1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (Кузнецов, Шапиро 2011 - Методы математической физики ч1), страница 6

Решение ψ(x, t) нельзя продолжить с кривойγ, если определитель системы (3.1, 3.2) равен нулю, т. е. когда нельзя найти производные. Значит, уравнением характеристик служит условие равенства нулю определителясистемы (матрица системы выписана в (3.3) слева от черты): A dxB Edt Edx = 0 ⇒ A dt − B = 0.Здесь мы воспользовались формулой для определителя блочной матрицы:A B C D = |AD − CB| ,справедливой для квадратных матриц A, B, C, D при условии перестановочности матриц A и C.Равенство можно еще более упростить в случае невырожденных матриц A, есливвести матрицу C = A−1 B. В этом случаеλE − C = 0,λ=dx.dt(3.4)Таким образом, характеристики определяются из решения задачи на собственные значения для матрицы C.

В зависимости от матрицы C системы классифицируются потипам, как показано в табл. 3.1.Рассмотрим три простых примера.Пример 3.1 . Для уравнений линейной акустики (1.8) в случае одномерных колебаний∂ρ1∂u+ ρ0= 0,∂t∂x∂u c20 ∂ρ1+=0∂tρ0 ∂x(3.5)3.2. Канонический вид гиперболической системы29матрица A является единичной, а матрица B равна0ρ0B=.c20 /ρ0 0Собственные значения B равны λ1,2 = ±c0 , т. е. уравнения линейной акустики относятся к гиперболическому типу, к которому также принадлежит и само волновоеуравнение (1.9), следующее из (3.5) (об этом см.

лекцию 5).Пример 3.2 . В качестве второго примера рассмотрим уравнения (условия) Коши —Римана для действительной u и мнимой v частей аналитической функции:∂v∂u=,∂x∂y∂v∂u=−= 0.∂x∂yДля этой системы матрица A является также единичной, а собственные значения Bчисто мнимые: λ1,2 = ±i. Таким образом, эта система относится к эллиптическомувиду. Соответственно следующие из условий Коши — Римана двумерные уравненияЛапласа для u и v,∆u = 0, ∆v = 0,являются эллиптическими уравнениями второго порядка.Пример 3.3 . Системаux = vt ,vx = u0 −1имеет совпадающие собственные значения λ1,2 = 0, но не0 0приводится к диагональному виду.

Матрица C представляет собой жорданову клетку,а значит система имеет параболический тип. Действительно, если искать функцииu, v как частные производные потенциала Φ: u = Φt , v = Φx , то первое уравнениевыполнится автоматически, а из второго получится Φt = Φxx , т.

е. уравнение теплопроводности.с матрицей C =Замечание 3.1 . Если вместо дифференциальных операторов в главную дифференциальную часть системы (3.1) подставить параметры ∂/∂t → τ, ∂/∂x → ξ, то вместосистемы можно исследовать определитель Q(τ, ξ) = |Aτ + Bξ| . В случае m = 2 уравнений функция Q(τ, ξ) является квадратичной формой. Названия типов произошли отназваний кривых — линий уровня данной квадратичной формы. Если форма положительно определена и сводится к сумме квадратов Q = τ̃ 2 + ξ˜2 , то тип эллиптический.Если одна из переменных исключается после преобразования, а Q = ξ˜2, то тип параболический.

Если же форма сводится к разности квадратов Q = τ̃ 2 − ξ˜2 , то системагиперболическая.3.2.Канонический вид гиперболической системыПродолжим общую теорию систем уравнений первого порядка, предполагая нижематрицу C симметричной и зависящей только от x и t. Симметричность матрицы C303. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙгарантирует гиперболичность системыψt + Cψx = f,(3.6)где f (x, t) — новый столбец правых частей, получившийся из b после умножения системы (3.1) слева на матрицу A−1 . Приведем C к диагональному виду:λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . .

0 C = T ΛT −1, Λ =  .... . ...  ,.. . .0 0 . . . λmгде T – матрица поворота, составленная из нормированных собственных векторовматрицы C.Перейдем далее к новой неизвестной вектор-функции ψ = T φ. Уравнение дляновой функции φ получается из уравнения (3.6) после дифференцирования T φ по t иx и умножения слева на T −1 . В результате уравнение приводится к так называемомуканоническому виду:φt + Λφx = f˜.(3.7)Здесь новая правая часть получается из старой посредством соотношения f˜ = T −1 f −T −1 Tt φ − T −1 CTx φ, которое зависит линейно от φ.Левая часть уравнений (3.7) в каноническом базисе имеет диагональный вид:∂φi∂φi+ λi= f˜i .∂t∂x(Здесь нет суммирования по i!) Левая часть i-го уравнения содержит только однунеизвестную функцию φi .

Только правая часть f˜i может содержать φj , j 6= i. Можетслучиться, что уравнения станут однородными с f˜i = 0, тогда для каждой компоненты φi получается автономное уравнение, решение которого может быть найдено спомощью стандартного метода характеристик, рассмотренного в предыдущей лекции.3.3.Формула ДаламбераПрименим теперь эту общую теорию к одномерному однородному волновому уравнениюwtt − wxx = 0,(3.8)которое, как мы видели из примера (3.1 ), можно свести к системе линейных уравнений. Если обозначить wt ≡ u, wx ≡ v, то первое уравнение получается из волнового, авторое из равенства перекрестных производных:ut − vx = 0,vt − ux = 0.3.4.

Инварианты Римана310 −1Матрица C = −1приводится к диагональному виду с помощью матрицы по01 10ворота T = ( 1 −1 ): Λ = ( −10 1 ), откуда канонический вид системы будет αt − αx =0, βt + βx = 0, где α = (u + v)/2, β = (u − v)/2. Каноническая система распалась надва волновых уравнения первого порядка (2.1 ). В соответствии с этим общее решениеволнового уравнения дается суммой решения в виде двух волн,(3.9)w(x, t) = f (x − t) + g(x + t),распространяющихся со скоростью ±1 вправо и влево. Это общее решение. Как иположено для уравнения второго порядка, его общее решение содержит две произвольные функции. Переменных в уравнении две, поэтому каждая функция зависитот одной переменной.Для постановки задачи Коши для одномерного волнового уравнения (3.8), какуравнения второго порядка, необходимо задать два начальных условия на функциюw и ее производную:w(x, 0) = q(x), wt (x, 0) = h(x).(3.10)Подставляя начальное условие в общее решение (3.9), получаем два уравнения на f, g:f (x) + g(x) = q(x),−f ′ (x) + g ′(x) = h(x).Если первое уравнение продифференцировать, то система функциональных уравнений решается просто: g ′ = 21 (q ′ + h), f ′ = 12 (q ′ − h).

Отсюда решение задачи Кошизаписывается в виде11w(x, t) = [q(x − t) + q(x + t)] +22Zx+th(x′ ) dx′.(3.11)x−tЭто так называемая формула Даламбера.Для систем линейных уравнений общего вида характеристики неявляются прямыми, в общем случае это кривые, заданные на плоскости x, t.

Если выбрать какую-нибудь точку O, то проходящие черезнее характеристики будут ограничивать на плоскости две области.-xПри t > 0 характеристики ограничивают область влияния точки O,т. е. те точки, в которых сказываются условия, заданные в точке O.OПри t < 0 характеристики ограничивают область зависимости, т. е.множество точек, от которых зависит решение в точке O.t63.4.Инварианты РиманаНа характеристике, где определитель (3.4) обращается в(3.3) разрешима при условии совпадения рангов матрицыматрицы системыABAB rank= rankEdt EdxEdt Edx нуль, система уравненийсистемы и расширеннойbdψ.(3.12)323.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙНапомним, что рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля ее минора. В данном случае ранг расширенной матрицы должен быть меньше 2m,поскольку определитель (3.4) обращается в нуль, т. е. все миноры порядка 2m расширенной матрицы должны быть равны нулю. Полученная таким образом системадифференциальных уравнений называется соотношением на характеристиках . Само название подсказывает, что dx/dt надо подставлять из уравнения характеристик(3.4). Иногда эти соотношения удается проинтегрировать. Полученные интегралы называются инвариантами Римана.Рассмотрим уравнения гидродинамики (1.5), (1.6) для изэнтропических течений,когда давление можно считать функцией плотности: p = p(ρ).

Эти уравнения представляют собой систему квазилинейных уравнений для плотности и трех компонентскорости v. В одномерной геометрии, когда скорость имеет одну компоненту u =u(x, t), эти уравнения имеют вид:ρt + uρx + ρux = 0, ut +c2ρx + uux = 0,ρ(3.13)где c2 = ∂p/∂ρ – квадрат скорости звука.Для этой системы вектор-функция ψ имеет две компоненты: ψ = (ρ, u)⊺ , матрицаA единичная, аu ρB = c2 /ρ u .Собственные значения матрицы B легко находятся, они равны λ1,2 = u ± c(ρ). Для дозвуковых течений (|u| < c) мы имеем два семейства характеристик с положительными отрицательным наклоном.Чтобы получить соотношение на характеристиках, надо вычеркнуть в расширенной матрице один из столбцов, например третий, и вычислить: определитель 1 0ρ0u 2 0 1 c /ρdρu 0 −ρ dt== 0, dt 0 dx0 dρ dx − u dt duẋ=u±c 0 dt 0dx du откудаρ du = ±c dρ.При нахождении этих соотношений мы снова воспользовались формулой для определителя блочной матрицы.Проинтегрируем эти соотношения, в результате мы придем к двум инвариантамРимана:Zc(ρ) dρJ± = u ±.(3.14)ρК этим же соотношениям можно прийти, если умножить первое уравнение системы(3.13) на c/ρ и сложить со вторым или вычесть из второго: возникает система уравнений на инварианты Римана J± :∂J+∂J++ (u + c)= 0,∂t∂x∂J−∂J−+ (u − c)= 0.∂t∂x(3.15)3.4.

Инварианты Римана33Впечатление о том, что два отдельных уравнения, обманчиво. Чтобы полностью перейти к новым переменным, надо выразить u, c(ρ) через инварианты J± . Например,u = (J+ + J− )/2. Для баротропного уравнения состояния p ∼ ργ скорость звука c(ρ)выражается через разность инвариантов J± . Таким образом, уравнения в переменныхJ± являются связанными.У этой системы существует одно, весьма важное с физической точки зрения, решение — так называемая простая волна Римана. Пусть при t = 0 какой-либо из инвариантов, скажем J− , не зависит от координаты. В силу второго уравнения движения(3.15) J− будет постоянной величиной при t > 0, т. е. dJ− = 0.