Лекции Ивашкин МЖГ (Лекции Ивашкин МЖГ (очень замудренная, но вдруг кому нибудь пригодится))

ВВЕДЕНИЕПри изучении основ физики и теоретической механики можно подметитьследующую основную особенность: вводимые и применяемые понятия в этихнауках имели определенный и точный смысл только в рамках некоторогомножества моделей, которые конструировались и применялись для научногоописания реальных явлений. Это относилось и к таким фундаментальнымпонятиям, как «пространство», «время», «сила». В самом деле, мы обычнопользуемся трехмерным евклидовым пространством, точки которого задаютсяс помощью декартовой системы координат x, y, z.

В любом ли пространствеможно ввести декартову систему координат? Очевидно, что это можно сделатьна плоскости, а на поверхности сферы, кривизна которой не равна нулю, –нельзя. На сфере декартову систему координат можно ввести только в малойокрестности каждой точки. Так же обстоит дело и со временем. Мы обычнопринимаем, что время течет одинаково для всех наблюдателей (в поезде, всамолете, в аудитории и т. д.). Следовательно, мы пользуемся абсолютнымвременем, но такая идеализация не пригодна при описании процессов, когдаучитываются эффекты теории относительности.

Представление о ньютоновскойсиле не имеет смысла в некоторых взаимодействиях, описываемых квантовоймеханикой. Таким образом, нельзя говорить об основных понятиях изакономерностях вне совокупности определенных классов моделей, которыеуже введены или могут быть введены.В теоретической механике изучение простейших форм движения ивзаимодействия материальных тел основывается на модели, которая неучитывает внутреннюю микроструктуру тела, она «отвлекается» от многихдействительных свойств тел и использует в качестве допустимой абстракциипонятия материальной точки и системы материальных точек.

Материальнаясистема может быть как дискретной, состоящей из отдельных материальныхточек, так и сплошной, представляющей непрерывные распределения вещества впространстве. В этом случае систему называют сплошной средой. Примерамисплошной среды могут быть: 1) неизменяемая среда (абсолютно твердое тело);2) изменяемая среда (жидкость, газы, упругие тела, пластические тела). Вмеханике сплошной среды с помощью методов, развитых в теоретическоймеханике, рассматриваются движения изменяемых сред, т.

е. таких, которыезаполняют пространство непрерывно, сплошным образом, и расстояния междуточками которых во время движения меняются. Если мы рассматриваемдвижение только жидкости и газа, то это – механика жидкости и газа.Вводя понятие сплошной среды, необходимо отметить, что это тоже некаяфизическая модель, в одних случаях приемлемая, в других – нет. Приписатьсреде свойство сплошности – значит удовлетворить следующему условию: вовсех задачах линейные размеры выбираемых элементарных объемов должныбыть настолько малыми по сравнению с характерными линейными размерамитела, чтобы их можно было считать точками; в то же время их объемы должныбыть настолько большими, чтобы содержащихся в них молекул и атомов было3достаточно для определения статистических средних значений физическихвеличин.

Эта идеализация, в частности, необходима потому, что мы хотим приисследовании движения использовать аппарат непрерывных функций, а такжедифференциальное и интегральное исчисления.Кроме того, свойства принятой модели – основные в кинематике. Длядинамики существенно второе основное свойство жидкой или газообразнойсреды – ее легкая подвижность, или текучесть: данное свойство выражено втом, что касательные напряжения (внутреннее трение) в среде отличаются отнуля только при наличии относительного движения сдвига между слоямисреды. При относительном покое внутреннее трение отсутствует, и в этомзаключается особенность жидкой или газообразной среды от упругой(в последней касательные напряжения отличаются от нуля и при относительномпокое среды).Количественная связь между касательными напряжениями и скоростямисдвига может быть различной. Установление наиболее общих законов этойсвязи составляет цель специальной науки – реологии (гр.

rheos течение, поток ++ …логия). Реологические законы важны для таких жидкостей, как расплавыпластических материалов, масляные краски, целлюлоза и др.В нашем курсе мы будем иметь дело с двумя простейшими моделямижидкой и газообразной среды: 1) идеальной (без внутреннего трения); 2) вязкой(ньютоновской, с напряжением трения). Все газы и многие жидкости (вода,глицерин) являются обычными ньютоновскими вязкими средами.Обладая общими свойствами непрерывности и подвижности, жидкости игазы отличаются друг от друга физическими свойствами, связанными снеодинаковостью их внутренних молекулярных структур. В отличие от газарасстояния между молекулами в жидкости крайне малы, что приводит квозникновению значительных молекулярных сил сцепления.

Жидкости поддействием этих сил подвергаются столь сильному сцеплению, что влияниевнешних сил почти совершенно не сказывается на изменении объема жидкостей(исключение – подводный взрыв, гидравлический удар и др.). Поэтому вотличие от газа жидкости можно считать малосжимаемыми, а иногда простонесжимаемыми. В газах межмолекулярные расстояния велики, а силывзаимодействия между молекулами сравнительно малы. В связи с этим газыобладают свойством сжимаемости.

Однако в случае наличия малых перепадовдавлений, малых скоростей движения и отсутствия значительных нагревов и газможно с достаточной степенью приближения рассматривать как несжимаемый.Таким образом, свойство сжимаемости не является чем-то, присущим однойсреде и не имеющим места в другой. Все сплошные среды сжимаемы, ностепень их сжимаемости зависит от динамических и термодинамическихусловий движения.

В связи с этим в дальнейшем жидкость и газ будем называтьодним и тем же словом – «жидкость», различая, когда это существенно,несжимаемую и сжимаемую жидкости.4Раздел 1. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫЗадание движения сплошной среды.Индивидуальная и местная производныеПо определению, знать движение сплошной среды – значит знать движениевсех ее точек.

Индивидуальные точки сплошной среды можно задаватьзначениями их начальных координат. Координаты точек в начальные моментывремени t0 будем обозначать: x0, y0, z0, а координаты точек в любой моментвремени – x, y, z. Для любой точки, выделенной координатами x0, y0, z0,можно написать закон движения:x = x (t, x0, y0, z0),y = y (t, x0, y0, z0),z = z (t, x0, y0, z0).(1.1)Если в (1.1) x0, y0, z0 – фиксированы, а t – переменно, то мы получим закондвижения одной точки среды. Если x0, y0, z0 – переменны, а t – фиксировано,то мы получим распределение точек среды в пространстве в данный моментвремени.Координаты x0, y0, z0 (индивидуализирующие точки среды) и время tявляются переменными Лагранжа.Предположим теперь, что нас интересует не само движениеиндивидуальных точек среды, а то, что происходит в разные моменты времени вданной точке пространства.

Пусть наше внимание концентрируется наопределенной точке пространства, в которую попадают различные частицысплошной среды. Это составляет суть точки зрения Эйлера на изучениедвижения среды. Геометрические координаты пространства x, y, z и время t– переменные Эйлера. Движение среды, по Эйлеру, задается полем скоростей:wx = wx (t, x, y, z),wy = wy (t, x, y, z),wz = wz (t, x, y, z)(1.2)(w =i wx + j wy +κ wz – задание картины поля скоростей).Если в (1.2) x, y, z – фиксированы, а t – переменно, то мы получимизменение со временем скорости в данной точке пространства для различныхчастиц, попадающих в эту точку. При фиксированном t и переменных x, y, zэти функции дают распределение скоростей в определенный момент времени.Распределение скоростей можно задать с точки зрения как Лагранжа[w (t, x0, y0, z0)], так и Эйлера [w (t, x, y, z)].

Если распределение скоростизадано по Лагранжу, то изменение скорости w в единицу времени t частицысреды найти просто. Оно будет равно производной dw / dt.5Как вычислить ту же величину, если распределение скорости задано поЭйлеру: w (t, x, y, z)? Очевидно, что для этого надо перейти от переменныхЭйлера к переменным Лагранжа:w (t, x, y, z) = w [t, x (t, x0, y0, z0), y (t, x0, y0, z0), z (t, x0, y0, z0)]– и воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

Тогда dw  ∂w ∂w  ∂x  ∂w  ∂y  ∂w  ∂z += + + , dt  ∂t ∂x  ∂t  ∂y  ∂t  ∂z  ∂t где ∂x / ∂t; ∂y / ∂t; ∂z / ∂t – производные, берутсяпри постоянныхследовательно, являются компонентами скорости wx, wy, wz.x0, y0, z0и,Поэтому∂w∂w∂w dw  ∂w+ wx+ wy+ wz.=∂x∂y∂z dt  ∂tТаким образом, мы получили выражение вектора ускорения в эйлеровыхпеременных. Вводя некоторый условный вектор с проекциями∇x =∂,∂x∇y =∂,∂y∇z =(1.3)∂,∂zпредставим (1.3) так:dw ∂w∂w=+ wx ∇ x w + w y ∇ y w + wz ∇ z w =+ (w ∇ ) w .(1.4)∂t∂tdtПроизводная dw / dt, характеризующая изменение скорости со временемв данной точке сплошной среды, называется полной, или индивидуальной, илисубстанциональной.Производная ∂w / ∂t, характеризующая изменение скорости в даннойточке пространстваx, y, z,называется местной, или локальной.Она характеризует нестационарность среды (если среда стационарна, то∂w / ∂t = 0).Величина (w∇)w, образующаяся за счет изменения координат точки,соответствующей передвижению (конвекции) ее в поле физической величины,называется конвективной производной.

Она характеризует неоднородность поляв данный момент времени.В общем случае выражениеd∂= + w∇(1.5)dt ∂tможно рассматривать как некий оператор индивидуальной производной. Этотоператор может применяться к скалярным функциям, а также к тензорнымвеличинам, связанным с движущейся частицей.Линии тока и траекторииЕсли движение жидкости задано в переменных Лагранжа, тогеометрическое представление потока дается траекториями. В переменныхЭйлера для геометрической интерпретации потока пользуются линией тока, т.

е.такой линией, в каждой точке которой в данный момент времени вектор6скорости совпадает с касательной к этой линии. Совпадение не только линийтока для различных моментов времени, но и их траекторий имеет место в случаеустановившегося, или стационарного, движения. При нестационарном течениилинии тока, построенные для различных моментов времени, не будут совпадатькак между собой, так и с траекториями. Из определения линии тока следует, чтов каждой ее точке нормальная составляющая скорости равна нулю (т.