1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (Кузнецов, Шапиро 2011 - Методы математической физики ч1)

Е. А. Кузнецов, Д. А. ШапироМЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИЧасть IНовосибирск, 2011МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра теоретической физикиЕ. А. Кузнецов, Д. А.ШапироМЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИЧасть Iкурс лекцийНовосибирск2011УДКББКККузнецов Е.А., Шапиро Д.А. Методы математической физики: курс лекций// Новосибирский государственный университет, 2011. Ч.I. 131 стр.Представлен курс лекций по математическим методам физики для студентов 3-гокурса физического факультетов НГУ. Авторы читают лекции по данному курсу с 1985года.

Курс охватывает следующие разделы: уравнения в частных производных первого порядка, системы линейных уравнений, линейные уравнения второго порядка,автомодельные решения и бегущие волны, разделение переменных в ортогональныхкоординатах и метод Фурье, специальные функции: полиномы Лежандра, Эрмита иЛагерра, функции Бесселя и Неймана, гипергеометрические функции Гаусса и Куммера, методы перевала и усреднения. В приложение вынесены основные формулы поспециальным функциям.Рецензентчлен-корр.

РАН И. Б. ХрипловичИздание подготовлено в рамках реализации Программы развития государственногообразовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018 годы.ISBNc Новосибирский государственныйуниверситет, 2011c Кузнецов Е. А., Шапиро Д. А.,2011Оглавление1. Уравнения в частных производных1.1. Основные понятия .

. . . . . . . . . .1.2. Примеры из физики . . . . . . . . . .Колебания струны . . . . . . . . . . .Гидродинамика идеальной жидкостиУравнения Максвелла . . . . . . . . .Уравнение Шредингера . . . . . . . .Уравнение теплопроводности . . . . .1.3. Методы решения . . . . . . . . . . . .1.4. Рекомендуемая литература . . . . . ..........667781010111213........151515171920222425.....2727293031334. Метод годографа4.1. Преобразование годографа . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Потенциал χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Политропный газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353536372. Уравнения первого порядка2.1.

Линейные уравнения . . . . . .Однородное уравнение . . . . .Задача Коши . . . . . . . . . . .Неоднородное уравнение . . . .2.2. Квазилинейные уравнения . . .Уравнение Хопфа . . . . . . . .2.3. Нелинейные уравнения . . . . .Уравнение Гамильтона — Якоби.............................................................................................................3. Системы линейных уравнений3.1.

Характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Канонический вид гиперболической системы .3.3. Формула Даламбера . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Инварианты Римана . . . . . . . . . . . . . . .Дополнение: Неоднородное волновое уравнение . .3....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................4ОГЛАВЛЕНИЕ5. Канонический вид уравнений 2-го порядка5.1.

Случай двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Случай многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3939426. Автомодельность и бегущие волны6.1. Понятие автомодельности . . . .

. . . . .6.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . .Линейное уравнение теплопроводности .Нелинейное уравнение теплопроводностиУравнение Бюргерса . . . . . . . . . . . .Уравнение Кортевега — де Вриза . . . .......464647495152537. Разделение переменных7.1. Полное разделение переменных . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .7.2. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5555598. Разделение переменных в цилиндрических координатах8.1. Задача о круглой мембране . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2. Функции Бесселя . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .Разложение в ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Рекуррентное соотношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интегральные представления и производящие функции . .Соотношение ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . .......636365656666699. Разделение переменных в сферических координатах9.1. Частица в центральном поле . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .9.2. Угловое уравнение. Функции Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Радиальное уравнение. Сферические функции Бесселя . . . . . . . . . .7171727610.Аналитическая теория дифференциальных10.1. Канонический вид . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Разложение вблизи обыкновенной точки . .10.3.

Разложение вблизи особой точки . . . . . .10.4. Критерий Фукса . . . . . . . . . . . . . . . .10.5. Уравнения класса Фукса . . . . . . . . . . .............................................................уравнений. . . . . . . ..

. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .11.Гипергеометрические функции11.1. Функция Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2. Вырожденная гипергеометрическая функция . . . . . .11.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Полиномы Лагерра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции параболического цилиндра. Полиномы Эрмита.............................................................................................................................787879818384........................................................8686878888888990ОГЛАВЛЕНИЕ5Дополнение: Свойства полиномов Лагерра . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .9112.Асимптотические методы12.1. Асимптотическое разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2. Метод Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3. Метод стационарной фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .9393949713.Метод перевала13.1. Седловая точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2. Топологический и аналитический этапы . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .10010010110314.Метод усреднения10914.1. Усредненное уравнение. Преобразование Боголюбова — Крылова . . . . 11014.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Приложение: Сводка формул по специальным функциям1. Гамма-функция Эйлера . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Гипергеометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функция Гаусса 2 F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функция Куммера 1 F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .3. Цилиндрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции Бесселя Jν и Неймана Yν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции Бесселя целого порядка Jn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Модифицированная функция Бесселя Iν и функция Макдональда Kν(1)(2)Функции Ганкеля Hm , Hm . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Ортогональные полиномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Полиномы Лежандра Pl и присоединенные функции Лежандра Plm .Сферические гармоники Ylm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .Полиномы Эрмита Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Полиномы Лагерра Lνn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............118118118118119119119121121122123123124124125Список литературы127Предметный указатель131Лекция 1.Уравнения в частных производных1.1.Основные понятияОпределение 1.1 . Уравнением в частных производных называется уравнение∂u ∂ 2 u ∂ 2 u∂mu∂u= 0,(1.1)F x; u;,...,;,, .

. . , k1∂x1∂xn ∂x21 ∂x1 ∂x2∂x1 . . . ∂xknnгде F — произвольная функция многих переменных, которую мы будем полагать гладкой, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) — действительный вектор из n-мерного евклидова пространства Rn , u = u(x) — неизвестная функция1 , k1 + k2 + · · · + kn = m.Мы не будем обсуждать степень гладкости функции F , полагая ее дифференцируемой столько раз, сколько нам потребуется. Порядком уравнения называется порядокm старшей производной, входящей в (1.1).Если функция F является линейной относительно u и ее производных, то такоеуравнение называется линейным.

Линейное уравнение можно записать в виде(1.2)L̂u = b(x),гдеL̂ = a0 (x) +nXi=1ai1 (x)∂+∂xi kXak21 k2 ... kn (x) k1∂x11 .k2 ,...,kn >0k1 +k2 +···=2+Xakm1 k2 ... kn (x)k1 .k2 ,...,kn >0k1 +k2 +···=m∂2+ .... . . ∂xknn∂m−∂xk11 . . . ∂xknnлинейный оператор. Если b 6= 0, то решение уравнения (1.2) может быть записано спомощью обратного оператора L̂−1 :u = u0 + L̂−1 b,1В примерах для координат мы будем использовать обозначения x, y, z вместо x1 , x2 , x3 .61.2. Примеры из физики7где u0 подчиняется линейному однородному уравнению L̂u0 = 0. Решение однородногоуравнения в силу линейности оператора, L̂(u1 + u2 ) = L̂u1 + L̂u2 , представимо в видесуммы решений. Поскольку оператор L̂ является дифференциальным, то обратный кнему оператор L̂−1 уже является интегральным.В большинстве стандартных курсов по уравнениям математической физики обычно ограничиваются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.

Вданном курсе помимо линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков мы рассмотрим также нелинейные дифференциальные уравнения: уравнениеГамильтона — Якоби, уравнение Бюргерса, уравнение Кортевега — де Вриза (КДВ) идр.Общим решением называется решение, зависящее от произвольной функции. Здесьпроявляется отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых общее решение зависит от произвольных постоянных.