1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (Кузнецов, Шапиро 2011 - Методы математической физики ч1), страница 2

Количество произвольных функций в наиболее общем решении совпадает с порядком уравнения m, а количество переменных каждой функции равно n − 1. Фиксация произвольных функций (возможнои неполная) происходит за счет граничных условий. Уравнение вместе с граничнымиусловиями называется задачей.Если одна из координат, скажем x1 , имеет смысл времени t, то уравнение (1.1)называют эволюционным. Для того чтобы найти решение эволюционных уравнений,требуется помимо граничных условий задавать также начальные условия (такую задачу называют задачей Коши).Приведем несколько примеров уравнений в частных производных.Пример 1.1 .

Простейшее линейное однородное уравнение первого порядка в плоскости (x, y)∂u=0∂xимеет общее решение u(x, y) = f (y), где f — произвольная функция. Обыкновенноеуравнение имело бы общее решение, равное константе. В данном примере m = 1, n = 2,поэтому наиболее общее решение дается одной функцией одной переменной. Если куравнению добавлено начальное условие u(0, y) = sin y, то функцию f (y) = sin y легконайти, и мы получим частное решение.1.2.Примеры из физикиКолебания струны...Цепочка с одинаковыми грузиками массы m, соеди.

. . ненными одинаковыми пружинками жесткости k, описыkkkkвается в классической механике системой обыкновенныхl−1 ll+1дифференциальных уравнений (см. [26, § 7]). Пусть ul —?ulмалое вертикальное отклонение l-го грузика от положе-mymymy81. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХния равновесия. Тогда уравнение движения l-го грузика записывается в видеd2m 2 ul = −kul−1 + 2kul − kul+1.dt(1.3)Возвращающую силу удобно представить в виде Fl = −T ul /a, где введены a — расстояние между соседними грузиками и натяжение T (откуда жесткость равна k = T /a).Чтобы перейти к пределу непрерывной однородной струны, надо вместо массы поставить m → ρa, где ρ — линейная плотность. Если вместо номера грузика ввести егокоординату вдоль цепочки x = la, то тогда, разлагая смещение ul±1 ≡ u(x ± a) вряд Тейлора вблизи l-го грузика и устремляя затем a → 0 при фиксированных T, ρ,найдем в пределе∂ 2 u a2∂uul±1 = ul ±a+ 2 + ...∂x∂x 2Подстановка этого разложения в уравнения движения (1.3) дает1 ∂2u ∂2u− 2 = 0,c2 ∂t2∂x(1.4)pгде c = T /ρ — скорость распространения возмущения вдоль струны.

Полученноелинейное уравнение второго порядка называется одномерным волновым (или телеграфным) уравнением.Гидродинамика идеальной жидкости-Для описания движения идеальной жидкости («идеальной» —значит без затухания) введем плотность жидкости ρ(r, t) и ее скоростьv(r, t) как функцию точки наблюдения r и времени t (координаты Эйлера). Рассмотрим некоторый произвольный объем Vвнутри жидкости. Очевидно, что полная масса внутри этого объемаможет изменяться только за счет потоков извне. Плотность потокаравна ρv, поэтому изменение массы в данном объеме равно потоку через его поверхность:ZI∂ρ dV = − ρv dS.∂tЗдесь S — элемент поверхности, ориентированный вдоль внешней нормали.

Используятеорему Гаусса, это равенство переписывается в видеZ ∂ρ+ div (ρv) dV = 0.∂tДанное соотношение справедливо для произвольного объема V , поэтому∂ρ+ div (ρv) = 0.∂t(1.5)1.2. Примеры из физики9Это есть уравнение непрерывности. Аналогично можно рассмотреть поток импульса,втекающий в тот же объем с учетом внешнего давления p в пренебрежении вязкостью,и вывести уравнение Эйлера [30, § 2]∂vρ+ (v∇)v = −∇p.(1.6)∂tВ левой части этого уравнения член в скобках представляет собой ускорение жидкойчастицы, записанное в переменных Эйлера, в чем можно убедиться непосредственно,производя дифференцирование в выражении для ускорения, помня, что ṙ = v:∂vdv(r, t)=+ (ṙ∇)v.dt∂tТаким образом, слева в (1.6) стоит произведение плотности — массы на единицу объема и ускорения.

Левая часть в виде −∇p есть сила со стороны давления. Поэтомууравнение Эйлера суть уравнение Ньютона. При наличии других сил в правой части(1.6) дополнительно дописываются соответствующие слагаемые, например, за счетсилы тяжести имеем ρg, где g — ускорение свободного падения.В уравнении Эйлера (1.6) давление p считается функцией плотности ρ и энтропии на единицу массы S: p = p(ρ, S) (уравнение состояния). Отсутствие диссипацииозначает, что S сохраняется вместе с движущимся элементом жидкости:dS∂S≡+ (v∇)S = 0.dt∂t(1.7)Получилась система нелинейных уравнений в частных производных, на этот раз первого порядка.

Когда движение идеальной жидкости изэнтропическое (S = const),то давление можно рассматривать как функцию только плотности и соответственноправую часть уравнения (1.6) можно записать как −ρ∇w, где w — тепловая функция(энтальпия) единицы массы жидкости [30].Система уравнений гидродинамики имеет стационарное решение ρ = ρ0 = const, p =p0 = const, v = 0. Предполагая течение жидкости изэнтропическим, представим решение в видеρ(r, t) = ρ0 + ρ1 (r, t), p(r, t) = p0 + p1 (r, t).Будем считать скорость и поправки к плотности и давлению малыми величинами.Тогда в первом порядке малости получаются линеаризованные уравнения∂ρ1+ ρ0 div v = 0,∂t∂v∇p1=−.∂tρ0(1.8)Если теперь продифференцировать первое из уравнений по времени, переставив затем порядок дифференцирования во втором слагаемом, то получится одно линейноеуравнение второго порядка — уравнение акустики: ρ1 = 0,=1 ∂2− △.c2 ∂t2(1.9)101.

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХОтносительно пространственных координат это трехмерное волновое уравнение, в котором для краткости используют обозначение — оператор Даламбера. Скоростьраспространения возмущений c определяется из уравнения состояния c2 = ∂p/∂ρ.Уравнения МаксвеллаУравнения Максвелла в пустоте [34]1 ∂H,c ∂t1 ∂Erot H =,c ∂trot E = −div H = 0,(1.10)div E = 0(1.11)представляют собой систему линейных уравнений первого порядка для 6 компонентвекторов электрического и магнитного поля E и H. Чтобы свести (1.10) и (1.11) куравнениям второго порядка, введем скалярный и векторный потенциалы φ(r, t) иA(r, t), через которые E и H выражаются стандартным образом [34, § 18]:E = −∇φ −1 ∂A,c ∂tH = rot A.(1.12)Подстановка этих соотношений в уравнения (1.10) превращают их в тождества.Как известно, в выборе потенциалов имеется свобода, связанная с калибровочнойинвариантностью [34, § 18]. Для φ(r, t), A(r, t) выберем лоренцеву калибровку:1 ∂φ+ divA = 0.c ∂tЛегко проверяется, что подстановка (1.12) в (1.11) с учетом калибровки приводит дляскалярного и векторного потенциалов к четырем волновым уравнениям (на φ и трикомпонента A):φ = 0, A = 0.В присутствии токов плотности j или зарядов с плотностью ρ эти уравнения становятся неоднородными:4πφ = 4πρ, A =j.cУравнение ШредингераВ квантовой механике состояние частицы описывается волновой функцией Ψ(r, t),квадрат модуля которой имеет смысл плотности вероятности найти частицу в данной точке r в момент времени t [31].

Волновая функция удовлетворяет уравнениюШредингера∂Ψi~= ĤΨ,∂t1.2. Примеры из физики11где ~ — постоянная Планка. Оператор Гамильтона Ĥ для движения частицы в полеU(r) имеет видp̂2Ĥ =+ U(r), p̂ = −i~∇.2mДанное уравнение является уравнением в частных производных второго порядка покоординатам и первого порядка по времени. Оно должно быть дополнено граничнымии начальным условиями. В отличие от волнового уравнения, чтобы выделить частноерешение из общего, надо задавать при t = 0 одно начальное условие, а не два.Для стационарных состояний Ψ(r, t) = e−iEt/~ ψ(r), имеющих определенную энергию E, временная зависимость исключается и амплитуда ψ(r) определяется из решения стационарного уравнения ШредингераĤψ = Eψ.(1.13)В этом уравнении E представляет собой собственное значение (спектр) оператора Ĥ,а ψ(r) есть его собственная функция.

Определение E и ψ(r) называется спектральнойзадачей.Уравнение теплопроводностиПлотность внутренней энергии сплошной среды cp T (cp — теплоемкость при постоянном давлении, T — температура) проинтегрируем по объему V . Получится полнаяэнергия, которая при отсутствии химических реакций с выделением или поглощениемтепла может меняться только за счет потока тепла через поверхностьZI∂cp T dV = − Q dS.∂tПлотность потока тепла, если градиенты температуры малы, дается законом ФурьеQ = −κ∇T . Преобразуя уравнение к дифференциальному и считая теплоемкость cpи теплопроводность κ не зависящими ни от температуры, ни от координат и времени,получим уравнение теплопроводности:∂T= χ △ T,∂t(1.14)где χ = κ/cp — коэффициент температуропроводности.Так же, как и в предыдущем примере, полученное уравнение является уравнением второго порядка по пространственным переменным и первого порядка по времени.Такое уравнение называют уравнением параболического типа, в отличие от волнового,которое относится к гиперболическому типу.

Более точные определения типов линейных уравнений второго порядка мы дадим позже, а здесь приведем пример последнего типа — эллиптического. К эллиптическому типу относится уравнение Лапласа△u = 0, которое получается из (1.14) в стационарном случае, когда температуране зависит от времени. Уравнение Лапласа для скалярного потенциала получается121. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХТаблица 1.1. Основные методы решения уравнений в частных производных№132456МетодМетод характеристикАвтомодельностьРазделение переменныхМетод Фурье, интегральные преобразованияФункции ГринаЧисленные методыПрименениеУравнения первого порядкаСимметрияСимметрияЛинейное уравнение, постоянные коэффициентыЛинейные неоднородные уравненияНизкая размерностьв стационарном случае также из уравнений Максвелла (электростатика).