Лекции Ивашкин МЖГ (Лекции Ивашкин МЖГ (очень замудренная, но вдруг кому нибудь пригодится)), страница 2

е. черезлинию тока нет перетекания). Такимобразом, между двумя произвольнымилиниями тока количество текущейжидкостипостоянно.Есличерезповерхность обтекаемого тела жидкостьне проходит, то эта поверхность являетсяРис.1. Нулевая линия токаповерхностью тока.

Для плоскогообтекания это будет линия тока, котораяназывается нулевой линией тока (рис. 1).Так как касательная к линии тока совпадает с вектором скорости, тоуравнение линии тока можно записать следующим образом:dl × w = 0 ,где δ λ – элемент линии тока; w – скорость;ijdxwxdywykdz = 0 ,wzилиdx dy dz== ,wx w y wzилиdx w xdz w z== .;(1.6)dy w ydx w xВ общем случае через любую точку в данный момент времени можно провестилишь одну линию тока. Но существуют некоторые особые точки, в которых этоправило нарушается: в них линии тока пересекаются и, следовательно, векторскорости должен иметь разные направления, что при конечном значениискорости невозможно. Поэтому в особых точках скорость должна быть равналибо нулю, либо бесконечности.

На рис. 1 критическими точками являются Аи А1 – в них скорость равна нулю.Скоростное поле сплошной среды в окрестности точки.Первая теорема ГельмгольцаВозьмем бесконечно малую частицу сплошной среды и найдемраспределение скоростей в этой частице. Под бесконечно малой частицей будемпонимать совокупность точек среды с координатами ηi + dηi = ηi + ρi,7удаленных от центра 0 на бесконечномалые расстояния ρ. Пусть скоростьточки 0 есть w 0, а любой точки 01– w 1 (рис.

2).Рассмотрим разложение скоростейв окрестности точки 0 с точностью домалых первого порядка по ρ (рядТейлора). Скорость средыwвРис. 2. Скоростное поле сплошной средыокрестности точки является регулярнойфункцией точки (регулярная функция – это функция без разрывов), чтопозволяет применить разложение в степенной ряд: ∂w w1 = w0 +  i  ρ i , ∂η (1.8)гдеρ = η1 τ + η 2 τ + η3 k .Уравнение (1.8) выражает скорость любой точки 01 бесконечно малойчастицы сплошной среды через скорость ее центра w0, производные от w покоординатам в центре и координаты рассматриваемой точки.Запишем уравнение (1.8) в тензорном виде:w1 = w0 + ∇ i wk ρ i э k ,где∇i – оператор Гамильтона; эk – векторы базиса (∋∋1 =i; э2 =j; ∋3 =κ ).Введя сопряженный тензор ∇k wi , запишем предыдущее уравнение вследующем виде:11w1 = w0 + (∇ i wk − ∇ k wi ) ρ i ∋ k + (∇ i wk + ∇ k wi ) ρ i ∋ k .(1.9)22В уравнении (1.9) присутствуют члены, содержащие антисимметричныйтензор wki и симметричный тензор lki :(1.10)11  ∂wk ∂wi .l ki = (∇ i wk − ∇ k wi ) =  i −22  ∂η∂η k Таким образом, скорость точек частицы сплошной среды разбита на трисоставляющие, первая из которых w0 (wx0 , wy0 , wz0) не зависит от координати, следовательно, представляет скорость поступательного движения всейчастицы.

Выясним кинематический смысл остальных составляющих.Рассмотрим вторую составляющую, для которой запишем таблицуантисимметричного тензора:wki =1(∇ i wk − ∇ k wi ) = 1  ∂wki − ∂wi22  ∂η∂η k0wki =81  ∂w y ∂w x −2  ∂x∂y 1  ∂wz ∂wx −2  ∂x∂z 12 , ∂wx ∂w y −∂y∂x012 ∂wz ∂w y−∂z ∂y1  ∂w x ∂wz −2  ∂z∂x 1  ∂w y ∂wz  .−2  ∂z∂y 0Каждый член этой таблицы выглядит следующим образом:1  ∂wx ∂w y  = −ω z , −2  ∂y∂x 1  ∂wx ∂w z − = ωy ,2  ∂z∂x w∂1  ∂wzy  = ω x .−2  ∂y∂z С учетом (1.11) таблицу можно представить так:0− ωzωyωz− ωy0ωx− ωx0(1.11).Отсюда видно, что члены таблицы являются угловыми скоростямивращательного движения частицы сплошной среды относительно начальнойточки, т.

е. вторая составляющая в (1.9) характеризует вращательное движениечастицы вокруг полюса с угловой скоростьюω = ω x i + w y j + wz k .Для выяснения кинематического смысла третьего слагаемого в (1.9)запишем таблицу симметричного тензора lki второго ранга:∂wx1  ∂w x ∂w y  1  ∂wx ∂wz ++∂x2  ∂y∂x  2  ∂z∂x S&xx S&xy S&xzwww∂∂∂∂w∂w11yy y + z  = S&yx S&yy S&yz . (1.12)l ki = + x 2  ∂x∂y ∂y2  ∂z∂y S&zx S&zy S&zz∂wz1  ∂w z ∂wx  1  ∂w z ∂w y ++2  ∂x∂z  2  ∂y∂z ∂zВходящая в выражение (1.12) совокупность величин Śij носит названиетензора скоростной деформации.

Компоненты Śxx, Śyy, Śzz, расположенныевдоль главной диагонали, называются диагональными, остальные являютсянедиагональными.Диагональные компоненты представляют собой скорость относительногоудлинения (сжатия) отрезков среды; недиагональные – скорость перекосовэлементарного объема (они равны половине скорости скашиванияпервоначальных прямых углов, образованных отрезками среды).Найдем скорость относительного объемного расширения элементарногожидкого объема в данной точке движущейся жидкости:∂w y ∂w x ∂w y ∂wz+ ∆x ∆z∆y  =++= div W = S&xx + S&yy + S&zz .

∂y∂y∂z ∂x1 d1 d(∆x ∆y ∆z ) = 1  ∆y ∆z ∂∆x + ∆y ∆x ×∆V =∆V dt∆V dt∆V ∂t∂wx∂wz1 ∂∆z∂∆y ×+ ∆x ∆z∆x + ∆y ∆x∆z + ∆y ∆z=∂t∂t  ∆V ∂x∂zΘ=(1.13)9Итак, сумма диагональных компонент характеризует относительноеизменение объема в единицу времени. Следовательно, из уравнения (1.9)вытекает следующая теорема Гельмгольца: любое движение элементарногообъема жидкости можно в данное мгновение рассматривать как результатсложения двух движений – к в а з и т в е р д о г о (состоящего изпоступательного движения вместе с полюсом и вращательного вокруг него) ид е ф о р м а ц и о н н о г о. Уравнение (1.9) перепишем в таком виде:w = w + 1 rot w d l + S& d l .(1.14)02Рассмотрим частный случай идеальной (невязкой) и несжимаемой (∆V = 0)среды (вода). Для идеальной жидкости вязкость между слоями отсутствует,а Śxy, Śxz и т.

д. равны нулю, так как скоса углов нет (∆V = 0), т. е.∆V = S&xx + S&yy + S&zz = 0(1.15)и∂w x ∂w y ∂w z++= div w = 0 .∂x∂y∂z(divw = 0 – условие несжимаемости деформируемой среды.)Вихревая линия. Теоремы о вихряхЕсли в пространстве, занятом жидкостью, существуют области, в которыхω ≠ 0, т. е. внутри их имеет место вращение частиц жидкости, то движение втаких областях называется вихревым (например, в области пограничного слоя,образующегося вокруг твердого тела, обтекаемого потоком вязкой жидкости). Впограничном слое по направлению нормали к поверхности тела скорость резковозрастает, и поэтому в нем ω ≠ 0 (∂w / ∂n ≠ 0).Линия называется вихревой, когда в каждой ее точке касательная совпадаетс направлением вектора угловой скорости ω. Дифференциальное уравнениевихревой линии получается из соотношения ωdl = 0 и имеет видdx dy dz==.(1.16)ωx ω y ωzВихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой кривой C(не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии.

Из определениявихревой линии и вихревой поверхности следует, что в любой точке такихлиний и поверхностей нормальная составляющая угловой скорости равна нулю.Потоком вектора угловой скорости Jσ через поверхность σ называютинтеграл:J σ = ∫ ω n dσ ,(1.17)σгде ωn – проекция угловой скорости вращения на нормаль к поверхности σ.Другая теорема Гельмгольца – о вихрях: поток вектора угловой скоростичерез замкнутую поверхность всегда равен нулю. Докажем ее.Действительно, путем непосредственных вычислений из формул(1.11) получим, с одной стороны, что10∂wx ∂w y ∂wz∂ 1  ∂wz ∂w y  + ++=−∂x∂y∂z∂x 2  ∂y∂z (1.18)∂ 1  ∂wx ∂w z  ∂ 1  ∂w y ∂w x  = 0,+−−+∂y 2  ∂z∂x  ∂z 2  ∂x∂y а с другой, – что если поверхность σ замкнутая, то, согласно теоремеОстроградского (о преобразовании объемного интеграла в поверхностный),div ω =∫ (div ω) dV = ∫ ω dσ ,nσVгде V – объем, ограниченный поверхностью σ.Но тогда, согласно (1.18), находим, что∫ ω dσ = 0 .(1.19)nσИз формулы (1.19) вытекает важное свойство вихревых трубок.

Выделимв вихревой трубке некоторуюзамкнутуюповерхность(рис. 3), образованную двумялюбымипоперечнымисечениями (σ1 и σ2) ибоковой поверхностью. Таккак поток вектора угловойскоростипобоковойРис. 3. Вихревая трубкаповерхности равен нулю, то,согласно (1.19):∫ω1nσdσ 1 = ∫ ω 2 n dσ 2 .(1.20)σОтсюда, вследствие произвольного выбора сечений σ1 и σ2 , получаем, чтопоток вектора угловой скорости в данный момент времени по длинеэлементарной вихревой трубки не меняется.

Следовательно, этот поток естьвеличина, характерная для всей вихревой трубки, и ее (величину) называютинтенсивностью (или напряжением) вихревой трубки.Если величина вектора угловой скорости постоянна по поперечномусечению вихревой трубки, то из (1.20) получимω1n σ1 = ω2n σ2 = ωin σi = const.На основе этого сделаем следующий вывод: сечение вихревой трубки неравняется нулю, так как в подобном случае ω → ∞, что физически неверно.Таким образом, вихревая трубка не обрывается внутри среды. Но, однако,можно выделить только четыре типа вихревых трубок, т. е.

когда «вихревойшнур» (вихревая трубка): 1) начинается и заканчивается на свободнойповерхности жидкости; 2) начинается на свободной поверхности жидкости, азаканчивается на твердой стенке; 3) начинается и заканчивается на твердойстенке; 4) является замкнутым.В идеальной жидкости вихри не могут изменять свою интенсивность, оникак бы «обречены» существовать вечно, не имея возможности возникать и11вырождаться.