1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (Войтишек - Основы метода Монте-Карло), страница 11

Ïðè ýòîì êàæäàÿ ñëó÷àéíàÿ êîìïîíåíòà ξ (i)57ìîäåëèðóåòñÿ ñîãëàñíî ñâîåé ïëîòíîñòè fi (x), ïðè÷åì ïîðÿäîê ìîäåëèðîâàíèÿ, â îòëè÷èå îò àëãîðèòìà 14.1, ïðîèçâîëåí.Çäåñü, îäíàêî, óìåñòíî íàïîìíèòü, ÷òî ¾óäîáñòâî¿ ìîäåëèðîâàíèÿäàëåêî íå âñåãäà îïðåäåëÿåò ýôôåêòèâíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (1.1) ñ îöåíêîé ζ = q(ξ). Ïðè îïòèìèçàöèè àëãîðèòìà òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü âåëè÷èíó òðóäîåìêîñòè S = t × Dζ(ñì. ôîðìóëó (3.2)), è âûáîð ïëîòíîñòè âèäà (14.5) âëèÿåò ëèøü íàóìåíüøåíèå âðåìåíè t, â òî âðåìÿ êàê äèñïåðñèÿ Dζ ìîæåò îêàçàòüñÿâåñüìà áîëüøîé (è äàæå áåñêîíå÷íîé).ÏÐÈÌÅÐ 14.3 (0.5 áàëëà).

Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ òðåõìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η, θ), èìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u, v, w) = 10e−2u−5v−w ,ÍàéäåìZ+∞Zfξ (u) =u > 0, v > 0, w > 0.+∞10e−2u−5v−w dv dw =00+∞ +∞ = (2e−2u ) −e−5v −e−w = 2e−2u ,0u > 0.0Äàëåå,R +∞fη (v|u) =0+∞ 10e−2u−5v−w dw−5v−w =(5e)−e= 5e−5v ,2e−2u0çäåñü v > 0. Íàêîíåö,fθ (w|u, v) =10e−2u−5v−w= e−w ,(2e−2u )(5e−5v )w > 0.Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ ïëîòíîñòü ïðåäñòàâèìà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ¾áåçóñëîâíûõ¿ ïëîòíîñòåéf (u, v, w) = (2e−2u ) × (5e−5v ) × (e−w ),u > 0, v > 0, w > 0.Êàæäàÿ èç ïëîòíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé (ñì. ïðèìåð 13.1) èäëÿ ïîëó÷åíèÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ (ξ0 , η0 , θ0 ) âåêòîðà (ξ, η, θ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü âàðèàöèè òàáëè÷íîé ôîðìóëû (13.13) (ñì.

çàìå÷àíèå13.3):ln α1ln α2ξ0 = −, η0 = −, θ0 = − ln α3 .2558Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè çàäà÷ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà (ñì., íàïðèìåð,[1], à òàêæå ðàçä. 69) ðàññìàòðèâàþòñÿ (êîíñòðóèðóþòñÿ)(m+1)(m + 1)-ìåðíûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû ξ̃= ξ (0) , ξ (1) , . . . , ξ (m) ñ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ âèäàf˜ x(0) , x(1) , .., x(m) = π(x(0) )p1 (x(1) |x(0) )p2 (x(2) |x(1) )..pm (x(m) |x(m−1) )(14.6)(ñì. ñîîòíîøåíèå (8.1)). Ïðåäñòàâëåíèå (14.6) îòðàæàåò òî îáñòîÿòåëü(m+1)ñòâî, ÷òî âåêòîð ξ̃îáëàäàåò ìàðêîâñêèì ñâîéñòâîì: â îäíîì èçïðåäñòàâëåíèé âèäà (14.1) (êîíêðåòíåå, äëÿ òîæäåñòâåííîé ïåðåñòàíîâêè (i0 , i1 , .

. . , im ) = (0, 1, . . . , m)) ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòûξ (j) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì x(j−1) ïðåäûäóùåé êîìïîíåíòû ξ (j−1) : fj xx(0) , . . . , x(j−1) ≡ pj xx(j−1) = pξ(j) xξ (j−1) = x(j−1) .Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ξ (0) , ξ (1) , .

. . , ξ (m) ïðåäñòàâëÿåò íà÷àëüíûé îòðåçîê äëèíû (m + 1) öåïè Ìàðêîâà ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x) èïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ pj (x0 , x) = pj (x|ξ (j−1) = x0 ).  ñëó÷àå, êîãäàïåðåõîäíûå ïëîòíîñòè pj (x0 , x) îäèíàêîâû äëÿ âñåõ j = 1, 2, . . ., öåïüÌàðêîâà ξ (0) , ξ (1) , ξ (2) , . . . ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå íà÷àëüíûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξ (0) , ξ (1) , . .

. , ξ (m) òðàåêòîðèè öåïè Ìàðêîâà ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó âàðèàíòó àëãîðèòìà 14.1(ñì. òàêæå ïîäðàçä. 8.2).(0)ÀËÃÎÐÈÒÌ 14.2. Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 ñëó÷àéíîéêîìïîíåíòû ξ (0) ñîãëàñíî íà÷àëüíîé ïëîòíîñòè π(x). Çàòåì ïîñëåäî(j)âàòåëüíî äëÿ j = 1, 2, . . . , m ðåàëèçóåì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ξ0 ñëó(j−1)÷àéíûõ êîìïîíåíò ξ (j) ñîãëàñíî ïåðåõîäíûì ïëîòíîñòÿì pj (ξ0, x).(j)Äëÿ îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà ðîçûãðûø êîìïîíåíò ξ0 â àëãîðèòìå 14.2 ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ j = 1, . .

. , m ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè p(x0 , x). Êðîìå òîãî, â ïðèëîæåíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ÷èñëî m ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì (öåïü¾îáðûâàåòñÿ¿), è â àëãîðèòìû òèïà 14.2 âêëþ÷àþòñÿ ñïåöèàëüíûå ïðèåìû äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ m äëÿ äàííîé òðàåêòîðèè(ñì. ïîäðàçä. 8.3).59ÐÅØÅÍÈÅ ÝÊÇÀÌÅÍÀÖÈÎÍÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÏÎ ÒÅÌžÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÑËÓ×ÀÉÍÎÃÎ ÂÅÊÒÎÐÀ¿Ýêçàìåíàöèîííûå çàäà÷è ïî òåìå ¾Ìîäåëèðîâàíèå äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà¿ ñêîíñòðóèðîâàíû ñîãëàñíî òåõíîëîãèè 14.1. Ïðè ðåøåíèè ýòèõ çàäà÷ íóæíî ïîíÿòü, ïî êàêîé èç ïåðåìåííûõ (u èëè v )ïëîòíîñòü f (u, v) äîïóñêàåò ïðîñòîå àíàëèòè÷åñêîå èíòåãðèðîâàíèå (èâ çàâèñèìîñòè îò ýòîãî âûáðàòü ìîäåëèðóåìîå ïðåäñòàâëåíèå (14.2) èëè(14.3)).

Ñëåäóåò òàêæå ó÷èòûâàòü, ÷òî â ìîäåëèðóåìîì ïðåäñòàâëåíèèîäíà èç ïëîòíîñòåé ÿâëÿåòñÿ òàáëè÷íîé (ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèéïàðàìåòðîâ λ, i, a, b) ñì. çàìå÷àíèå 13.3; çäåñü ìîæíî èñïîëüçîâàòüôîðìóëû (13.3), (13.5), (13.6), íå ïðåäñòàâëÿÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ (13.8) è ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè 13.1.ÇÀÄÀ×À Á1 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ñòàíäàðòíûé ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðåäâóìåðíîãî âåêòîðà (ξ, η), èìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u, v) =e−4uv,v4u > 0,v>1.2ÐÅØÅÍÈÅ.

Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ýòîé ôóíêöèè ïî ïåðåìåííîé v çàòðóäíåíî, è ïðåäñòàâëåíèå (14.2) íå äàåò ïðîñòûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η). Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (14.3). ÈìååìZ +∞ −4uv+∞edu111fη (v) == 5 × (−e−4vu )= 5, v > ,4v4v4v200fξ (u|v) =f (u, v)= 4ve−4vu ,fη (v)u > 0.Âûâåäåì ôîðìóëó ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ êîìïîíåíòû η . Ïðåîáðàçóÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå (13.8), ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z η011 η0dv1= α1 ,=α,−,14 = 1−α1 è, íàêîíåö, η0 =0 )1/454 1/24v16v16η2(α1/201çäåñü α10 = 1 − α1 . Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α1 = 0 äàåò α10 = 1 è η0 = 1/2, àïðè α1 = 1 èìååì α10 = 0 è η0 = +∞.Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êîìïîíåíòû ξ èñïîëüçóåì òàáëè÷íóþ ôîðìóëóòèïà (13.13) (ñì.

ïðèìåð 13.1 è çàìå÷àíèå 13.3): ξ0 = −(ln α2 )/(4η0 ).60ÇÀÄÀ×À Á2 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ñòàíäàðòíûé ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðåäâóìåðíîãî âåêòîðà (ξ, η), èìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ3f (u, v) = 3 u2 (u + 1) v u e−u ,u > 0, 0 < v < 1.ÐÅØÅÍÈÅ. Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåãðàë ïî u îò ýòîé ôóíêöèè àíàëèòè÷åñêè íå âîçüìåòñÿ, ïîýòîìó ïðåäñòàâëåíèå (14.3) íå äàåò ïðîñòûõàëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η).

Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (14.2). ÈìååìZ 11333fξ (u) =3 u2 (u + 1) v u e−u dv = 3 u2 e−u × (v u+1 ) = 3 u2 e−u00ïðè u > 0 èfη (v|u) =f (u, v)= (u + 1) v u , 0 < v < 1.fξ (u)Âûâåäåì ôîðìóëó ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ êîìïîíåíòû ξ . Ïðåîáðàçóÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå (13.8), ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z ξ0p33 ξ03 u2 e−u du = α1 , −e−u = α1 è, íàêîíåö, ξ0 = 3 − ln α10 ,00çäåñü α10 = 1 − α1 .

Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α1 = 0 äàåò α10 = 1 è ξ0 = 0, à ïðèα1 = 1 èìååì α10 = 0 è ξ0 = +∞.Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êîìïîíåíòû η èñïîëüçóåì òàáëè÷íóþ ôîðìóëó1/(ξ +1)òèïà (13.15) (ñì. ïðèìåð 13.2 è çàìå÷àíèå 13.3): η0 = α2 0 .ÇÀÄÀ×À Á3 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ñòàíäàðòíûé ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðåäâóìåðíîãî âåêòîðà (ξ, η), èìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u, v) = 4 uv−1 ln3 v, 0 < u < 1, 1 < v < e.ÐÅØÅÍÈÅ. Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåãðàë ïî v îò ýòîé ôóíêöèè àíàëèòè÷åñêè íå âîçüìåòñÿ, ïîýòîìó ïðåäñòàâëåíèå (14.2) íå äàåò ïðîñòûõàëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, η). Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëåíèå (14.3).

ÈìååìZ 114 ln3 v4 ln3 vfη (v) =4 uv−1 ln3 v du =× (v uv−1 ) =, 1 < v < e,vv0061fξ (u|v) =f (u, v)= v uv−1 , 0 < u < 1.fη (v)Âûâåäåì ôîðìóëó ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ êîìïîíåíòû η . Ïðåîáðàçóÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå (13.8), ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z1η0η0√4 ln3 v dv4= α1 , ln4 v = α1 , è, íàêîíåö, η0 = e α1 .v1Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α1 = 0 äàåò η0 = 1, à ïðè α1 = 1 èìååì η0 = e.Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êîìïîíåíòû ξ èñïîëüçóåì òàáëè÷íóþ ôîðìóëó1/ηòèïà (13.15) (ñì. ïðèìåð 13.2 è çàìå÷àíèå 13.3): ξ0 = α2 0 .15.

Ìåòîäû èíòåãðàëüíîé è äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèèÊîíñòðóèðîâàíèå ìîäåëèðóåìûõ ïëîòíîñòåé15.1. Ìåòîä ñóïåðïîçèöèè êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà.  ýòîì è ñëåäóþùåì ðàçëåëàõ èçó÷àþòñÿäâà ìåòîäà ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξ0 îäíîìåðíûõ è ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ , äëÿ êîòîðûõ íå óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå ñòàíäàðòíûå àëãîðèòìû 13.1 è 14.1.

Ýòî ìåòîäû ñóïåðïîçèöèè è èñêëþ÷åíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [1]), â êîòîðûõ ïðåäóñìàòðèâàåòñÿìîäåëèðîâàíèå äîïîëíèòåëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Îïèøåì ñíà÷àëà îáùóþ ñèòóàöèþ, â êîòîðîé ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ñóïåðïîçèöèè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü àëãîðèòì ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé k1 -ìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ , ïëîòíîñòüêîòîðîãî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îòìíîãîìåðíîãî ïàðàìåòðà u ∈ Rk1 :Zf (u) =p(u, v) dv,(15.1)R k2ïðè ýòîì:1) ôóíêöèÿ p(u, v) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ (k1 +k2 )-ìåðíîãî âåêòîðà(ξ, η);2) â ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå ïîëíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåéZf (u) =fη (v)fξ (u|v) dv(15.2)R k262(ñì. ñîîòíîøåíèÿ (14.2), (14.3)) äëÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ξ0 è η 0 ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ξ è η ñ ïëîòíîñòÿìè fη (v) è fξ (u|v) èìåþòñÿ ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû (ôîðìóëû) ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âèäàη 0 = ψη (ᾱ1 ), ξ 0 = ψξ (ᾱ2 ; v), ãäå ᾱi ñîîòâåòñòâóþùèå íàáîðû ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë.Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè.ÀËÃÎÐÈÒÌ 15.1.

Ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîãîâåêòîðà ξ0 , èìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âèäà (15.2), ñîãëàñíî àëãîðèòìó (ôîðìóëå) ξ0 = ψξ (ᾱ2 ; η 0 ), ãäå âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå η 0ñëó÷àéíîãî âåêòîðà η ìîäåëèðóåòñÿ ñîãëàñíî àëãîðèòìó (ôîðìóëå)η 0 = ψη (ᾱ1 ).Ó÷èòûâàÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (15.1), â êîòîðîì âñïîìîãàòåëüíûé âåêòîð η èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ fη (v), íàçîâåì àëãîðèòì 15.1 ìåòîäîì èíòåãðàëüíîé ñóïåðïîçèöèè (â îòëè÷èå îò ìåòîäà äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè, ðàññìîòðåííîãîäàëåå â ïîäðàçä.

15.3).ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 15.1. Ñèòóàöèþ, â êîòîðîé ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä èíòåãðàëüíîé ñóïåðïîçèöèè, ìîæíî òðàêòîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Íàì òðåáóåòñÿ ïîëó÷èòü âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå k1 -ìåðíîé êîìïîíåíòû ξ äëÿ (k1 + k2 )-ìåðíîãî âåêòîðà (ξ, η), ïðè÷åì ¾ìîäåëèðóåìûì¿ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå âèäà (14.3), à äëÿ ðàçëîæåíèÿ (14.2) íå óäàåòñÿ äàæå ïðåäñòàâèòü â ÿâíîì âèäå ïëîòíîñòü fξ (u) = f (u), ò. ê.èíòåãðàë (15.1) íå áåðåòñÿ àíàëèòè÷åñêè.15.2. Ïðèìåíåíèå òåõíîëîãèè ¾âçâåøåííîãî ïàðàìåòðà¿ äëÿïîñòðîåíèÿ ïðèìåðîâ ýôôåêòèâíîé ðåàëèçàöèè ìåòîäà èíòåãðàëüíîé ñóïåðïîçèöèè. Èç çàìå÷àíèÿ 15.1 ñëåäóåò, ÷òî âî âñÿêîìñëó÷àå äëÿ ðàçìåðíîñòåé k1 è k2 , ðàâíûõ åäèíèöå, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðîâ ýôôåêòèâíîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà èíòåãðàëüíîé ñóïåðïîçèöèèìîæíî èñïîëüçîâàòü òåõíîëîãèþ 14.1.ÏÐÈÌÅÐ 15.1 (2 áàëëà). Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿZf (u) = 2π/2v cos v cos uv dv, 0 < u < 1.0Ðàññìîòðèì äâóìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ, η) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ p(u, v) = 2v cos v cos uv, 0 < u < 1, 0 < v < π/2 è ïðåäñòàâëåíèå63(14.3) äëÿ ýòîé ïëîòíîñòè:Z 1π2v cos v cos uv du = sin 2v, 0 < v < ;fη (v) =202v cos v cos uvv cos uv=, 0 < u < 1.2 cos v sin vsin vÏîëó÷åííûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ïëîòíîñòÿìè ýëåìåíòàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.