Лекции Ивашкин МЖГ (Лекции Ивашкин МЖГ (очень замудренная, но вдруг кому нибудь пригодится)), страница 3

В реальной жидкости (из-за трения) вихри зарождаются, а затемдиффундируют, т. е. вырождаются.Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддаетсянепосредственному измерению. Сравнительно просто можно определятьскорости частиц жидкости. Поэтому возникает вопрос об установлении связимежду интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей вжидкости. Для решения данного вопроса введем характерную для поляскоростей величину – циркуляцию скорости вдоль некоторой линии.Циркуляцией вектора по некоторому контуру называется вычисленныйвдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную кконтуру:BBBBAAAAΓAB (a ) = ∫ a dS = ∫ a cos (a, dS ) dS = ∫ a S dS = ∫ (a x dx + a y dy + a z dz ).(1.21)Тогда связь между интенсивностью вихревой трубки и распределениемскоростей дается известной теоремой Стокса: интенсивность вихревой трубкиравна циркуляции скорости по замкнутому контуру, один раз опоясывающемувихревую трубку:∫ rotσnw dσ = 2 ∫ ω n dσ = ∫ w dr = Γ .σ(1.22)cТеорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревойтрубки к вычислению циркуляции скорости.

Непосредственное измерениескорости специальными приборами не представляет трудности, а суммированиеслагаемых, входящих в интеграл по замкнутому контуру, является операциейболее точной, чем дифференцирование распределения скоростей (необходимоедля вычисления rotw) и последующее суммирование.Из этой теоремы вытекает важное следствие: если в какой-либо областитечение безвихревое (w = 0, rotw = 0), т.

е. потенциальное, то циркуляцияскорости по любому замкнутому контуру, проведенному в этой области, равнонулю (Г = 0). Из рассмотренной теоремы, кроме того, следует, что конечнаяциркуляция скорости определяет эффект действия вихрей на поле скоростей впотоке жидкости.Циркуляция скорости – склярИз (1.19) и (1.22) следует, что циркуляция скорости по замкнутому контуруравна нулю, а это, в свою очередь, означает, что линии тока потенциальногодвижения не могут быть замкнуты. Если бы они были замкнуты, то всеэлементы криволинейного интеграла вектора скорости ∫w dr, взятого посзамкнутой линии тока, имели бы один знак и циркуляция вдоль такой линии необратилась бы в нуль. Поэтому в объеме, ограниченном со всех сторонтвердыми стенками, не может существовать безвихревое движение, так как настенках нормальная составляющая скорости должна равняться нулю (стенкинепроницаемы).

Основное следствие: в замкнутом объеме либо среда находитсяв покое, либо имеет место вихревое движение.12Раздел 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯИ РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫУравнение неразрывностиФундаментальным законом ньютоновской механики является законсохранения массы m любого индивидуального объема. Это опытноустановленный закон природы. Используя понятие индивидуальнойпроизводной, можно записать:dd∆m =ρ∆V = 0 .(2.1)dtdtВ эйлеровых переменных уравнение неразрывности можно получить,продифференцировав правую часть уравнения (2.1) и используя представление одивергенции скоростного поля как о скорости относительного изменения объема[см.

(1.14)]:dρddρ∆V + ρ∆V =∆V + ρ div w ∆V .dtdtdtЭто позволит найти уравнение непрерывности в переменных Эйлера:dρ+ ρ div w = 0 .(2.2)dtК такому же выводу можно прийти, записав закон сохранения массы дляконечного объема V в видеdρ∆V = 0 .(2.3)dt V∫Осуществив дифференцирование, получим, как и в предыдущем случае:dρd dρ∫V dt ∆V + V∫ ρ dt ∆V = V∫  dt + ρ div w  ∆V = 0 .Отсюда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь получимуравнение (2.2).В механике сплошной среды различают уравнения двух видов:1) интегральное, выражающее связи между величинами в некоторых конечныхобъемах и на ограничивающих их поверхностях; 2) дифференциальное,связывающее значение величин и их производных в одной точке.

Примероминтегрального уравнения служит (2.3), а дифференциального – (2.2).Переходотинтегральногоуравнениякдифференциальномуосуществляется с помощью одного из следующих двух приемов: 1) делениеобеих частей уравнения на величину объема с последующим «стягиванием»объема к выбранной точке пространства; 2) сведение всех интегралов к одному,объемному, и приравнивание подынтегрального выражения нулю вследствиепроизвольности объема.13Что касается перехода от дифференциального уравнения к интегральному,то он осуществляется умножением на элемент объема и интегрированием поконечному объему.Интегральное уравнение имеет преимущество (перед дифференциальным),если входящие в него величины претерпевают внутри среды разрывынепрерывности.Заменяя в уравнении (2.2) индивидуальную производную известным еевыражением через локальную и конвективную [см.

(1.5)], получим∂ρ∂ρ+ w grad ρ + ρ div w =+ div (ρw ) = 0 .∂t∂tЧастные случаи:(2.4)1) движение установившееся (∂ρ / ∂t = 0). Тогда, исходя из (2.4):div (ρw ) = 0 ;2) жидкость несжимаема (ρ = const). Тогда, исходя из (2.4):div w = 0 .Следовательно, для несжимаемой жидкости скорость изменения элементарногообъема равна нулю, т. е. при движении объема несжимаемой жидкости меняетсялишь его форма, а не объем.Кроме массы m есть и другие (скалярные, векторные или тензорные)величины, остающиеся во время движения постоянными в любоминдивидуальном объеме среды. Например, число молекул или атомов в единицеобъема n (концентрация частиц), плотность заряда e и т. д.

Обозначивплотность такой сохраняемой величины через f, можно записать уравнениеdf+ f div w = 0 .(2.5)dtУстановление тех характеристик, которые сохраняют свою величину виндивидуальном объеме, является одной из основных проблем физики.Уравнение движения сплошной средыРаспределение сил в сплошной среде. В динамике сплошных средпринято выделять два класса действующих на частицы среды сил: 1) объемныеV,(массовые); 2) поверхностные.

Силы, распределенные по объемуназываются объемными силами или массовыми. В отличие от динамикисистемы дискретных точек в динамике сплошных сред имеют дело не с самимисилами, а с плотностью их распределения в пространстве. Под плотностьюраспределения объемных сил f понимают предел отношения главного векторамассовых сил ∆F, действующих на элемент массы ∆m, к этой массе: ∆F  ∆F  = lim  .f = lim (2.6)∆m → 0 ∆m ∆V →0  ρ∆V Отсюда следует, что объемная сила δF, приложенная к элементарномуобъему δV, определяется какδF = ρf δV .14Число различных видов массовых сил невелико. Это сила тяжести f = gи, вообще, гравитационные силы, электромагнитные силы, силы инерции.Поверхностные силы аналогично будут задаваться плотностью ихраспределения по поверхности, или напряжением:∆PP = lim,∆S →0 ∆S___где ∆P – главный вектор сил, приложенных с одной стороны к малой площадке ∆S.Основное различие между плотностью объемных сил f и поверхностных Pсостоит в том, что вектор f является однозначной векторной функцией точекпространства и времени, т.

е. образует векторное поле, в то время как вектор Pпринимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений взависимости от ориентации ∆S и, таким образом, векторного поля необразует. Можно сказать, что напряжение представляет функцию двух векторов(вектор-радиус r точки и орт нормали n к площадке в выбранной точке).Понятие вектора напряжения. Возьмем в точке M сплошной средыплощадку δS (рис. 4), ориентация которой в пространстве определяется ортомнормали n к площадке. Условимся различатьлицевую и тыльную стороны площадки, причемпримем за лицевую ту, которая обращена кконцу вектора нормали. Отбросим мысленночасть жидкости с лицевой стороны и заменимее действие поверхностной силой PnδS, гдеРис.

4. Вектор напряженияиндекс n означает, что сила приложена кплощадке с ортом нормалиn.Если,наоборот, отброcить часть жидкости с тыльной стороны, то эквивалентнаядействию этой отброшенной жидкости сила составила бы –PnδS.Докажем, что вектор напряжения Pnможно представить какпроизведение орта нормали n площадки и некоторого тензора второго ранга P,которыйявляетсяфункциейтольковектор-радиуса r. С этой целью рассмотримвырезанный в среде элементарный тетраэдрMABC (рис.

5). Пусть площадь ABC равнаδSn, а другие площадки, представляющиепроекции ABC на координатные плоскости,равны δSx, δSy, δSz соответственно (причеминдексы x, y, z при этих площадках означаютось, перпендикулярную площадке).Представляя тетраэдр как жидкий, т. е.состоящий из частиц движущейся среды,Рис. 5. Тетраэдр напряженийзапишем уравнение движения центра инерцииэтой системы частиц, масса которых δm:w& c δm = f δm + Pn δS n − Px δS x − Py δS y − Pz δS z ,( 2.7)где  wc – вектор ускорения; Pn, Px, Py, Pz – векторы напряжений, приложенные кположительным сторонам площадок δSx, δSy, δSz (при последних трех членах стоят знаки«–», так как внешние стороны δSx, δSy, δSz при принятом направлении i, j, k оказываютсятыльными.)15В уравнении (2.7) члены wс δm и f δmмалости, и их можно отбросить.

Тогда.– величины третьего порядкаPn δS n = Px δS x + Py δS y + Pz δS z .Учитывая, чтоδS x = δS n cos (n,€x ) = nx δS n ,δS y = δS n cos (n,€y ) = n y δS n ,δS z = δS n cos (n,€z ) = nz δS n ,получимPn = n x Px + n y Py + n z Pz ,или (в проекциях на оси прямоугольных координат)(2.8)Pny = nx Pxy + n y Pyy + nz Pzy ,( 2 .9 )Pnz = nx Pxz + n y Pyz + nz Pzz .При написании учли правило: 1-й индекс при напряжении P обозначает ось,перпендикулярно которой ориентирована площадка; 2-й индекс – ось, накоторую спроектировано это напряжение.Проекции Pxx, Pyy, Pzz векторов напряжения Px, Py,  Pz на нормалик соответствующим площадкам называются нормальными напряжениями, аостальные – касательными напряжениями.Система (2.9) показывает, что проекции на оси координат напряжения,приложенного к любой наклонной площадке, выражаются линейно черезпроекции напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярнымплощадкам, т.