1626435387-cbed9341b165fae9f16c4a05686b9115 (Войтишек - Основы метода Монте-Карло), страница 4

Ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë, êàê èíòåãðàëáåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè7.1. Ïåðåõîä ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ. Ïðèâåäåííàÿ âïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñêà÷êîîáðàçíûé, îáðûâàþùèéñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà îäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ èëè öåïü Ìàðêîâà (ñì., íàïðèìåð, [2], à òàêæå ðàçä. 8)ξ (0) , ξ (1) , . . . , ξ (N ) ; çäåñü N ñëó÷àéíûé íîìåð îáðûâà òðàåêòîðèè (â çàäà÷å ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ êàæäîå èç ýòèõ ñîñòîÿíèé ýòî øåñòèìåðíûéâåêòîð ξ = (r̂, ω̂), ïåðâûå òðè êîìïîíåíòû êîòîðîãî îïèñûâàþò òî÷êóñòîëêíîâåíèÿ ¾ôîòîíà¿ ñ ÷àñòèöåé âåùåñòâà, à ñëåäóþùèå òðè íàïðàâëåíèå ïðèëåòà ¾ôîòîíà¿ â ýòó òî÷êó). Îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâàîïðåäåëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ (ïåðâîãî ñòîëêíîâåíèÿ) f (x) (äëÿ çàäà÷è ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ýòà ôóíêöèÿâûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïëîòíîñòü g (0) (x), x = (r, ω) è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà (6.2)) è ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé k(x0 , x) (êîòîðàÿ,â ñâîþ î÷åðåäü, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ p(a) (x0 ), èíäèêàòðèñó ðàññåÿíèÿ g(x0 , x) è ôóíêöèþ (6.2)).

Åñëè p(a) (x0 ) ≥ δ > 0, òîñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîZk(x0 , x) dx = q(x0 ) ≤ 1 − δ < 1(7.1)(âåëè÷èíà q(x0 ) èìååò ñìûñë âåðîÿòíîñòè íåîáðûâà òðàåêòîðèè â çàäàííîé òî÷êå x0 ), âñëåäñòâèå êîòîðîãî öåïü îáðûâàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà (è äàæå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå EN êîíå÷íî ñì., íàïðèìåð,[1]).

Îáîáùåííàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèé, íåïîñðåäñòâåííîñëåäóþùèõ çà íà÷àëüíûì, âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîìZϕ1 (x) = f (x0 )k(x0 , x) dx0 = [Kf ](x);(7.2)ýòî àíàëîã ôîðìóëû ïîëíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé (ñì., íàïðèìåð, [1],à òàêæå ôîðìóëó (14.2)).  ïîñëåäíåì ñîîòíîøåíèè K èíòåãðàëüíûéîïåðàòîð ñ ÿäðîì k(x0 , x) (ñì., íàïðèìåð, [7]). Ïóñòü ϕm (x) ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèé íîìåðà m. Ïî àíàëîãèè ñ ñîîòíîøåíèåì (7.2)èìååìZϕm (x) = ϕm−1 (x0 )k(x0 , x) dx0 = [Kϕm−1 ](x).19 ÷àñòíîñòè,Z Zϕ2 (x) = [Kϕ1 ](x) =f (y (0) )k(y (0) , y (1) )k(y (1) , x) dy (0) dy (1) = [K 2 f ](x).(7.3)Ñëåäîâàòåëüíî, îáîáùåííàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ôàçîâûõ ñîñòîÿíèé öåïè∞Xϕ(x) =ϕm (x),m=0ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä Íåéìàíà (ñì., íàïðèìåð, [7])ϕ(x) =∞X[K m f ](x).(7.4)m=0Íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà(ñì., íàïðèìåð, [7])Zϕ(x) = k(x0 , x)ϕ(x0 ) dx0 + f (x) èëè ϕ = Kϕ + f.(7.5)Ýòî óðàâíåíèåîáû÷íî ðàññìàòðèâàþò â ïðîñòðàíñòâå L1 (Rl ) ñ íîðìîéRkgkL1 = |g(x)| dx (ïðè÷èíà íàëè÷èå îñîáåííîñòåé ó ñâîáîäíîãî ÷ëåíà f (x) è ÿäðà k(x0 , x) äëÿ áîëüøèíñòâà àêòóàëüíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷;â ÷àñòíîñòè, â ÿäðî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïðîöåññ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ, âõîäèò äåëüòà-ôóíêöèÿ ïî íàïðàâëåíèþ ñì., íàïðèìåð, [1]).Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7.5) îáåñïå÷èâàåò óñëîâèå (7.1), ïðè âûïîëíåíèè êîòîðîãî èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð Kÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì.7.2.

Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà.Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îöåíêè ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâZIh = (ϕ, h) =ϕ(x)h(x) dx; h ∈ L∞ (Rl ).(7.6)Çäåñü L∞ (Rl ) ïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ (ïî÷òè âåçäå) ôóíêöèé ñíîðìîé khkL∞ = vrai supx∈Rl |h(x)|.  ÷àñòíîñòè, â ðàññìîòðåííîé âïðåäûäóùåì ðàçäåëå çàäà÷å èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà P = (ϕ, h),h(x) = p(a) (r)χG (r), ãäå χG (r) èíäèêàòîð ìíîæåñòâà G.20 ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (7.4), èñêîìûé ôóíêöèîíàë ïðåäñòàâèì â âèäåIh =∞X(K m f, h),(7.7)m=0ãäå, ïî àíàëîãèè ñ ðàâåíñòâîì (7.3),Z(K m f, h) = f (y (0) )k(y (0) , y (1) ) × .. × k(y (m−1) , y (m) )h(y (m) ) dy (0) ..dy (m) .(7.8)Òàêèì îáðàçîì, ïðàâàÿ ÷àñòü ñîîòíîøåíèÿ (7.7) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéñóììó èíòåãðàëîâ áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè. Ñõîäèìîñòü ðÿäà (7.7) ñëåäóåò èç óñëîâèÿ (7.1).8.

Îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà, îáðûâàþùàÿñÿñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, è åå ìîäåëèðîâàíèå8.1. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà âûáîðêè ïî âàæíîñòè. Ñòàíäàðòíûé ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî (2.2) íå ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü èíòåãðàëû áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè èç-çà íåîáõîäèìîñòè ìîäåëèðîâàíèÿâåêòîðà ξ áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè. Îäíàêî ñïåöèàëüíûé âèä ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé èç ñîîòíîøåíèé (7.7), (7.8), â êîòîðûõ ïðè ïåðåõîäåîò íîìåðà m ê íîìåðó m + 1 ïðîèñõîäèò óìíîæåíèå íà ôóíêöèþ äâóõïåðåìåííûõ k(y (m) , y (m+1) ) (è ìåíÿåòñÿ àðãóìåíò ôóíêöèè h(y (m+1) )),è ìåòîä âûáîðêè ïî âàæíîñòè (êîòîðûé ïîäðàçóìåâàåò âûáîð ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ , áëèçêîé ê ìîäóëþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ñì.

ðàçä. 4) íàâîäÿò íà ìûñëü îá èñïîëüçîâàíèè(m+1)ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ ξ̃= ξ (0) , ξ (1) , . . . , ξ (m) âèäàf˜ y (0) , y (1) , . . . , y (m) = π(y (0) )r(y (0) , y (1) ) × . . . × r(y (m−1) , y (m) ), (8.1)ãäå r(x0 , x) = r(x|x0 ) íåêîòîðàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü. Ïðè ýòîì(K m f, h) = Eζ (m) ; ζ (m) = Q̃(m) h(ξ (m) ),ãäåQ̃(0) =f (ξ (0) )k(ξ (i−1) , ξ (i) )(i)(i−1),Q̃=Q̃×; i = 1, . . . , m.π(ξ (0) )r(ξ (i−1) , ξ (i) )21(8.2)Ôóíêöèÿ (8.1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îòðåçêàξ (0) , ξ (1) , . .

. , ξ (m)îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà ξ (0) , ξ (1) , ξ (2) , . . .ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x) è ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ r(x0 , x)(ñì., íàïðèìåð, [2]). Íàïîìíèì, ÷òî ¾êëàññè÷åñêàÿ¿ öåïü Ìàðêîâà ýòîáåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ), äëÿ êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèå ñîñòîÿíèÿ ξ (m) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ïðåäûäóùåãî ñîñòîÿíèÿ ξ (m−1) (îäíîðîäíîñòü îçíà÷àåò,÷òî âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïåðåõîäà ξ (m−1) → ξ (m) îäíè è òåæå äëÿ âñåõ m = 1, 2, . .

.). Ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü r(x0 , x) = r(x|x0 ) =r(x|ξ (m−1) = x0 ) ýòî óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñëåäóþùåãî (m-ãî) ñîñòîÿíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì ïðåäûäóùåì (äëÿ îäíîðîäíîéöåïè ýòà ôóíêöèÿ íå çàâèñèò îò m).8.2. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå îòðåçêà öåïè Ìàðêîâà. Ìîäåëèðîâàíèå m-ãî ñîñòîÿíèÿ îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà ïðîèñõîäèò ñëåäó(0)þùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà ðåàëèçóåòñÿ âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ξ0 ñëó÷àé(0)íîé âåëè÷èíû ξ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè π(x), à çàòåì ïîñëåäîâàòåëüíî ðå(i)(i−1)àëèçóþòñÿ çíà÷åíèÿ ξ0 ; i = 1, . . . , m ñîãëàñíî ïëîòíîñòÿì r(ξ0, x) =(i−1)(i−1)r(x|ξ= ξ0) (ñì., íàïðèìåð, [1], à òàêæå àëãîðèòì 14.2).8.3. Ââåäåíèå îáðûâà öåïè.

 ñâÿçè ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïðèáëèæåíèÿ áåñêîíå÷íîé ñóììû (7.7) â ìåòîäàõ Ìîíòå-Êàðëî ââîäèòñÿ öåïüÌàðêîâà, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ýòî äåëàåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ¾ôèçè÷åñêèìè¿ ñîîáðàæåíèÿìè èç òåîðèè ïåðåíîñà ÷àñòèö (ñì.,íàïðèìåð, [1], à òàêæå ðàçä. 6). Îïðåäåëÿåòñÿ ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿp(x0 , x) = r(x0 , x)(1 − p(x0 )),(8.3)ãäå çíà÷åíèå 0 ≤ p(x0 ) ≤ 1 èãðàåò ðîëü âåðîÿòíîñòè îáðûâà òðàåêòîðèè. Ìîäèôèêàöèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ïîñëå ðåàëè(0)(i−1)(i)çàöèè íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ξ0 ïðè ðåàëèçàöèè ïåðåõîäà ξ0→ ξ0(i−1)ñîãëàñíî âåðîÿòíîñòè p(ξ0) ðàçûãðûâàåòñÿ îáðûâ òðàåêòîðèè. Åñëè îáðûâ ïðîèñõîäèò, òî äàëüíåéøèå ïåðåõîäû íå ìîäåëèðóþòñÿ, èíà÷å(i)ïðîèñõîäèò ðåàëèçàöèÿ âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ξ0 ñîãëàñíî ïëîòíîñòè(i−1)r(ξ0, x).Åñëè ïîòðåáîâàòü p(x0 ) ≥ δ > 0, òîZp(x0 , x) dx = 1 − p(x0 ) ≤ 1 − δ < 1(8.4)(ýòî àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ (7.1)) è EN < +∞, ãäå N ñëó÷àéíûé íîìåð îáðûâà òðàåêòîðèè.

Íåñìîòðÿ íà ñîîòíîøåíèå (8.4), ôóíêöèþ (8.3)22÷àñòî íàçûâàþò ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà, îáðûâàþùåéñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.9. Îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì äëÿ âû÷èñëåíèÿëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà îò ðåøåíèÿèíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà.Ïðÿìîå ìîäåëèðîâàíèå. Ëîêàëüíûå îöåíêè9.1. Îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì è åå íåñìåùåííîñòü. Ñïðàâåä-ëèâî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå (ñì., íàïðèìåð, [1]):Ih = (ϕ, h) = Eζ,ζ=NXQ(m) h(ξ (m) ).(9.1)m=0Çäåñü Ih ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë (7.6) îò ðåøåíèÿ ϕ(x) èíòåãðàëüíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà (7.5); ξ (0) , ξ (1) , .

. . , ξ (N ) îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþπ(x) è ïåðåõîäíîé ôóíêöèåé (ïëîòíîñòüþ) p(x0 , x); N ñëó÷àéíûé íîìåð îáðûâà öåïè. Ñëó÷àéíûå âåñà Q(m) îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî ïîàíàëîãèè ñ ñîîòíîøåíèåì (8.2):Q(0) =k(ξ (m−1) , ξ (m) )f (ξ (0) ); Q(m) = Q(m−1) ×.(0)π(ξ )p(ξ (m−1) , ξ (m) )Äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (9.1) äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿñîîòíîøåíèé (8.4) èπ(x) 6= 0 ïðè f (x) 6= 0 è p(x0 , x) 6= 0 ïðè k(x0 , x) 6= 0.(9.2)Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ íàçûâàåòñÿ âåñîâîé îöåíêîé ïî ñòîëêíîâåíèÿìôóíêöèîíàëà Ih .9.2. Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèîíàëà Ih . Ðàâåíñòâî (9.1)äàåò ñëåäóþùèé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèîíàëà (7.6).ÀËÃÎÐÈÒÌ 9.1. Ðåàëèçóåì n òðàåêòîðèé(0)(1)(Nj )ξj , ξ j , . .

. , ξj; j = 1, . . . , nöåïè Ìàðêîâà ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x) è ïåðåõîäíîé ôóíêöèåép(x0 , x) è âû÷èñëÿåì ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âèäà (1.1):NjXζ1 + . . . + ζn(m)(m)Ih ≈ Zn =, ãäå ζj =Qj h(ξj ).nm=023Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ïðèáëèæåíèÿ áåñêîíå÷íûõ ñóìì (7.7) èíòåãðàëîâ áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè (7.8).9.3. Èñïîëüçîâàíèå îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì. Äëÿ öåëîãî ðÿäà àêòóàëüíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ìîæíî ïðåäñòàâèòü èñêîìóþ âåëè÷èíó â âèäå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà (7.6) îò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà (7.5) (ñì., íàïðèìåð, [1]).

Äëÿ îöåíêè ýòîãîôóíêöèîíàëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì 9.1.Äîñòàòî÷íî ÷àñòî ñâîáîäíûé ÷ëåí f (x) óðàâíåíèÿ (7.5) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íà÷àëüíóþ ïëîòíîñòü, à ÿäðî k(x0 , x) ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ (ïëîòíîñòü) öåïè Ìàðêîâà, îáðûâàþùåéñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ðåàëèçîâàòü ïðÿìîå ìîäåëèðîâàíèå öåïèÌàðêîâà ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x)h = f (x) è ïåðåõîäíîéôóíêöèiPN00(m)åé p(x , x) = k(x , x), è òîãäà Ih = E) .

Îäíàêî íåðåäm=0 h(ξêî ôóíêöèè f (x) è k(x0 , x), èìåþùèå óêàçàííûé âûøå âåðîÿòíîñòíûéñìûñë, ÿâëÿþòñÿ âåñüìà ñëîæíûìè, è ìîäåëèðîâàíèå ñîîòâåòñòâóþùåéöåïè Ìàðêîâà çàòðóäíåíî. Òîãäà ìîæíî ìîäåëèðîâàòü äðóãóþ, âñïîìîãàòåëüíóþ öåïü Ìàðêîâà ñ ïðîñòûìè ïëîòíîñòüþ ïåðåõîäà p(x0 , x)è íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x), äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíû óñëîâèÿ (9.2),è ñòðîèòü âåñîâóþ îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì (9.1). Ïîñëåäíþþ âîçìîæíîñòü ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èâàåò íàëè÷èå îñîáåííîñòåé â ôóíêöèÿõ f (x)è k(x0 , x) äëÿ áîëüøèíñòâà àêòóàëüíûõ ïðèëîæåíèé, ÷òî âûíóæäàåò èñïîëüçîâàòü ïðèåì, îïèñàííûé â ïîäðàçä.