1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (Кузнецов, Шапиро 2011 - Методы математической физики ч1), страница 5

Задача Коши для него ставится стандартным образом: u|t=0 = u0 (x).Соответствующие уравнения характеристики и на характеристикеṫ = 1,ẋ = u,u̇ = 0(2.16)имеют следующие первые интегралы:x − ut = F1 (x, t, u) = const,u = F2 (x, t, u) = const.Для задачи Коши интеграл F1 есть начальное положение жидкой частицы x0 , F2выражается через u0 (x):x = x0 + u0 (x0 )t, u = u0(x0 ).(2.17)Это есть решение уравнения Хопфа, записанное в параметрическом виде.

Чтобы отсюда найти явную зависимость u = u(x, t), необходимо обратить отображение x =x0 + u0 (x0 )t относительно x0 и подставить затем в выражение для u.Решение в виде (2.17) может быть легко проанализировано. В соответствии с (2.17)каждая точка профиля скорости двигается со своей (постоянной) скоростью u0 (x0 ).При этом сам профиль скорости будет деформироваться, поскольку более быстрыечастицы будут догонять более медленные. В результате профиль будет становиться2.2. Квазилинейные уравнения23u352.542x31.521(a)-4-210.5246x(b)0.511.522.5t3Рис.

2.2. Опрокидывание котангенсоиды (a): слева направо t = 0, 1, 2, 3. Расширение области неоднозначности (b)более крутым и наконец в некоторый момент времени t = t∗ его градиент по x станетбесконечным. Это явление называется опрокидыванием, или градиентной катастрофой. Чтобы найти время опрокидывания t∗ , необходимо, используя (2.17), вычислитьпроизводную ∂u/∂x:∂uu′ (x0 )= 0,∂xJгде J = ∂x/∂x0 ≡ 1 + u′0 (x0 )t — якобиан отображения x = x0 + u0 (x0 )t. Из этоговыражения видно, что впервые производная становится бесконечной, когда якобианJ первый раз обращается в нуль:1∗t = min − ′.u0 (x0 )Этому минимуму отвечает точка x∗ — точка опрокидывания. Отсюда видно также,что опрокидывание возникает для начальных профилей с отрицательной производнойux < 0. При t > t∗ у уравнения J = 0 имеются два корня, соответственно производнаяобращается в бесконечность в двух точках. Между этими точками находится областьнеоднозначности.

С точки зрения отображения это означает, что отображение x =x(x0 , t) является однозначным — у уравнения x = x(x0 , t) при всех x имеется толькоодин (действительный) корень x0 = x0 (x, t)). При t > t∗ у уравнения x = x(x0 , t)для x из области неоднозначности существуют три корня x0 . Изменение количествакорней у отображения называется бифуркацией.

В данном случае точка бифуркации(x∗ , t∗ , u∗ ), где происходит переход от одного корня к трем, называется точкой сборки.В качестве примера рассмотрим задачу Коши для u(x, 0) = arcctg x. Из графикарешения, приведенного на рис. 2.2, видно, как происходит опрокидывание (рис. 2.2,a) и расширение области неоднозначности (рис.

2.2, b).Для данной задачи знаменатель J впервые обращается в нуль при t = t∗ = 1,происходит это при u∗ = π/2 в точке x∗ = π/2. При t > t∗ производная обращается вбесконечность в двух точках (см. верхнюю кривую на рис. 2.2, a. Между этими точками находится область неоднозначности. Закон расширения области неоднозначностив окрестности точки опрокидывания можно найти, разлагая в ряд решение уравнений u = arcctg x0 , 1 + x20 − t = 0 при x0 ≪ 1.

Получается |x − πt/2| 6 (t − 1)3/2 , t > 1.242. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА-20x2432u121.510.5 t0Рис. 2.3. Интегральная поверхность уравнения ХопфаОбласть неоднозначности ограничена полукубической параболой. При t < t∗ решениеоднозначно, а при t > t∗ имеется расширяющаяся область, указанная на рис. 2.2(b)серым цветом.С геометрической точки зрения в расширенном пространстве (x, t, u) для уравнения Хопфа имеется поле направлений (u, 1, 0), которое задается уравнениями (2.16).В каждой горизонтальной плоскости векторы имеют свой наклон. Найти решениезадачи Коши для уравнения Хопфа означает провести через данные векторы интегральную поверхность, которая при t = 0 проходит через заданную кривую u(x, 0).Интегральная поверхность для рассмотренного выше примера с u(x, 0) = arcctg xизображена на рис.

2.3. Вертикальная прямая при t < 1 пересекает интегральнуюповерхность в одной точке, а при t > 1 может пересекать в трех точках.В физике опрокидывание является причиной формирования ударных волн. В реальном газе при приближении к точке опрокидывания уравнения идеальной гидродинамики теряют свою применимость: при больших градиентах становятся существенныдиссипативные процессы. Подробности можно найти в книге [56].2.3.Нелинейные уравненияОпределение 2.3 . Нелинейным уравнением первого порядка называется уравнениевида∂u∂u∂u=,...,.(2.18)f (x, p, u) = 0, x = (x1 , . . . , xn ), p =∂x∂x1∂xnНелинейное уравнение задает поверхность в 2n + 1-мерном расширенном фазовомпространстве (n координат xi , n импульсов pi и функция u).Сравнивая с определением 1.1 , видим, что нелинейное уравнение — это общее уравнение первого порядка.

Квазилинейное уравнение (2.10) представляет собой частный2.3. Нелинейные уравнения25случай нелинейного (2.18) с линейной по p функцией f = a(x, u)p − b(x, u).Уравнение (2.18) также допускает применение метода характеристик. Чтобы ввести характеристики, продифференцируем (2.18) по xk :∂f∂f ∂pi∂f ∂u∂f∂f ∂pk ∂f++=++pk = 0.∂xk ∂pi ∂xk ∂u ∂xk∂xk ∂pi ∂xi∂u(2.19)Здесь мы воспользовались равенством перекрестных производных во втором слагаемом и определением импульсов в третьем.

В результате для компонент вектора импульса pi получается систему квазилинейных уравнений (2.10), для каждого из которых уравнения характеристик и на характеристике известны:ẋi =∂f,∂piṗi = −∂f∂f−pi ,∂xi∂uu̇ =∂fpi .∂pi(2.20)Последнее уравнение получилось из первого, с учетом определения pi , а именно u̇ =ux ẋ. Эти уравнения можно переписать в компактном векторном виде:ẋ = fp ,ṗ = −fx − pfu ,u̇ = pfp .Общее решение выписывается в виде произвольной связи 2n первых интегралов уравнений (2.20) F1 (x, p, u), F2(x, p, u), . . . , F2n (x, p, u), не зависящих от параметра τ :G(F1 , .

. . , F2n ) = 0.(2.21)К равенству (2.21) надо добавить n условий pi = ∂u/∂xi и с их помощью исключитьpi . Для этого необходимо из уравнений (2.19) найти производные ∂pi /∂xk как функции x, p, u (заметим, что (2.19) линейны относительно производных p по x) и затемподставить ∂pi /∂xk в условие совместности:∂pi∂pk=.∂xk∂xiС помощью этих соотношений находятся pi , после подстановки которых в (2.21) получается решение u = u(x). Как правило, полученное таким образом решение записывается в неявном виде.Уравнение Гамильтона — ЯкобиРешим одномерное уравнение Гамильтона — Якоби [32] для свободной частицы сначальным условием:1St + Sx2 = 0. S(x, 0) = x2 .(2.22)2В общем случае (2.18) называется уравнением Гамильтона — Якоби, если F не зависитот u.

Введем импульсы p0 = St , p1 = Sx . Функция здесь F = p0 + p21 /2 = 0, откуданаходятся уравнения характеристик:ṫ = 1, ẋ = p1 , p˙0 = p˙1 = 0, Ṡ = p0 + p21 ≡ p21 /2.262. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКАИсключая параметр τ и константу p0 , найдем общее решение:S−p2t = g(x − pt),2p = g ′ (x − pt);p ≡ p1 .Ответ получился в параметрическом виде, из него еще надо исключить постояннуюp. Функцию g = x2 найдем из начальных условий, тогдаS−p2 t= (x − pt)2 ,2p = 2(x − pt) или p =2x,1 + 2tоткуда S = x2 /(1 + 2t).Отметим, что если продифференцировать уравнение (2.22) по x, то полученноеуравнение совпадает с уравнением Хопфа (2.15). Найденное нами решение u ≡ p =2x/(1 + 2t) представляет собой автомодельное решение уравнения Хопфа.Теория нелинейных уравнений первого порядка изложена в учебниках по обыкновенным дифференциальным уравнениям, например, в книгах Арнольда [2, 46] или вего лекциях [3] по уравнениям в частных производных.Лекция 3.Системы линейных уравненийВ данной лекции мы рассмотрим, каким образом метод характеристик может бытьраспространен на системы линейных (или квазилинейных) уравнений первого порядка.

Для простоты в этой лекции мы ограничимся двумерными системами, зависящимиот двух переменных x и t. Особенности многомерного случая мы коротко рассмотримпозже, в лекции 5, в связи с уравнениями второго порядка.3.1.ХарактеристикиОпределение 3.1 . Системой линейных уравнений первого порядка на действительную вектор-столбец ψ = (ψ1 , . .

. , ψm )⊺ (значок ⊺ обозначает транспонирование), зависящую от двух переменных x и t, называют системуA∂ψ∂ψ+B= b,∂t∂x(3.1)где m × m-матрицы A, B и вектор-функция b = (b1 , . . . , bm )⊺ являются заданнымидействительными функциями от x, t. Если A, B, b зависят не только x, t, а также отψ, то система (3.1) называется квазилинейной.В дальнейшем матрицу A мы будем считать невырожденной, т. е. обратимой привсех значениях аргументов x, t и ψ.Как мы видели в предыдущей лекции, характеристика для линейных (а такжеквазилинейных) уравнений первого порядка может быть определена как кривая, с которой невозможно продолжить решение.

Для систем уравнений это есть определениехарактеристик. Для системы (3.1) характеристика лежит в плоскости (x, t), решениес этой кривой не может быть продолжено.Пусть начальное условие задано на кривой γ, тогда вдоль этой кривойdψ = ψt dt + ψx dx.(3.2)Это соотношение вместе с исходной системой (3.1) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений на 2m неизвестных производных ψt , ψx .

Для этой27283. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙТаблица 3.1. Классификация систем уравнений по типамМатрицаприводится к диагональному видуне приводится к диагональному видуприводится к диагональному видуСобственные значениявещественные различныевещественные вырожденныеневещественныеТип системыгиперболическийпараболическийэллиптическийсистемы расширенная матрица 2m × (2m + 1) записывается в следующим виде:AB b,(3.3)Edt Edx dψгде вертикальная черта отделяет матрицу системы от столбца правых частей, а E —единичная матрица.Можно ли продолжить решение системы (3.1, 3.2) с кривой γ, хотя бы в ее малую окрестность? Пусть (x0 , t0 ) ∈ γ, тогда ψ в малой окрестности этой точки можетбыть определена, если, по крайней мере, в этой точке известны производные ψx , ψt :ψ(x, t) ≈ ψ(x0 , t0 ) + ψx (x − x0 ) + ψt (t − t0 ).