1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (Кузнецов, Шапиро 2011 - Методы математической физики ч1), страница 10

Комбинация двух этих соотношений дает λ = µ1/2 , ν = µ−1/2 . Отсюда находим нужнуюавтомодельную подстановку (6.1):u(x, t) = t−1/2 f (ξ),ξ = xt−1/2 .Если теперь в таком виде подставить решение в уравнение теплопроводности, то нафункцию f (ξ) получается обыкновенное дифференциальное уравнение11f ′′ + ξf ′ + f = 0.22(6.6)При t → +0, x 6= 0 решение должно исчезать, поэтому функция f должна обращатьсяв нуль при ξ → ∞ вместе со своей производной. Второе условие следует из нормировкиδ-функции:Z∞Z∞1=u(x, t) dx =f (ξ) dξ.−∞−∞Уравнение (6.6) допускает однократное интегрирование, что дает f ′ + 12 ξf = 0, где всилу первого условия постоянная интегрирования равна нулю.

Линейное однородноеобыкновенное уравнение первого порядка всегда решается: ln f = −ξ 2 /4 + const, аконстанта находится из второго условия. Получившееся автомодельное решение 21xu(x, t) = √exp −4t4πtописывает диффузионное расплывание (решение изображено на рис. 6.1). Характерная ширина решения растет — l(t) ∼ t1/2 , а максимальное значение u уменьшается —A(t) ∼ t−1/2 , так что площадь под графиком сохраняется.506. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ И БЕГУЩИЕ ВОЛНЫЗамечание 6.1 . Полученный закон расплывания l(t) ∼ t1/2 является следствием болееобщего, интегрального, соотношения для среднего квадрата масштаба распределения: ∞−1Z∞Zhx2 i =x2 udx  udx .−∞−∞Умножая уравнение теплопроводности (6.4) на x2 и интегрируя по всем x, получим:d 2hx i = 2D.dtОтсюда следует, что средний квадрат масштаба зависит линейно от времени: hx2 i =2Dt, что согласуется с автомодельным расплыванием.Замечание 6.2 .

Полученное автомодельное решение представляет собой функциюГрина1(x − x′ )2′G(x − x , t) = √exp −4t4πtзадачи Коши для уравнения теплопроводности (6.4), решение которой записываетсяв видеZ∞u(x, t) =G(x − x′ , t)u(x′ , 0)dx′ .(6.7)−∞Это следует из факта линейности уравнения (6.4) и очевидного равенстваu(x, 0) =Z∞δ(x − x′ )u(x′ , 0)dx′ .−∞В второй части курса мы рассмотрим этот вопрос более подробно.Замечание 6.3 . В рассмотренном примере начальное условие (на всей оси x) заданов виде дельта-функции. Для начальных условий конечной ширины, например, дляu(x, 0) = Q exp (−x2 /a2 ) , в задаче появляется второй масштаб a, и автомодельноерешение уже перестает быть точным решением задачи Коши.

Однако решение набольших временах, когда l(t) ≫ a и можно пренебречь a по сравнению с характернойшириной решения, асимптотически приближается к автомодельному. В частности,этот вывод следует из точного решения (6.7).Вместо граничного условия на бесконечности также может встретиться требованиеобращения решения в нуль на концах некоторого конечного интервала: u(±L, t) = 0.Тогда в задаче появляется второй масштаб, поэтому автомодельное решение перестанет удовлетворять граничным условиям.

Однако автомодельное решение будет справедливо на малых временах до тех пор, пока l(t) ≪ L. Таким образом, в задачах, гдехарактерные масштабы начальных и граничных условий существенно различаются(a ≪ L), автомодельное решение представляет собой промежуточную асимптотикупри a ≪ l(t) ≪ L.6.2. Примеры51u21-1.5-1-0.50.51x1.5Рис. 6.1. Автомодельное решение линейного уравнения теплопроводности: сплошная линия — t =0.025, пунктир — t = 0.05, точки — t = 0.1.Нелинейное уравнение теплопроводностиПопытаемся решить нелинейное уравнение теплопроводности, в котором коэффициент температуропроводности зависит от температуры, для простейшей линейнойзависимости χ ∝ u с точечным начальным условием:∂∂u∂u=u, u(x, 0) = δ(x).∂t∂x∂xРастяжение переменных (6.5) оставляет уравнение инвариантным, когда λ = µ1/3 , аначальное условие сохраняет вид при ν = µ−1/3 .

Автомодельная подстановкаu(x, t) = t−1/3 f (xt−1/3 )сводит задачу к обыкновенному уравнению11(f f ′ )′ + ξf ′ + f = 0.33Так же, как и в предыдущем примере, уравнение можно один раз проинтегрироватьи выбрать нулевую константу: f f ′ + 13 ξf = 0. Имеются два решения: f = 0, котороедолжно быть справедливо при больших по абсолютной величине ξ, и f = C − ξ 2/6.Решение во всей области естьξ2, ξ 2 6 6C,C−f (ξ) =6 0,ξ 2 > 6C.Константу C можно найти из нормировки C = 61/3 /4.526. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ И БЕГУЩИЕ ВОЛНЫu21-2 -1.5 -1 -0.50.511.52xРис. 6.2. Автомодельное решение нелинейного уравнения теплопроводности: сплошная линия —t = 0, 02, пунктир — t = 0, 1, точки — t = 0, 5На рис.

6.2 показано решение в три разных момента времени. В отличие от рис. 6.1,решение имеет резкий край — фронт тепловой волны. Расширение нагретой областив данном случае происходит по закону l(t) ∼ t1/3 . Площадь под графиком профилятемпературы, как и в предыдущем примере, сохраняется.Уравнение БюргерсаДля уравнения Бюргерсаut + uux = µ uxxнайдем решение в виде стационарной волны u(x, t) = f (ξ), ξ = x−V t, где V — скоростьволны, с нулевым граничным условием на бесконечности:lim u = 0.x→+∞Чтобы решение типа бегущей волны соответствовало определению 6.1 , можно заменить независимые переменные на et и ex .

Другой вариант — воспользоваться болееобщим определением автомодельной подстановки. В общем случае автомодельнымназывается решение, которое зависит только от комбинации переменных t, x и не зависит от этих переменных по отдельности.Подставляя f в уравнение Бюргерса, получим обыкновенное уравнение второгопорядка µ f ′′ − f f ′ + V f ′ = 0, которое можно один раз проинтегрировать: µ f ′ −f 2 /2 + V f = C1 .

В силу граничного условия при x → +∞ постоянная C1 = 0. Далееуравнение легко интегрируется: ln f − ln(2V − f ) = V ξ/µ. Отсюда2Vf (ξ) = V 1 − thξ .µ6.2. Примеры53f(ξ)1-2-112ξРис. 6.3. Фронт ударной волны уравнения Бюргерса при разных значениях параметра µ: сплошнаялиния — µ = 0, 01, пунктир — µ = 0, 03, точки — µ = 0, 1Это решение имеет вид ударной волны со скачком u = 2V .

Ширина фронта ударнойволны δ = µ/(2V ) уменьшается с ростом величины скачка и соответственно растетпри увеличении коэффициента вязкости µ. Важно, что при учете вязкости опрокидывания волны не происходит. Это решение как функция координаты ξ при V = 1/2изображено на рис. 6.3.Уравнение Кортевега — де ВризаОбратимся к решению уравнения КДВ (6.3)ut + 6uux + uxxx = 0в виде стационарной волны u(x, t) = f (x − V t) в предположении, что f обращается набесконечности в нуль вместе со всеми производными. Иными словами, речь идет обуединенной волне (от англ.

solitary wave, или сокращенно солитон). Форма солитонаКДВ определяется из интегрирования обыкновенного уравнения третьего порядка:f ′′′ + 6f f ′ − V f ′ = 0.Это уравнение после однократного интегрирования имеет вид уравнения Ньютонаf ′′ = −3f 2 + V f + C ≡ −∂U∂fдля одномерного движения частицы в «потенциале» U(f ) = −V f 2 /2+f 3 −Cf . Отсюдаследует интеграл энергии:f ′2E=+ U(f ).2546. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ И БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ12f(ξ)108642-2-112ξРис. 6.4. Солитон уравнения Кортевега — де Вриза при разных значениях параметра V : толстаялиния V = 3, тонкая — V = 6, пунктир — V = 12, точки — v = 24Чтобы решение было уединенной волной или солитоном, обе константы интегрирования (C и E) должны быть равными нулю.

В этом случае при нулевой энергиии V > 0 «частица» бесконечно «долго» уходит с максимальной точки потенциалаU(f ) = −V f 2 /2 + f 3 f = 0, достигает затем точки остановки f = V /2 (это максимальное значение f ), отражается и потом экспоненциально «долго» возвращается кначалу координат f = 0.Для нахождения этой траектории (солитона) необходимо вычислить интегралZdfp= ξ − ξ0 .−2U(f )Этот интеграл после замены y 2 = V /(2f ) сводится к табличному:√ZdyV− p= −arccoshy =(ξ − ξ0 ).2y2 − 1Отсюда солитонное решение находится в явном виде:u(x − V t) =2κ2,cosh2 [κ(x − 4κ2 t − x0 )]где скорость V = 4κ2 .

Ширина и амплитуда уединенной волны задаются одним параметром V . Из рис. 6.4 видно, как с ростом скорости V солитон становится болееузким и более высоким.Лекция 7.Разделение переменных7.1.Полное разделение переменныхРассмотрим снова общее дифференциальное уравнение в частных производных(1.1). Будем искать его решение в виде произведения функции только одной переменной и функции всех остальных переменных:u(x1 , x2 . .

. , xn ) = φ1 (x1 )φ(x2 , . . . , xn ).Определение 7.1 . Если уравнение можно переписать в виде∂φ∂φ ∂ 2 φdφ1 d2 φ1, . . . = F2 x2 , . . . , xn ;... ,,,...,;F1 x1 , φ1 ,dx1 dx21∂x2∂xn ∂x22где в левой части содержится переменная x1 и функции только от нее, то говорят, чтопроизошло разделение переменных.В этом случае обе части можно приравнять к постоянной C (константе разделения), потому что они зависят от разных переменных, и получится обыкновенноедифференциальное уравнение F1 = C.

Иногда удается, записав решение уравненияF2 = C в виде произведения функции, зависящей только от x2 и функции переменныхx3 , . . . , xn , снова отделить переменную x2 . Если такая процедура отделения переменных доходит до переменной xn−1 , то тогда говорят, что произошло полное разделениепеременных.

Существование полного или частичного разделения переменных связано, как правило, с симметрией исходного уравнения и граничных условий к нему. Например, если уравнение для функции u(x1 , x2 , x3 ), определенной во всем трехмерномпространстве R3 , инвариантно относительно всех возможных поворотов, то следуетожидать разделение переменных в сферической системе координат.В качестве примера рассмотрим, каким образом происходит разделение переменных для уравнения Шредингера, описывающее движение электрона в атоме водородав присутствии постоянного электрического поля E. В этом случае стационарные состояния с энергией E находятся из решения стационарного уравнения Шредингера55567.