1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (Кузнецов, Шапиро 2011 - Методы математической физики ч1), страница 9

Оно представляет собойповерхность α(t, x, y) = const. Геометрически можно понять, как устроена данная поверхность. Компоненты вектора градиента (τ, ξ, η) = (αt , αx , αy ) удовлетворяют уравнению конусаτ 2 − ξ 2 − η 2 = 0.Градиент α(t, x, y) ортогонален поверхности α(t, x, y) = const. Значит и характеристическая поверхность будет конусом. Этот конус ограничивает верхней полостью область влияния вершины. Нижняя полость окружает область зависимости.Сечение светового конуса плоскостью t = const пересекаетtхарактеристику (поверхность конуса) по окружности, которая является волновым фронтом. Проекция нормали на ту жеплоскость есть луч, указывающий направление распространения возмущения.

В любом вертикальном сечении конуса плоскостью, проходящей через ось t, характеристики — это параoyпрямых, как и в случае одной пространственной переменной.(τ,ξ,η)Замечание 5.4 . Для квазилинейных систем характеристики (вмногомерном случае — характеристические поверхности) могут быть введены как лучи (или лучевые поверхности), вдолькоторых распространяются малые возмущения высокой частоты ω и малой длины волны λ. Высокая частота и малая длина волны означают ωT ≫ 1и λ/L ≪ 1, где соответственно T и L есть характерные время и масштаб измененияx5.2.

Случай многих переменных45основного решения. В оптике выполнение критериев ωT ≫ 1 и λ/L ≪ 1 соответствуетгеометрической оптике, а для уравнений гидродинамики (1.5, 1.6, 1.7) — геометрической акустике. Как известно, в квантовой механике эти критерии соответствуютквазиклассическому приближению.В качестве иллюстрации рассмотрим линеаризованную систему уравнений гидродинамики, которая эквивалентна уравнению акустики (1.9) - волновому уравнению,записанному для возмущения плотности ρ1 . Представим возмущение плотности в видеρ1 = exp(iS), где S — медленная фаза относительно своих аргументовpt и r.

Последнее,в частности, означает, что частота ω = St велика по сравнению с |Stt |. Аналогичный критерий предполагается выполненным для производных по пространственнымпеременным. Подставляя далее ρ1 = exp(iS) в (1.9), получим1−St2 + iStt − i △ S − (∇S)2 = 0.2cВторые производные малы в силу выполнения критериев. Пренебрегая ими, мы получим уравнение эйконала: 21 ∂S− (∇S)2 = 0.2c∂tЭто уравнение есть не что иное, как уравнение характеристик для волнового уравнения. Итак, характеристики в многомерном случае — это поверхности постояннойфазы (эйконала).Лекция 6.Автомодельность и бегущие волны6.1.Понятие автомодельностиОпределение 6.1 .

Автомодельность — это симметрия задачи, позволяющая скомпенсировать масштабные преобразования независимых переменных соответствующимрастяжением решения.При n = 2 (время t и координата x) автомодельность означает выбор новых масштабов для координаты l(t) и решения u(t), таких, что в новых переменных решениеявляется функцией одной переменной ξ:u(x, t) = A(t)f (ξ),ξ=x.l(t)(6.1)Когда такое преобразование удается найти, задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. При n ≥ 3 переход к автомодельным переменным ξ = x/l(t)понижает порядок дифференциального уравнения, по крайней мере, на единицу.

Часто преобразование проще всего найти с помощью анализа размерности физическихвеличин, входящих в уравнение. Иногда удобнее прямо анализировать преобразованиярастяжения неизвестных функций и независимых переменных и искать, какую группу преобразований допускает уравнение, т. е. какие растяжения оставляют уравнениянеизменными. Важным частным случаем автомодельных решений является решениетипа бегущей волны u(x, t) = A(t)g(x − V t), где g — функция одной переменной, а V —скорость данной волны. Легко видеть, что в этом случае замена exp(x − V t) = x̃/t̃переводит решение типа бегущей волны в (6.1). Если A(t) = const, то такое решениеописывает стационарную волну, которая распространяется с постоянной скоростьюV без искажения своего профиля. Подробности теории автомодельных решений, особенно хорошо развитой в механике сплошных сред, физике плазмы и астрофизике,можно найти в литературе, посвященной методам размерности и подобия [8,19,20,50].466.2.

Примеры6.2.47ПримерыРассмотрим четыре примера автомодельных решений. Первые два примера относятся к линейному и нелинейному уравнениям теплопроводности. В первой лекциимы привели вывод уравнения теплопроводности. Нелинейное уравнение теплопроводности отличается от линейного тем, что коэффициент теплопроводности зависит оттемпературы. Что касается двух других примеров — уравнения Кортевега — де Вриза(КДВ) и уравнения Бюргерса, то мы дадим их упрощенный вывод.Обратимся к простой волне Римана. Как было показано в третьей лекции, решение в виде простой волны Римана получается из уравнений гидродинамики, когдаодин из инвариантов Римана является константой.

В результате между скоростью uи скоростью звука c имеется функциональная зависимость c = c(u). В этом случаеуравнение (3.15) для инварианта J+ , равного 2u, приводится к одному (квазилинейному) уравнению:ut + (u + c(u))ux = 0.Для малых скоростей u ≪ c0 ≡ c(0) это уравнение в главном порядкеu t + c0 u x = 0описывает распространение звуковой волны со скоростью c0 вправо: u = u(x − c0 t).В следующем порядке это уравнение приобретает видut + c0 ux + (1 + c′ (0))uux = 0.Если перейти в систему координат, движущуюся со скоростью c0 ,t′ = t, x′ = x − c0 t,то это уравнение превращается в уравнение Хопфа (2.15):ut + (1 + c′ (0))uux = 0(здесь штрихи у t′ и x′ опущены).

Для уравнения Хопфа, как мы показали ранее,любое начальное локализованное распределение в результате эволюции опрокидывается, т. е. существует такой момент времени t = t∗ , когда на профиле скорости uвозникает бесконечная производная по x. Однако в реальных физических системахвозникновение бесконечных производных не происходит. Существуют два механизма, которые останавливают опрокидывание. Один из них диссипативный, связанныйс вязкостью и теплопроводностью. Этот механизм приводит к тому, что линейныезвуковые волны испытывают слабое затухание. Выражается это в том, что частота звуковых колебаний ω в зависимости от волнового числа k приобретает мнимуюдобавку, квадратичную относительно k:ω = kc0 − iµk 2 ,486.

АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ И БЕГУЩИЕ ВОЛНЫгде µ есть обобщенный коэффициент вязкости (в дальнейшем мы его будем простоназывать коэффициентом вязкости). Данному закону дисперсии отвечает линейноеуравнениеut + c0 ux = µuxx ,в котором главным членом является второе слагаемое c0 ux , описывающее движениезвуковой волны со скоростью c0 . На фоне этого быстрого распространения член вправой части µuxx описывает более медленный процесс затухания звуковой волны.Медленным в этом случае является также процесс опрокидывания. Таким образом,при одновременном учете эффектов слабого затухания и слабой нелинейности уравнение движения записывается в видеut + c0 ux + (1 + c′ (0))uux = µuxx.Переходя в движущуюся со скоростью c0 систему координат, это уравнение приобретает вид уравнения Бюргерса:ut + uux = µuxx ,(6.2)где новое u равно старому u, умноженному на (1 + c′ (0)).Другой механизм, препятствующий опрокидыванию волны, связан с эффектомволновой дисперсии – зависимостью фазовой скорости V линейных звуковых волн отволнового числа k:V (k) = ω/k,где V (k) — аналитическая функция k, разложение которой в отсутствие диссипациипри k → 0 происходит по четным степеням k.

Это разложение при малых k записывается в видеV (k) = c0 − βk 2 .Одновременный учет слабой нелинейности и слабой дисперсии (βk 2 ≪ c0 ) приводитк уравнению Кортевега — де Вриза (КДВ):ut + 6uux + uxxx = 0.(6.3)Как и уравнение Бюргерса (6.2), это уравнение записано в системе координат, двигающейся со скоростью c0 . В этом уравнении коэффициент 6 выбран исходя из удобства,он получается после простого масштабирования.Это уравнение было выведено в конце XIX в.

Кортевегом и де Вризом для описаниядлинных гравитационных волн на поверхностижидкости малой глубины h (прибли√жение мелкой воды). В этом случае c0 = gh, где g — ускорение свободного падения,β = h2 /6 (более подробно об уравнении КДВ см., например, [23]).6.2. Примеры49Линейное уравнение теплопроводностиРассмотрим одномерное уравнение теплопроводности, которое задано на всей осиx (x ∈ (−∞, ∞)), с точечным начальным условием:ut = Duxx ,u(x, 0) = δ(x).(6.4)Далее удобно исключить коэффициент теплопроводности путем замены t → Dt. В результате уравнение записывается в видеut = uxx .Анализ размерностей выполним при преобразовании растяжения:t −→ µt,x −→ λx,u −→ νu.(6.5)Чтобы уравнение было инвариантным относительно такого преобразования, необходимо выполнение соотношения µ = λ2 . Начальное условие сохранит свой вид, когдаν = λ−1 (размерность δ-функции равна обратной размерности ее аргумента).