1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (Кузнецов, Шапиро 2011 - Методы математической физики ч1), страница 4

По этой причине данноеуравнение также называют волновым уравнением.Общий интеграл уравнений характеристикx0 = x − ct, τ = tможно (и нужно!) понимать как замену переменных от x, t к x0 , τ . В результате такойзамены переменных частные производные по x, t выражаются через производные по2.1. Линейные уравнения17332.52.5221.51.5110.50.5(a)0(b)000.511.522.5300.511.522.53Рис. 2.1.

Поле направлений (a) и интегральные кривые (b) для примера 2.2x0 , τ с помощью формул∂∂∂∂∂=−c,=.∂t∂τ∂x0 ∂x∂x0Подставляя эти формулы в уравнение ut + cux = 0, получим уравнение∂u= 0,∂τсовпадающее с уравнением на характеристике (2.4). Здесь стоит частная производнаяпри постоянном значении x0 . Каждое значение x0 задает свою характеристику. Можносказать, что x0 «нумерует» каждую характеристику.Пример 2.2 . Вектор a = (sin x, cos y) уравнения sin x · ux + cos y · uy = 0 задаетвекторное поле в плоскости (x, y) ∈ R2 , показанное на рис. 2.1, a. Уравнения характеристик ẋ = sin x, ẏ = cos y можно проинтегрировать. Однако удобнее сразунайти не зависящий от параметра первый интеграл, разделив для этого одно уравнение на другое. В результате разделения переменных и интегрирования найдем:F (x, y) = tg (x/2)[1 −tg (y/2)]/[1 + tg (y/2)]. Тогда общее решение дается произвольнойфункцией g одной переменной u(x, y) = g(F ), которая постоянна вдоль характеристик — интегральных кривых (рис.

2.1, b).Задача КошиЧтобы из общего решения выбрать частное, надо добавить к уравнению (2.1) начальное условие, которое задается на начальной гиперповерхности S:u|S = f (x).(2.5)Гиперповерхность — это многообразие, размерность которого на единицу меньше, чему всего пространства (dim S = n − 1). Мы будем вместо гиперповерхности говорить182. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКАпросто «поверхность». Уравнение (2.1) вместе с начальным условием (2.5) составляютзадачу Коши.Если в общее решение (2.3) подставить начальное условие (2.5), получится функциональное уравнение, которое дает частное решение. Очень трудно, а в общем случаеи невозможно сформулировать условие, при котором это функциональное уравнениеглобально разрешимо во всем пространстве.

Однако если ограничиться локальнойзадачей, т. е. о продолжении решения в малую окрестность некоторой точки x0 начальной гиперповерхности, то в этом случае можно сформулировать сравнительнопростое правило.Определение 2.2 . Говорят, что кривая трансверсальна поверхности, если она пересекает поверхность под ненулевым углом.Теорема 2.1 . Решение задачи Коши (2.1), (2.5) в окрестности точки x0 ∈ S существует и единственно, если проходящая через точку x0 характеристика трансверсальна поверхности S.За доказательством теоремы мы отсылаем к математической литературе, например, книге [2].

Идея доказательства состоит в том, чтобы рассматривать не одну характеристику, аabS все семейство характеристик. Пусть характеристика в точкеx0x0 касается начальной поверхности S. Тогда соседняя характеристика пересекает S в двух точках a и b. Значит возникаетконфликт между значением, заданным в точке b, и другим значением, которое приносит характеристика из точки a. Такойконфликт делает задачу, вообще говоря, неразрешимой.Для эволюционных уравнений∂u+ (v(x, t) · ∇)u = 0,∂t(2.6)где v(x, t) — заданная n-мерная вектор-функция, зависящая от n компонент вектораx и времени t; естественной постановкой задачи Коши является задание u = u0 (x)при t = 0. Уравнение (2.6) может быть получено из (2.1), если какой-либо компонент вектора a, скажем a1 , отличен от нуля в области, где ищется решение.

Тогда,поделив уравнение (2.1) на a1 , мы приходим к уравнению (2.6), если координату x1отождествить t.Для (2.1) уравнения характеристик записываются в видеdx= v(x, t), при x|t=0 = x0 .dt(2.7)Решение этого уравнения при известной функции v(x, t) задает отображение x =x(x0 , t) — замену переменных, в результате применения которой к уравнению (2.6)последнее записывается в виде∂u = 0.∂t x02.1. Линейные уравнения19При этом вектор x0 задает каждую характеристику (2.6). Очевидно, что n компонент вектора x0 являются теми самыми интегралами Fl (l = 1, ..., n) для уравненийхарактеристик (2.7).Следует отметить, что для данной задачи Коши уравнения (2.6) условие трансверсальности выполнено, если при t = 0 вектор «скорости» v ни в одной точке x необращается в нуль.В гидродинамике переменные x и t называют эйлеровыми, а x0 и t – лагражевыми переменными.

При эйлеровом описании все гидродинамические характеристики(плотность, скорость, энтропия) в заданный момент времени t являются функциямикоординат x. При лагранжевом описании следят за (лагражевым) движением каждойжидкой частицы, нумеруемой своим маркером x0 , в результате чего находится отображение x = x(x0 , t), зная которое можно определить все гидродинамические характеристики течения. При переходе от лагранжевого описания к эйлеровому временнаяпроизводная удлиняется:∂d=+ (v(x, t) · ∇).dt∂tЗдесь производная d/dt берется при фиксированном x0 . Эту производную часто называют материальной производной.Упражнение 2.1 . Решить уравнение примера 2.2 с начальным условием u(π/2, y) = y.Почему не удается решить задачу Коши u(0, y) = y?Неоднородное уравнениеНеоднородное уравнение∂u= b(x)(2.8)∂xотличается от однородного (2.1) функцией b(x) в правой части.

Уравнение характеристик (2.2),ẋ = a(x),a(x)дополняется уравнением на характеристике для функции u:(2.9)u̇ = b(x).Теперь это система n + 1 обыкновенных уравнений в n + 1-мерном расширенномпространстве. К координатам x1 , x2 , . . . , xn добавилась координата u. Если мы решим систему (2.2), то решение x(τ ) можно подставить в уравнение (2.9) и проинтегрироватьвдоль характеристики. Появится еще одна константа интегрированияRu(τ ) = b(x(τ )) dτ +const.

Если эту последнюю константу записать как произвольнуюфункцию первых интегралов Fi , а параметр τ выразить через переменные x, то получится общее решение уравнения (2.8) в виде суммы общего решения (2.3) однородногоуравнения и частного решения неоднородного уравнения:Z τu(x) = g(F1, .

. . , Fn−1 ) +b(x(τ ′ )) dτ ′ .τ0202. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКАПример 2.3 . Чтобы решить неоднородное уравнение1ux − yuy = y,xвыпишем уравнения характеристик ẋ = x−1 , ẏ = −y, u̇ = y. Решение системы трехуравнений содержит 3 произвольные константы C, C1 , C2 :x2= τ + C1 ,2y = C2 e−τ ,u = −C2 e−τ + C.Не зависящий от τ первый интеграл есть F = y exp(x2 /2) = const, тогда общее решениедается произвольной функциональной связью константы C и интеграла F : 2 u(x, y) = −y + g yex /2 .Упражнение 2.2 . Нарисуйте характеристики уравнения из примера 2.3 и решитезадачу Коши u(0, y) = y 2. Что мешает поставить задачу Коши при y = 0?Решение неоднородного уравнения не равно константе вдоль характеристики, нонеобходимость трансверсальности характеристики к начальной гиперповерхности дляразрешимости задачи Коши остается в силе.

Иногда этим требованием пользуются вкачестве определения характеристики. Можно называть характеристикой кривую, накоторой нельзя поставить задачу Коши. Другими словами, решение, заданное вдольхарактеристики, нельзя продолжить даже в малую окрестность начальной точки. Такое определение, как будет показано ниже, годится не только для уравнений первогопорядка, но и в общем случае.Другое важное и общее свойство характеристики — инвариантность относительнопреобразований пространства Rn .

После такого преобразования уравнение первого порядка примет вид a(∂y/∂x)uy = b, тогда уравнение характеристик будет ẏ = a(∂y/∂x).С другой стороны, можно преобразовать к новым переменным само уравнение характеристики: (∂x/∂y)ẏ = a. Уравнения получатся одинаковыми, если преобразованиеневырожденное, т. е. его якобиан J = det (∂yi /∂xj ) не обращается в нуль или бесконечность.2.2.Квазилинейные уравненияКвазилинейное уравнениеa(x, u)∂u= b(x, u)∂x(2.10)отличается от линейного неоднородного тем, что его коэффициенты могут зависеть отu. Термин “квазилинейное” означает, что уравнение по виду похоже на линейное, хотяи является нелинейным (линейная комбинация решений не удовлетворяет уравнению).2.2.

Квазилинейные уравнения21Уравнение характеристик (2.2),ẋ = a(x),дополняется уравнением на характеристике для функции u:u̇ = b(x).(2.11)Для квазилинейного уравнения (2.10) уравнения характеристики и уравнение нахарактеристике имеют тот же вид, что и для линейных неоднородных уравнений:ẋ = a(x, u),u̇ = b(x, u).(2.12)Отличие от (2.9) состоит в том, что теперь u выступает в качестве новой независимой и надо рассматривать всю систему уравнений в расширенном пространстве (x,u).Важно, что система n + 1 уравнений (2.12) остается автономной и по этой причинеимеет n первых интегралов, не зависящих от параметра τ :F1 (x, u) = const, . .

. , Fn (x, u) = const.Каждый интеграл задает одно условие, а значит при фиксированном значении константы определяет поверхность в пространстве Rn+1 . Общее решение уравнения (2.10)дается произвольной функцией n переменных:G(F1 (x, u), . . . , Fn (x, u)) = 0.(2.13)Как правило, решение квазилинейного уравнения получается в неявном виде, т. е.последнее соотношение не удается разрешить относительно u.Покажем теперь, что (2.13) действительно является решением квазилинейногоуравнения (2.10). Для этого продифференцируем (2.13) по xi и найдем∂G ∂Fk ∂Fk ∂u+= 0,(2.14)∂Fk ∂xi∂u ∂xiгде по повторяющемуся индексу здесь и далее подразумевается суммирование, в данном случае от k = 1 до k = n.

Из (2.14) мы найдем частные производные uxi иподставим их в уравнение (2.10). Представив числитель в виде разности ẋi ∂Fk /∂xi =dFk /dτ − u̇∂Fk /∂u, получим:dFk∂Fk∂u∂u∂G dτ − b ∂ua= ẋi=−·= b,∂G ∂Fk∂x∂xi∂Fk∂Fk ∂uтак как полная производная dFk /dτ равна нулю по определению первого интеграла.222. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКАu6Уравнение (2.12) является самым общим уравнением характеристик.

В простейшем случае линейного однородного урав@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@нения дополнительное уравнение характеристик u̇ = 0 имеетпростое решение u = const и описывает семейство плоскостей,x2 ортогональных оси u расширенного пространства. В каждойплоскости характеристики — решения уравнений ẋ = a — выxглядят одинаково, поэтому мы рассматривали их только в од1ной плоскости u = 0. Характеристики квазилинейного уравнения могут не быть плоскими кривыми. В частном случае однородного квазилинейного уравнения характеристики плоские, но имеют различныйнаклон в разных “горизонтальных” плоскостях. Рассмотрим одно важное квазилинейное уравнение.Уравнение ХопфаКвазилинейное уравнение Хопфа∂u∂u+u=0∂t∂x(2.15)описывает, например, одномерный газ невзаимодействующих частиц (пыль), инымисловами, это одномерное уравнение Эйлера (1.6) для газа с нулевым давлением, u естьскорость газа.Это эволюционное квазилинейное уравнение, разрешенное относительно временной производной.