Лекции Ивашкин МЖГ (Лекции Ивашкин МЖГ (очень замудренная, но вдруг кому нибудь пригодится)), страница 6

Трениеобусловлено переносом количества движения, а теплопроводность –кинетической энергией молекул. Приняв схему идеального газа, как газа,лишенного внутреннего трения, естественно отвлечься и от теплопроводности.Примем также, что движущийся газ изолирован от притока тепла извне. Такоедвижение называется адиабатическим.

Тогда уравнение баланса энергии (2.35) вслучае адиабатического движения (q = 0) идеального газа (P = –pε) приотсутствии объемных сил (f = 0) будет иметь видd w2  = − div (pw ).ρ ⋅  cv T +dt 2 Введя энтальпию h = cvT + p / ρ, получимw2 d  pdp p dρ h + = ρ  − div (pw ) =−− div (pw ) =2ρdtdtρdtdp∂p∂p,=+ p div w − p div w − w grad p =+ w grad p − w grad p =dt∂t∂tρddtт.

е.w2  ∂p h += .2  ∂tДля стационарного потока (∂p / ∂t = 0) получимρddt(2.41)w2= const .(2.42)2Равенство (2.42) выражает известную теорему Бернулли, согласно которойв адиабатическом стационарном потоке идеального газа при отсутствииобъемных сил сумма теплосодержания и кинетической энергии, т. е. полнаяэнтальпия газа, сохраняет постоянное значение вдоль траектории или линиитока частицы.

Отсюда следует, что температура, давление и плотность сувеличением скорости вдоль линии тока уменьшаются в энергетическиизолированном потоке идеального газа.Найдем константу в (2.42) из условия адиабатически заторможенного газа(w = 0; h = h0; T = T0). Получимh+h+26w2= h0 ;2T0 =h0.Cp(2.43)Температура T0 – самая высокая температура на линии тока (w = 0), котораяназывается температурой торможения; h0 – полное теплосодержание, т. е.энтальпия торможенияИтак, температура газа получается равной температуре торможения, когдаскорость течения уменьшается до нуля. Из (2.43) можно получитьhw2w2+=T +.C p 2C p2C pНапример, в воздушном потоке нормальной температуры (T = 300 К) прискорости (w), равной 100, 350, 1000 м / с, температура торможения (T0)составляет примерно 305, 360, 800 К (для воздуха Cp = 1005 Дж / (кг · К)).Уравнение теплосодержания объясняет некоторые интересные факты.

Так,например, неподвижный термометр не может измерить температуру в потокегаза, так как у стенок образуется пограничный слой, в котором скорость газаравна нулю, и, следовательно, мы можем замерить только температуруторможения. По тем же причинам поверхность тел, движущихся с большойскоростью, бывает сильно разогрета. При большой скорости полета самолетаделается невозможным обледенение его поверхности. Например, при w == 900 км / ч (250 м / с) прирост температуры торможения составит 31 К.Поэтому при морозе 30 ˚C обледенения не происходит.Рассматривая истечение газа при отсутствии энергетического обмена,нетрудно убедиться, что скорость данного истечения не может быть вышенекоторой максимальной величины.

Из (2.43) следует, что эта скоростьдостигается тогда, когда теплосодержание (h) в потоке равно нулю, т. е. когдаполное теплосодержание газа целиком преобразуется в кинетическую энергию:T0 =wmax = 2h0 = 2C p T0 .(2.44)Если к выведенной системе уравнений (уравнения неразрывности,движения, энергии) присоединить уравнение Клайперона∂ρ ∂T ∂Pилиln P = ln ρ + ln R + ln Tи+=,(2.45)P = ρRTρTPто в результате будем иметь систему четырех уравнений, устанавливающихсвязь между четырьмя параметрами: P, w, T, ρ. Для определенияперечисленных величин нужно интегрировать эти дифференциальныеуравнения.

Задача является неопределенной и, как правило, имеет бесконечноемножество решений. Для отыскания единственного решения необходимо знатьдополнительные условия, т. е. граничные и начальные. Эти условия обычноуказываются в каждом отдельном случае. Отметим одну характернуюособенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. При обтеканиинеподвижного твердого тела в число граничных условий этой задачи входитравенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой границе.

Вразреженных газах, однако, условие прилипания газа к твердой стенке не имеетместа. В этом случае наблюдается скольжение газа по стенке.Граничные условия для температуры могут быть разнообразны. Обычнозадают в одних случаях такие величины, как распределение температуры поповерхности обтекаемых тел и температура жидкости на бесконечности (T∞);в других случаях – распределение теплоотдачи по поверхности, что, согласнозакону Фурье [q = λ (∂T / ∂n)], эквивалентно производной от температуры понормали к обтекаемой поверхности.

В число граничных условий входит и27величина давления в какой-нибудь одной точке, в основном вдалеке отобтекаемого тела.Начальные условия фигурируют лишь в нестационарных задачах ипредставляют собой задание пространственных распределений скоростей итемператур в некоторый «начальный» момент времени.Элементы теории подобияВвиду невозможности получить точное решение уравнений Навье–Стокса иуравнения энергии прибегают либо к приближенным решениям, либо кэкспериментам на моделях. В последнем случае возникает вопрос об условияхподобия для обтекания натурного объекта и его модели. Будем считать, что двафизических явления подобны, если отношения сходственных физическихвеличин одинаковы в сходственные моменты времени во всех сходственныхточках пространства.

Другими словами, физические явления подобны, еслилюбое из них может быть получено из другого путем изменения каждой изхарактеризующих явление величин в одинаковое число раз. Следовательно,подобные физические явления описываются одними и теми жедифференциальными уравнениями, отличающимися только постоянными иодинаковыми при всех членах множителями. Если эти дифференциальныеуравнения записать в безразмерном виде, то для двух подобных течений этиуравнения окажутся совершенно идентичными. Эти соображения являютсяосновой теории подобия.Приведем к безразмерному виду уравнение Навье–Стокса (2.26'), для чеговведем масштабы переменных величин, которым припишем индекс «нуль».Тогда (2.26') можно представить следующим образом:ρ 0 w0t02 ∂w  ρ 0 w0[ρ (w ∇ ) w ] =ρ+l0 ∂t Pη w= ρ 0 f 0 (ρf ) − 0 (∇P ) + 0 2 0 η 13 ∇ (∇w ) + ∇ 2 w .l0l0{[]}ρ0w02 / l0,Разделив все это выражение на величинуконвективной силе инерции, получим:пропорциональнуюl 0  ∂w ρ + ρ (w ∇ ) w =w0 t 0  ∂t l fP0η0= 0 20 ρf −∇P +η 13 ∇ (∇w ) + ∇ 2 w .2l 0 ρ 0 w0w0ρ 0 w0Это уравнение содержит безразмерные комплексы, являющиеся критериямиподобия, которым присвоены следующие названия:[]l0 / (w0 t0) = Sh – число Струхаля, показывающее отношение локальнойсилы инерции, вызванной неустановившимся характером движения, кконвективной силе инерции;(l0 f0) / w02 = Fr – число Фруда, показывающее отношение силы веса(объемной внешней силы) к конвективной силе инерции, т.

е. во сколько разпотенциальная энергия больше кинетической;28P0 / (ρ0 w02) = Eu – число Эйлера, показывающее отношение силыгидродинамического давления к конвективной силе, т. е. во сколько раздавление больше скоростного напора;η0 / (l0 ρ0 w0) = (l0 w0) / v0 = Re– число Рейнольдса, показывающееотношение сил вязкости и конвективных сил.При получении указанных критериев все действующие на жидкость силысравнивались с конвективными силами инерции. Можно, конечно, сравнивать идругие пары сил.

Тогда получим и некоторые иные критерии, но все они будутвыражаться через те же критериальные комплексы. Использование таких новыхкритериев не имеет практического смысла. Моделировать надо по главнымсилам, к которым в подавляющем числе задач и относятся конвективные силыинерции.Для сжимаемой жидкости число Эйлера может быть выражено так:Eu =P0ρ 0 w02=1 1,γ M2гдеCp wP при этом a 2 = γ ,,γ=aρC v т. е. в случае газовых течений появляются два дополнительных критерия:1) число Пуассона (γ = Cp / Cv); 2) число Маха (M =w / a).Выполнить условия полного подобия очень трудно. Если натурный объектработает в какой-либо среде, то при переходе к модели (с меньшими размерами)надо изменять скорость исходя из следующих требований:1Fr = idem w ~ l 0 ;Re = idem  w ~  ;M = idem (wм = wн ).l0 Одновременное выполнение этих требований невозможно. Однако вбольшинстве случаев добиваться полного подобия и не надо.

Обычно в каждойконкретной задаче некоторые члены уравнения (2.26') либо равны нулю, либомалы.M=()П р и м е р 1. Для самолета число Фруда не имеет значения, так как силатяжести, действующая на частицы воздуха, обтекающего самолет, мала. Если самолетдвижется с небольшой скоростью (M < < 1), то сжимаемости воздуха не происходит ипоэтому нет необходимости в выполнении требования M = idem.

Наконец, в случаеустановившегося движения самолета отпадает и требование Sh = idem. Здесьдостаточно удовлетворить условия геометрического и кинематического подобий итребование Re = idem. Испытание модели такого самолета в аэродинамической трубенеобходимо вести при очень большой скорости потока [wм = wн (lн / lм)]. Размерыlм не должны быть очень маленькими, иначе wм может возрасти настолько, чтонельзя будет пренебречь сжимаемостью, т.