Лекции Ивашкин МЖГ (Лекции Ивашкин МЖГ (очень замудренная, но вдруг кому нибудь пригодится)), страница 7

е. нарушится одно из принятых условий(M < < 1). Поэтому дозвуковая аэродинамическая труба должна иметь относительнобольшие размеры. Известный способ обойти эту трудность – построить трубу свысоким давлением воздуха, в которой малый размер модели [при Re = η0 / (l0 ρ0 w0)]компенсируется повышенной плотностью. Иногда модель испытывают не в воздухе, аво фреоне, используя малую вязкость последнего.П р и м е р 2. Исследуют сверхзвуковой летательный аппарат с большимсопротивлением давления. В этом случае сопротивление трения (вязкость) не играетроли, т.

е. нет необходимости выдерживать условия Fr = idem и Sh = idem.29Основным определяющим критерием является M = idem при γ = idem.позволяет производить моделирование в сверхзвуковой трубе малых размеров.ЭтоП р и м е р 3. Рассмотрим корабль не очень обтекаемой формы. Он порождаетбольшие волны, и в таком случае сопротивление трению имеет второстепенноезначение по сравнению с волновым сопротивлением (затратой энергии на преодолениесилы тяжести воды).

Определяющим критерием является число Фруда. При испытаниимодели корабля в гидроканале скорость ее движения следует принять меньшей, чем унатуры, в корень квадратный раз из отношения линейных размеров:lм.lнwм = wнИногда нельзя добиться приближенного подобия, выдерживая постоянствоодного критерия. Например, при моделировании хорошо обтекаемоголетательного аппарата необходимо, чтобы M = idem и Re = idem, так каксопротивления давлению и трению в данном случае соизмеримы.

В подобномслучае нужна сверхзвуковая труба больших размеров.Для приближенного моделирования судна обтекаемой формы требуетсявыполнить условия: Fr = idem, Re = idem.Рассмотрим теперь уравнение энергии (2.40). Приведем его кбезразмерному виду, причем за масштаб температуры примем разностьтемператур набегающего потока (вдали от тела) и стенки тела T0 = T∞ – Tст .Также исследуем установившийся режим (учет нестационарного члена дает, каки раньше, число Струхаля). Тогда (2.40) можно представить в следующем виде:ρ 0 C p ∆T0 w0[ρ C (w∇ )T ] =0l0p2w0 P0[(w∇ )P] + λ ∆2T0 λ ∆2T + η w02 [ηΦ ].l0l0l0После деления этого уравнения на общий множитель левой части получим:[=][ρ C (w∇)T ] =λ[λ ∇ T ] + l[(w∇ ) P] +l ρ C w0pP0η w02[ηΦ ].ρ 0 C p ∆T00 0p 00 ρ 0 C p ∆T0В данном уравнении все виды тепловых потоков выражены в долях отконвективного тепла.Тепловое подобие двух процессов осуществляется при наличии равенства вобоих течениях полученных трех безразмерных комплексов: 1) P0 / (ρ0 Cp ∆T0);2) λ / (l0 ρ0 Cp w0); 3) (ηw0) / (l0 ρ0 Cp ∆T0).

Исследуем их.=1-й комплекс:2P0P0w0== Εu ⋅ Θ ,2ρ 0 C p ∆T0 ρ 0 w0 C p ∆T0где θ – температурный критерий [θ = w02 / (Cp ∆T0)], который пропорционален w02учитывает отношение работы сжатия, осуществляемой динамическим давлением,конвективному тепловому потоку. Поэтому он существен при больших скоростях потока.2-й комплекс (выражает собой отношениетеплопроводностью к конвективному потоку):30тепла,икпереносимогоλλη1 1==,l 0 ρ 0 C p ∆ w0 C p η l 0 ρ 0 ∆ w0 Pr Reгде λ / (Cpη) – число Прандтлятеплопроводностью и вязкостью.(Pr),характеризующее связь между теплоемкостью,Произведение чисел Прандтля и Рейнольдса называют числом Пекле, иликритерием Пекле (Pe):w0 l 0.aОн широко используется при моделировании процессов теплообмена.Pe = Pr ⋅ Re =3-й комплекс (представляет собой отношение рассеиваемого тепла кконвективному потоку и не приводит к новым комплексам):2ηw0w0ηΘ==.l 0 ρ 0 C p ∆ T0 C p ∆T0 l 0 ρ 0 w0 ReСкорость распространения малых возмущенийв жидкости и газеЧтобы выяснить особенности движения газа очень важно сравнить скоростьего движения со скоростью, характерной для данного газа и зависящей от еготермодинамического состояния, – т.

е. со скоростью распространения малыхвозмущений.Под малым возмущением понимают такое изменение начальныхпараметров среды, при котором абсолютная величина изменения параметранеизмеримо мала по сравнению с его исходным значением, т. е. P' << P0,ρ' << ρ 0 (P0, ρ 0 – давление и плотность невозмущенного газа; P', ρ' –прибавка к P0 и ρ 0 за счет возмущений). Из курса физики известно, чтоскорость распространения малых возмущений в газе определяется следующимобразом:dP.(2.46)dρФормула (2.46) верна и для движущегося газа, только в этом случае подвеличиной a следует понимать «местную» скорость распространения малыхвозмущений относительно движения газа в данной точке потока.

К числунаиболее широко наблюдаемых явлений распространения малых возмущенийотносится распространение звука, заключающееся, как известно, враспространении волн слабого сжатия и разрежения. В связи с этим величинуa называют скоростью звука.Принимая процесс распространения звука изотермическим и учитывая, чтопри таком процессе P = cρ, dP / dρ = c = P / ρ, получимa=a из =P.ρ( 2.47)31Если предположить, что процесс распространения звука осуществляетсянастолько быстро, что можно пренебречь влиянием процесса отвода тепла исчитать процесс распространения звука адиабатическим, тоPdPcγρ γ γPγPγγ −1==ρ=cγρ==a=c;Pc;;.(2.48)γdρρρρρФормула (2.47) была предложена Ньютоном, а формула (2.48) – Лапласом.Эксперименты подтверждают правильность второй из них. Применяя формулуКлайперона, перепишем (2.48) в видеa = γRT .(2.49)Для воздуха γ = 1,4; µ = 29.

Тогдаa = 20,1 T (м / с);при T = 273 К (0 ºС) a = 332 м / с.В кинетической теории газов показано, что скорость звука имеет тот жепорядок, что и средняя квадратичная скорость свободного пробега молекул газа:v S = v 2 , что составляет v S = 3RT . Сравнив с (2.49), получим a =γvS .3Для воздуха γ = 1,4, а а составляет 70% от vs.В модели несжимаемой жидкости (ρ = const) a → ∞, т. е.

всякоеизменение давления в одном месте потока должно мгновенно сказаться в любомдругом месте. В одних случаях такое предположение можно принимать врасчет, в других – от него приходится отказываться и пользоваться моделью«сжимаемая жидкость – газ», имеющей конечную скорость распространениязвука.Таким образом, из (2.46) следует, что скорость звука определяет упругоесвойство жидкостей и газов. Упругость капельных жидкостей характеризуетсямодулем объемной упругости (модулем сжатия), равного отношению изменениядавления к относительному изменению объема:dPdP= −V.dV / VdVТак как относительное изменение объема равно относительному изменениюплотности, т.

е. – (dV / V) = dρ / ρ, то:k=−dP= ρa 2 ;dρ82Для воды k = 19,6 · 10 (H / м ), тогдаk =ρa=k.ρ19,6 ⋅ 10 8= 1400 (м / с) .10 3Скорость распространения малых возмущений является важнойхарактеристикой потока сжимаемой среды. В зависимости от того, будут лискорости движения частиц среды меньше или больше скорости звука,принципиально различными будут и происходящие в среде явления.

Это можетбыть продемонстрировано на следующих двух примерах.a воды =32П р и м е р 1. Рассмотрим источник возмущений, расположенный в точке A0. Еслина источник набегает дозвуковой поток (w < a), то волны будут сноситься вниз попотоку: при этом центр волн перемещается соскоростью w < a, а сами волны распространяются соскоростью звука а. За некоторое время t центрволны сместится на расстояние wt, а радиус волныбудет r = at, причем at > wt (рис. 6).Такимобразом,возмущениявдозвуковомпотокераспространяются и против течения.

При этом областьвозмущения опережает тело, а форма потокаизменяется еще до того, как частицы газа придут всоприкосновение с телом.Рис. 6. ОбтеканиеЕсли же скоростьw > a,то звуковыедозвуковым потокомвозмущения будут сноситься вниз по потоку, т. е.сферические волны будут находиться внутри конуса, огибающего сферу (рис. 7). Этотконус называется конусом возмущения (конусом Маха). Область вне конуса неподвергается возмущению телом, ее можно назватьзоной молчания. Возмущения в сверхзвуковом потокераспространяются по линиям, образующим конусвозмущения. Эти линии называются линиямивозмущения (или характеристиками).

Уголαнаклона образующей определяется из условияsin α = a / w = 1 / M.Течения при сверхзвуковомвозмущении в отличие от дозвукового потокаохватывают область внутри конуса возмущений, т. е.Рис. 7. Обтеканиепереход скорости звука связан с концентрациейсверхзвуковым потокомвозмущений. Поверхность конуса представляетоптическую неоднородность, достаточно заметную при исследовании специальнымиоптическими приборами. Эта оптическая неоднородность (изменение показателяпреломления) объясняется изменением плотности среды под действием сжатия илиразрежения в звуковой волне.