1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (Войтишек - Основы метода Монте-Карло), страница 13

Ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 15.2 ïî àíàëîãèè ñ âûêëàäêàìè70(15.13) âû÷èñëÿåìZp1 =0π 2 /4√√ π2 /433 cos u du3 sin u √= ,=448 uZπ 2 /4p2 =001du=2π4è ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå f (u) = p1 f1 (u) + p2 f2 (u), ãäå√cos uπ24f1 (u) = √ , f2 (u) ≡ 2 , 0 < u <.π42 uÑ ó÷åòîì âûêëàäîê (15.13) âûâåäåì ìîäåëèðóþùóþ ôîðìóëó äëÿïëîòíîñòè f1 (u). Ïðåîáðàçóÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå (13.8), ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:√Z ξ0pcos u du√= α2 , sin ξ0 = α2 è, íàêîíåö, ξ0 = (arcsin α2 )2 .2 u0Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α2 = 0 äàåò ξ0 = (arcsin 0)2 = 0, à ïðè α2 = 1 èìååìξ0 = (arcsin 1)2 = (π/2)2 = π 2 /4.Ïëîòíîñòü f2 (u) ÿâëÿåòñÿ òàáëè÷íîé (ýòî ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà èíòåðâàëå (0, π 2 /4)) ñì.

çàìå÷àíèå 13.3 è ñîîòíîøåíèå (13.16);ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà: ξ0 = π 2 α2 /4.Àëãîðèòì ìåòîäà äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò âèä: åñëè α1 < 3/4,òî ξ0 = (arcsin α2 )2 ; èíà÷å ξ0 = π 2 α2 /4.ÇÀÄÀ×À Ã2 (1.5 áàëëà). Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ξ , èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) =u31u5++ , 0 < u < 2.32812ÐÅØÅÍÈÅ. Äàííàÿ ïëîòíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (13.8) âèäàZ0ξ0u31u5++32812du = α0 ,ξ0ξ0ξ0u6 u4 u + + = α0 ,192 32 12 07100(15.14)ïðèâîäÿò ê ñîîòíîøåíèþ ξ06 /192 + ξ04 /32 + ξ0 /12 = α0 , êîòîðîå íåðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ξ0 .

Ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 15.2 ïî àíàëîãèè ñ âûêëàäêàìè (15.14) âû÷èñëÿåì2Z 2 5Z 2 3Z 21u duu6 u du1du1p1 === , p3 == = , p2 =321923821260000è ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå f (u) = p1 f1 (u) + p2 f2 (u) + p3 f3 (u), ãäåf1 (u) =3u5,32f2 (u) =u3,4f3 (u) ≡1, 0 < u < 2.2Ñ ó÷åòîì âûêëàäîê (15.14) âûâåäåì ìîäåëèðóþùèå ôîðìóëû äëÿ ïëîòíîñòåé f1 (u) è f2 (u). Ïðåîáðàçóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ âèäà (13.8),ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z ξ0 5√3u duξ06= α2 ,= α0 è, íàêîíåö, ξ0 = 2 6 α;32640Z ξ0 3√u duξ04= α2 ,= α2 è, íàêîíåö, ξ0 = 2 4 α2 .4160Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α2 = 0 äàåò ξ0 = 0, à ïðè α2 = 1 èìååì ξ0 = 2.Ïëîòíîñòü f3 (u) ÿâëÿåòñÿ òàáëè÷íîé (ýòî ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà èíòåðâàëå (0, 2)) ñì. çàìå÷àíèå 13.3 è ñîîòíîøåíèå (13.16);ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà: ξ0 = 2α2 .Àëãîðèòì ìåòîäà äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò âèä: åñëè α1 < 1/3,√√òî ξ0 = 2 6 α2 ; åñëè 1/3 ≤ α1 < 1/3 + 1/2 = 5/6, òî ξ0 = 2 4 α2 ; à åñëèα1 ≥ 5/6, òî ξ0 = 2α2 .ÇÀÄÀ×À Ã3 (1.5 áàëëà).

Ñôîðìóëèðóéòå ìåòîä äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè è ïðîäåìîíñòðèðóéòå åãî íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ξ , èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿf (u) =sin ueu1π++ , 0<u< .424(eπ/2 − 1) πÐÅØÅÍÈÅ. Äàííàÿ ïëîòíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (13.8) âèäàZ ξ0 eu1sin u++du = α0 ,44(eπ/2 − 1) π072ξ0ξ0ξ0eu − 1 u − cos u + + = α04 π4(eπ/2 − 1) 00ïðèâîäÿò ê ñîîòíîøåíèþ(15.15)01 − cos ξ0ξ0eξ0 − 1++= α0 ,π/24π4(e− 1)êîòîðîå íåðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ξ0 . Ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 15.2 ïî àíàëîãèè ñ âûêëàäêàìè (15.15) âû÷èñëÿåìZ π/2Z π/2Z π/2eu dudu11sin u du1= , p2 == ,= , p3 =p1 =π/2 − 1)444π24(e000è ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå f (u) = p1 f1 (u) + p2 f2 (u) + p3 f3 (u), ãäåf1 (u) = sin u,f2 (u) =eu,eπ/2 − 1f3 (u) ≡π2, 0<u< .π2Ñ ó÷åòîì âûêëàäîê (15.15) âûâåäåì ìîäåëèðóþùèå ôîðìóëû äëÿ ïëîòíîñòåé f1 (u) è f2 (u).

Ïðåîáðàçóÿ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå (13.8), äëÿïåðâîé ïëîòíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:Z ξ0sin u du = α2 , 1 − cos ξ0 = α2 è, íàêîíåö, ξ0 = arccos α20 ,0ãäå= 1−α2 . Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α2 = 0 äàåò α20 = 1 è ξ0 = arccos 1 = 0,à ïðè α2 = 1 èìååì α20 = 1 è ξ0 = arccos 0 = π/2.Ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ âòîðîé ïëîòíîñòè èìåþò âèä:Z ξ0 ueξ − 1e du=α,= α2 è, íàêîíåö, ξ0 = ln(1 + (eπ/2 − 1)α2 );2eπ/2 − 1eπ/2 − 10(15.16)Ïðîâåðêà 13.1 ïðè α2 = 0 äàåò ξ0 = ln(1 + (eπ/2 − 1) × 0) = ln 1 = 0, àïðè α2 = 1 èìååì ξ0 = ln(1 + (eπ/2 − 1) × 1) = ln eπ/2 = π/2.Ïëîòíîñòü f3 (u) ÿâëÿåòñÿ òàáëè÷íîé (ýòî ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà èíòåðâàëå (0, π/2)) ñì.

çàìå÷àíèå 13.3 è ñîîòíîøåíèå (13.16);ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëèðóþùàÿ ôîðìóëà: ξ0 = πα2 /2.Àëãîðèòì ìåòîäà äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè äëÿ ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ0 ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò âèä: åñëè α1 < 1/4,òî ξ0 = arccos α2 ; åñëè 1/4 ≤ α1 < 1/2, òî ξ0 = ln(1 + (eπ/2 − 1)α2 ); àåñëè α1 ≥ 1/2, òî ξ0 = πα2 /2.α207316. Îáîñíîâàíèå ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.Êîíñòðóèðîâàíèå ïëîòíîñòåé ñëó÷àéíûõâåëè÷èí, ýôôåêòèâíî ìîäåëèðóåìûõìàæîðàíòíûì ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ16.1. Îáùàÿ êîíñòðóêöèÿ ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ.

 òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ òàê íàçûâàåìûå ìåòîäû èñêëþ÷åíèÿ (èíîãäà ïðèìåíÿþòñÿ òåðìèíû ìåòîäû îòáîðà è ìåòîäû îòêàçîâ, êîòîðûå òàêæå ñîîòâåòñòâóþò, õîòÿ è â ìåíüøåé ñòåïåíè,àíãëèéñêîìó òåðìèíó rejection technique) ñì., íàïðèìåð, [1].Ñóòü ýòèõ ìåòîäîâ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.

Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð(ñëó÷àéíàÿ òî÷êà) θ ðàñïðåäåëåí â íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X è äàíî ïîäìíîæåñòâî A ⊆ X .ÀËÃÎÐÈÒÌ 16.1. Ïðîâîäèòñÿ íåêîòîðîå ñòàòèñòè÷åñêîå èñïûòàíèå T è ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî T ñîñòîÿëîñü, åñëè ÷èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿθ 0 âåêòîðà θ ïðèíàäëåæèò A, è T íå ñîñòîÿëîñü, åñëè ζ 0 ∈/ A.Íàçîâåì òðóäîåìêîñòüþ s̃ àëãîðèòìà 16.1 ñðåäíèå çàòðàòû íà ïîñòðîåíèå âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé θ j âåêòîðà θ äî ðåàëèçàöèè T . Âåëè÷èíàs̃ ïðîïîðöèîíàëüíà ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ öåëî÷èñëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû β , èìåþùåé ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîìp = P(θ ∈ A):11.(16.1)s̃ ∼ s = Eβ = =pP(θ ∈ A)Î÷åâèäíî, ÷òî s ≥ 1. Îïòèìèçàöèÿ àëãîðèòìà 16.1 ñâÿçàíà ñ ïðèáëèæåíèåì âåëè÷èíû s ê åäèíèöå.16.2.

Ìàæîðàíòíûé ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ.  ïîäàâëÿþùåì ÷èñëåñëó÷àåâ àëãîðèòì 16.1 ïðèìåíÿåòñÿ â ñëåäóþùåé ñèòóàöèè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ÷èñëåííî ïîëó÷àòü âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ξ j ñëó÷àéíîãî âåêòîðà(ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû) ξ , ðàñïðåäåëåííîãî â îáëàñòè U ∈ Rd ñîãëàñíîïëîòíîñòè f (u), êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà çàäàííîé íåîòðèöàòåëüíîéôóíêöèè g(u), ò. å.Zg(u)f (u) =, Ḡ =g(u) du.(16.2)ḠUÏðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íè îäèí èç ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ìåòîäîâ íå äàåòýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà ðåàëèçàöèè çíà÷åíèé ξ j . Íàäåæäó íà ïîñòðîåíèå ìîäåëèðóþùåãî àëãîðèòìà äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñ ïëîòíîñòüþ(16.2) äàåò ñëåäóþùåå74ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 16.1.

Ïóñòü òî÷êà (ξ, η) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíàâ îáëàñòèG = {u ∈ U, 0 < v < g(u)},(16.3)ò. å. â ¾ïîäãðàôèêå¿ ôóíêöèè g(u); ïðè ýòîì ξ ∈ U è η ∈ (0, g(ξ)).Òîãäà ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ ðàñïðåäåëåí ñîãëàñíî ïëîòíîñòè (16.2).ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Òî, ÷òî (d + 1)-ìåðíàÿ òî÷êà (ξ, η) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â îáëàñòè G, îçíà÷àåò, ÷òî ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòüf(ξ ,η) (u, v) òîæäåñòâåííî ðàâíà 1/Ḡ ïðè (u, v) ∈ G è íóëþ èíà÷å.

Ñîãëàñíî ìíîãîìåðíîìó âàðèàíòó ôîðìóëû (14.2), èìååìZ +∞Z g(u)dvg(u)fξ (u) =f(ξ ,η) (u, v) dv === f (u).ḠḠ−∞0Óòâåðæäåíèå 16.1 äîêàçàíî.Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïîëó÷èòü âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå (ξ 0 , η0 ) òî÷êè(ξ, η), ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â G, òî çíà÷åíèå ξ 0 áóäåò ðàñïðåäåëåíî ñîãëàñíî ïëîòíîñòè (16.2).Âîçíèêàåò âîïðîñ: êàêèì îáðàçîì ìîæíî ðåàëèçîâàòü òî÷êó, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííóþ â ¾ïîäãðàôèêå¿ çàäàííîé ôóíêöèè? Îòâåò íàýòîò âîïðîñ äàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïî ñóòè îáðàòíûì ê óòâåðæäåíèþ 16.1.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 16.2. Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ (1) ðàñïðåäåëåíñîãëàñíî ïëîòíîñòèZg (1) (u)(1),Ḡ=g (1) (u) du,(16.3)f (1) (u) =Ḡ(1)U(1)à óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ξ(1) = ξ0 ñëó(1)÷àéíîé âåëè÷èíû η ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì íà èíòåðâàëå (0, g (1) (ξ0 )).Òîãäà ñëó÷àéíàÿ òî÷êà (ξ(1) , η) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â ¾ïîäãðàôèêå¿ G(1) = {u ∈ U, 0 < v < g (1) (u)} ôóíêöèè g (1) (u).ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.

Òî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η óñëîâíî ðàâ(1)íîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (0, g1 (ξ 0 )) îçíà÷àåò, ÷òî ïëîòíîñòüfη (v|u) = fη (v|ξ (1) = u) òîæäåñòâåííî ðàâíà 1/g (1) (u) ïðè v ∈ (0, g (1) (u))è íóëþ èíà÷å. Ñîãëàñíî ìíîãîìåðíîìó âàðèàíòó ôîðìóëû (14.2) äëÿξ = ξ (1) è η = η , èìååì, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè(ξ (1) , η) ðàâíàf(1)1 (u, v) = f (1) (u)fη (v|u) = g (u) × 1≡ (1) , (u, v) ∈ G(1) .ξ ,ηg (1) (u)Ḡ(1)Ḡ(1)75Óòâåðæäåíèå 16.2 äîêàçàíî.Åñëè â óòâåðæäåíèè 16.2 âûáðàòü ξ (1) = ξ , òî â ñîâîêóïíîñòè ñ óòâåðæäåíèåì 16.1 ïîëó÷àåì ëîãè÷åñêèé êðóã: íàì íóæíî ðàçûãðàòü âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå (ξ 0 , η0 ) ñëó÷àéíîé òî÷êè (ξ, η), ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â ¾ïîäãðàôèêå¿ G (è òîãäà êîìïîíåíòà ξ 0 èìååò òðåáóåìîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ (16.2)), íî äëÿ ýòîãî íóæíî ðåàëèçîâàòü âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ 0 âåêòîðà ξ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè (16.2).