò ïðîñòûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η).

Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (14.3).56Èìååì1/3Zfη (v) =03 v sin v e−3uv du= sin v ×1 − e−v−e−3vu1 − e−v 1/3= sin v0äëÿ 0 < v < π/2 èfξ (u|v) =f (u, v)13 v e−3uv, 0<u< .=−vfη (v)1−e3Âûâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ η0 ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z η0η0sin v dv = α10 , − cos v = α10 è, íàêîíåö, η0 = arccos α1 ,00çäåñü α1 = 1 − α10 . Äëÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ0 ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z ξ03 η0 e−3η0 u du= α2 , 1 − e−3η0 ξ0 = α2 (1 − e−η0 )1 − e−η00è, íàêîíåö, ξ0 = −ln(1 − α2 (1 − e−η0 )).3η0Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α1 = 0 äàåò α10 = 1 è η0 = arccos 1 = 0, à ïðèα1 = 1 èìååì α10 = 0 è η0 = arccos 0 = π/2. Ïðè α2 = 0 ïîëó÷àåì ξ0 = −(ln(1 − 0 × (1 − e−η0 )))/(3η0 ) = 0, à ïðè α2 = 1 èìååìξ0 = −(ln(1 − 1 × (1 − e−η0 )))/(3η0 ) = η0 /(3η0 ) = 1/3.14.5.

Î âûáîðå ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðèêëàäíûõçàäà÷àõ. Ñ ó÷åòîì óêàçàííûõ âûøå òðóäíîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ âûáîðîì¾ìîäåëèðóåìîãî¿ ðàçëîæåíèÿ (14.1), âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ êîíñòðóèðîâàíèåì âåðîÿòíîñòíûõ ïëîòíîñòåé, êîìïîíåíòû âåêòîðà ξ = ξ (1) , . . . , ξ (d) áåðóòñÿ íåçàâèñèìûìè, ïðè ýòîì ôóíêöèÿf x(1) , . . . , x(d) èìååò âèäf x(1) , . . . , x(d) = f1 (x(1) ) × f2 (x(2) ) × . . . × fd (x(d) ),(14.5)ò. å. óñëîâíûå ïëîòíîñòè â (14.1) ïðåâðàùàþòñÿ â ¾áåçóñëîâíûå¿, è ðàçíèöà â ïðåäñòàâëåíèÿõ âèäà (14.1) ñîñòîèò ëèøü â ïîðÿäêå ïåðåìíîæåíèÿ ïëîòíîñòåé {fi (x(i) )}.