Лекции Ивашкин МЖГ (Лекции Ивашкин МЖГ (очень замудренная, но вдруг кому нибудь пригодится)), страница 9

∂ / ∂n >> ∂ / ∂t.38При этих предположениях из уравнения неразрывности (2.4),определяющего количество газа, протекающего через единичную поверхностьскачка в единицу времени, получимρ1 wn1 = ρ 2 wn 2 = const .(3.1)Уравнение баланса энергии при адиабатическом движении (2.43) запишем так:22wwC p T1 + 1 = C p T2 + 2 = C p T0 .( 3 .2 )22Равенство (3.2) представляет собой закон сохранения полной энтальпии h0 газапри его прохождении через скачок уплотнения. Следовательно, сохраняется итемпература адиабатически заторможенного газа T0, а также a0, a∗, T*,т. е.:h10 = h20 = h0 ;T10 = T20 = T0 ;T1 * = T2 * = T * ;(3.2 ′)a10 = a 20 = a 0 ;a1 * = a 2 * = a * ;P10 P20P1 * P2 *;.==ρ10 ρ 20ρ1 * ρ 2 *Последние два уравнения написаны в соответствии с формулой Клайперона(P = ρRT).Уравнение состояния:P1P= 2 .ρ1T1 ρ 2T2Уравнение движения (2.26') запишем так: dw ρ + grad P = 0 , dt или (в проекциях на оси n, τ с учетом стационарности движения):(3.3) ∂w  ∂w  ∂P ∂w  ∂P1) ρwn  n  + ρwτ  n  += 0;→ ρwn  n  += 0; ∂n  ∂τ  ∂n ∂n  ∂n ∂w  ∂w  ∂P ∂w 2) ρwn  τ  + ρwτ  τ  += 0;→ ρwn  τ  = 0 . ∂n  ∂τ  ∂τ ∂n Из 1-го уравнения следует, что ρwn ∂wn + ∂P = 0, или, интегрируя, получим(с учетом, что ρwn = const)2ρwn + P = const ,т.

е.22ρ1 wn1 + P1 = ρ 2 wn 2 + P2 .(3.4)Из 2-го уравнения следует, что ∂wτ = 0, wτ = const, т. е.:wτ1 = wτ 2 .(3.5)Таким образом, касательная составляющая скорости при переходе черезскачок не меняется, поэтому косой скачок можно рассматривать как прямой,который сносится вместе с потоком газа вбок со скоростью wτ = const.39В косом скачке подвергается разрыву не полная скоростьнормальная компонента wn.Учитывая, чтоCpPP Cp PP γC pT = C p===,ρR ρ Rρ C p − Cv ρ γ − 1w 1,γR,γ −1перепишем уравнение энергии следующим образом:22w1γ P1 w2γ P2a *2 γ + 1+=+= C pT0 =,γ − 1 ρ1γ − 1 ρ2222 γ −1где, в соответствии с (2.49'),а лишь ееCp =a* =(3.6)2 γ RT0.1+ γТак как222w1 = wn1 + wτ ,то из (3.6) имеем22wγ P1 a * 2 γ + 1 wn1=−− τ .γ − 1 ρ12 λ −122Отсюда получим2 γ RT0 γ + 1 γ RT0=.(1 + γ ) ⋅ 2 λ − 1 γ − 1Аналогично(3.6 ′)γ +122− wn 2 − wτ  .λ −1 Далее, разделив уравнение (3.4) на ρ1 и заменив ρ2 / ρ1 из уравнениянеразрывности (3.1), получимP1 γ − 1  2=a *ρ12γ P2 γ − 1  2=a *ρ22γ γ +122− wn1 − wτ  ;λ −1wP12+ wn1 = n1wn 2ρ1Подставим (3.6') в (3.7):γ −12γ P2 + wn 2 2  . ρ2(3.7) 2 γ +1222 a *− wn1 − wτ  + wn1 =γ −1wn1  γ − 1  2 γ + 1222 a *− wn 2 − wτ  + wn 2  ,wn 2  2 γ γ −1и после упрощений данное уравнение будет иметь следующий вид:=wn1 ⋅ wn 2 = a *2 −40γ −1 2wτ .γ +1(3.8)С помощью уравнения (3.8) устанавливается связь между нормальнымисоставляющими скоростей при переходе через скачок.Найдем связь между термодинамическими параметрами.

Из (3.6') можнополучитьP γ −1Pγ −1222222a *2 =wn1 + wτ +wn 2 + wτ +γ 1 =γ 2.γ +1γ + 1 ρ1 γ + 1γ + 1 ρ2Подставив это в (3.8), выведем исходную систему:()()2γ − 1  wn 2 ρ 22  γ P2wn1 wn 2 =+. γ + 1  γ P2γ − 1  ρ2Далее, сначала приравняв уравнения в (3.9), получимwn1 wn 2γ −1=γ +1 wn1 2 ρ12  γ P1+; γPγ − 1  ρ112 wn1 2 ρ12  P2  wn 2 ρ 22 +=+ γP ρ  γP.γ−γ−1112 2Затем, перемножив уравнения системы (3.9), имеемP1ρ1(3.9)(3.10)−1222wn 2 ρ 2  wn1 ρ12   2 wn1 ρ1=+− 1 .(3.11) γP  γ −1 γ Pγ P2γ−111 Из (3.10) найдем отношение P1 / ρ1, заменим в нем ρ2 / ρ1 из уравнениянеразрывности и, подставив левую часть уравнения (3.11) с учетом wn 1 = w1 ×× sin β, получимP2 γ − 1  2 γ2=Μ 1 sin 2 β − 1 .(3.12)P1 γ + 1  γ − 1Аналогично можно получить:ρ2 γ + 1=ρ1 γ − 1−1 211+ γ − 1 Μ 2 sin 2 β  ;1(3.13)(3.14)+1 21× + 1 .22 γ − 1 Μ 1 sin β Из формулы (3.12) можно заключить, что нормальная составляющая скоростидо скачка больше скорости звука.

Действительно, так как (P2 / P1) > 1,тоT2 P2 ρ1  γ − 1 ==T1 P1 ρ 2  γ + 1  γ −1 γ + 12 2γ2Μ 1 sin 2 β − 1 × γ −1 2 γ wn1 2 > 1.−1 γ −1 a 21Отсюдаwn1> 1.a141Из последнего неравенства вытекает еще один вывод:wn1 w1 sin β== (Μ 1 sin β ) > 1,a1a1т. е.11sin β >;β > arcsin= α,Μ1Μ1где α – угол Маха.Таким образом, уголβкосого скачка, или скачка конечнойинтенсивности, всегда больше угла Маха.

Если β = arcsin (1 / М1) = α, то из(3.12) и (3.13) получим P2 / P1 = ρ2 / ρ1 = 1, т. е. косой скачок вырождаетсяв слабую (звуковую) волну уплотнения.Прямой скачок уплотнения. Мы установили, что параметры течения закосым скачком зависят от угла β скачка. При увеличении угла β давление,плотность и температура возрастают, а скорость уменьшается. В частномслучае, приβ = 90°,изменение параметров в скачке оказываетсямаксимальным.

Такой скачок называют прямым. Уравнения его получаются изприведенных ранее формул при β = 90°. Формулу для определения w2можно получить из (3.8), учитывая, что wτ = 0. При этом wn 1 = w1;wn 2 = w2 и w1 · w2 = a*2. Отсюда следует, что скорость газа за скачком меньшекритической. Это означает, что прямой скачок является наиболее интенсивным,вызывающим максимальное повышение давления и плотности. Из последнейформулы видно, что чем выше начальная скорость w1, тем меньше w2, т. е.тем сильнее становится скачок уплотнения. С уменьшением w1 скачокослабевает, а исчезает совсем при w1 = w 2 = a*.Ударная адиабата(энергетические потери в скачке)Уравнения (3.12) и (3.13) связывают между собой термодинамическиепараметры и скорость газа.

Можно, исключив из них величину М12 · sin2β,получить соотношение между термодинамическими характеристиками по обестороны разрыва – так называют уравнение ударной адиабаты, или адиабатыГюгонио: ρ2 γ + 1P2  γ + 1 ρ 2  − .(3.15)= 1 −P1  γ − 1 ρ1  ρ1 γ − 1 Представим это уравнение графически (см. рис.

11). [Уравнение вертикальнойасимптоты ρ2 / ρ1 = (γ + 1) / (γ – 1). Для воздуха γ = 1,4; ρ2 / ρ1 ≅ 6.]Таким образом, максимальная плотность, которую можно достигнуть спомощью ударной волны, составляетγ +1ρ 2 max = ρ1.γ −1Иными словами, сколь велик ни был бы скачок давления в ударной волне,плотность газа в ней не может возрасти больше чем в (γ + 1) / (γ – 1) разпо сравнению с обычным адиабатическим и изоэнтропическим сжатием газа.42Полученный результат подтверждает высказанное ранее предположение,что в некоторых случаях адиабатические течения не являютсяизоэнтропическими, т.

е. в них имеют место необратимые процессы переходамеханической энергии в тепловую. При наличии необратимых процессов вадиабатической системе энтропия должна возрастать. Составим выражение дляэнтропии в соответствии с (2.50): P  ρ γ   P2  P1 Rln  2  1   .ln  γ  − ln  γ  =  ρ 2  ρ1  γ − 1  P1  ρ 2  Как видно из рис.

11, при (ρ2 / ρ1) > 1 ударная адиабата расположена вышеизоэнтропической, поэтому выражение под логарифмом больше единицы иS2 > S1. Из сказанного также следует, что скачкаразрежения быть не может. В самом деле, при(ρ2 / ρ1) < 1 ударная адиабата расположена нижеизоэнтропической и в данном случае S2 < S1, чтопротиворечит второму началу термодинамики.Чтобыколичественнооценитьпотерюмеханической энергии движущегося газа припрохождении им скачка, условимся характеризоватьмеханическую энергию полным давлением P0, т. е.Рис. 11.

Адиабаты:давлением в адиабатически и изоэнтропически1 – ударная; 2 – изоэнтропическаязаторможенном газе. При этом за количественнуюхарактеристику необратимости процесса прохождения газа через скачок примемвеличину отношения полных давлений P20 за скачком к P10 до скачкаP20 / P10. В соответствии с (3.2'), Т10 = Т20, Р20 / Р10 = ρ20 / ρ10. Тогда, учитывая(2.51'), получимRS 2 − S1 =γ −1γγγ T  γ −1 T  γ −1 P  T  γ −1P20= P2  20 P1  10  = 2  1  .P10P1  T2  T2  T1 Подставим в это выражение формулы (3.12) и (3.14), взятые для прямого скачка(β = 90°):γγ −1 2γ2Μ 1 − 1 =  γ −1 (3.15′)γγ +11 2 γ −1 γ − 1  1− γ  2 γ 1− γ12 = Μ 1 − 1+1. γ −1 Μ 2 γ + 1  γ −11На рис.

12 представлен график соотношения (3.15') для воздуха (γ = 1,4).Как видно из рис. 12, чем больше величинаМ1, тем относительно меньшее давлениеР20 можно получить при последующемадиабатическомиизоэнтропическомторможении газа. Причина этого явления –необратимое превращение механическойэнергии в тепловую. Из рис.

12 также видно,что потери давления в скачке малойРис. 12. Потери энергии в скачкеинтенсивности, т. е. при числе М1, близком кP20  γ − 1   2 γ  212=  Μ 1 − 1 + 12P10  γ + 1   γ − 1  γ − 1 Μ1−γγ −12γ γ − 1  γ −1 γ + 143единице, весьма незначительны, так что с достаточной степенью приближенияоколозвуковые явления можно рассматривать как изоэнтропические.Прямоточный реактивный двигательПростым примером одномерного потока с прямым скачком уплотненияслужит проточная часть прямоточного реактивного двигателя (ПРД) (рис. 13).Назначение сверхзвукового диффузора заключается в превращениикинетической энергии потока, вошедшего внутрь двигателя, в давление,необходимое для повышенияинтенсивности горения топлива.При сверхзвуковом движенииобразуетсяпрямойскачокуплотнения.

Оптимальным былобы расположение его в горле IIдиффузора (см. рис 13). В самомделе, в этом случае набегающийсверхзвуковойпотокбудетзамедляться в сужающемся каналеРис. 13. Прямоточный реактивный двигатель:1 – сверхзвуковой диффузор (воздухозабор); 2 – форсунки;(на участке I–II),перейдет3 – камера сгорания; 4 – сверхзвуковое соплоскачком в дозвуковой поток и,оказавшись далее в расширяющемся канале (II–III), будет продолжатьзамедляться, восстанавливая давление.В действительности же картина выглядит иначе. При сверхзвуковом полетевозникает отошедшая головная волна, имеющая прямолинейный участок,который можно рассматривать как прямой скачок.

Наличие его на входе резкоуменьшает КПД двигателя. Осуществим следующую оценку. Пусть скоростьаппарата w > a1, давление в набегающем потоке Р1, давление в камересгорания Р'2. Предполагая сначала процесс протекания воздуха сквозь камерусгорания изоэнтропическим (т. е. без скачка) и пренебрегая малой скоростьюдвижения воздуха в камере, получим:γ γ −12  γ −1(для воздуха γ = 1,4 );P2 = P20 = P10 = P1 1 +Μ1 22 3, 5′P2 = P1 1 + 0,2 Μ 1.Если М1 = 2, получим сжатие воздуха в камере Р'2 / P1 = 1,8 3,5 ≅ 8.На высоте H = 10 км давление составляет Р1 = 0,26 ата в камере сгоранияпри М = 2 (что соответствует скорости самолета 2160 км/ч на высоте10 км); при изоэнтропичности торможения Р'2 = 2 ата. Такое повышениедавления хорошо отразилось бы на работе двигателя.