Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения)

1МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТИ. М. Аксененкова Т.Р. Игонина О.А. МалыгинаН.С. ЧекалкинА.Г. ШуховРедактор: Н.С. ЧекалкинМатематический анализ3 семестрУчебно-методическое пособиеДля студентов очной формы обученияинститута РТС и Физико-технологического институтаМоскваМИРЭА20162Утверждено редакционно-издательским советом Московского технологического университета в качестве учебного – методического пособия для студентовПодготовлено на кафедре Высшей математики -2Рецензенты: Бобылева Т.Н., к.ф-м.н.Приходько В.Ю., д.ф-м.н.И. М.

Аксененкова, Т.Р. Игонина, О.А. Малыгина, Н.С. Чекалкин,А.Г. ШуховМатематический анализ, 3 семестр: учебно- методическое пособие /Аксененкова И. М., Игонина Т.Р., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С.,Шухов А.Г. М.: МИРЭА, 2016, 102 с.Учебно-методическое пособие по курсу "Математический анализ" (3семестр) предназначено для студентов института РТС и Физикотехнологического института МИРЭА.

Пособие включает следующие разделы: числовые ряды, функциональные ряды, ряды Тейлора, ряды Фурье,интегралы Фурье, преобразования Фурье, приложения рядов, решениеволнового уравнения методом Фурье. Оно поможет успешно освоить этитемы. Материал пособия можно использовать при изучении таких дисциплин, как дифференциальные уравнения, математическая физика, теориявероятности и случайные процессы, радиотехника, теория автоматическогоуправления и др.© Аксененкова И.М. Игонина Т.Р.Малыгина О.А.

Чекалкин Н.С.Шухов А.Г. , 2016© МИРЭА, 20163ВведениеПособие разработано коллективом преподавателей кафедры высшейматематики-2 Московского технологического университета (МИРЭА) длястудентовочнойформыобученияинститутаРТСиФизико-технологического института. Пособие содержит краткий теоретическийкурс математического анализа 3-го семестра, список теоретических вопросов для подготовки к сдаче экзамена (зачета), перечень рекомендуемой литературы, варианты контрольных работ по курсу, образец билета, типовойрасчет.Содержание курса. Основное содержание курса математическогоанализа 3-го семестра (очная форма обучения) составляют следующиеразделы: числовые ряды (понятие сходимости ряда, признаки сходимостирядов с положительными членами, знакочередующийся ряд, абсолютная иусловная сходимость, теорема Лейбница, действия с рядами); функциональные ряды (область сходимости ряда, равномерная сходимость, теоремаВейерштрасса о равномерной сходимости, непрерывность суммы ряда,почленное интегрирование и дифференцирование функционального ряда,степенной ряд, ряд Тейлора); ряд Фурье, интеграл Фурье и преобразованиеФурье; решение волнового уравнения методом Фурье.Структура пособия.

В пособие включен раздел «Основные типызадач по математическому анализу (3-ий семестр)». Этот раздел содержитдве части. В первую часть включены задачи для самостоятельной работыстудентов (выполнение домашних работ, подготовка к контрольной работе№1), во вторую - задания типового расчета. В пособие включено «Приложение». По существу - это краткий теоретический курс, в котором приводятся основные определения и теоремы курса, разбираются алгоритмы решения типовых задач курса.4От студента требуется успешное овладение материалом, т.е.

необходимо знать основные определения, формулировки и доказательства основных теорем курса, а также уметь решать типовые задачи курса.Методические указанияВ течение 3-го семестра по курсу математического анализа выполняются две контрольные работы и типовой расчет.Контрольная работа №1 проводится по теме «Числовые ряды».Цель. Проверить усвоение методов исследования сходимости числовыхрядов.Содержание. В контрольную работу входят задачи, аналогичные задачамчасти 1 данного пособия (т.е. задачи №1.1, 1.2, 1.3).Примерный вариант контрольной работы №11.

Исследовать ряд на сходимость, ответ обосновать:(nа)5)2etg8n21 ;б).n 1n 17nn9n 16; в).3n 5n29n ln n52. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость, ответ обосновать:( 1) nа).n 1111sin 4 ( ) tg ();nn 53. Вычислить сумму ряда( 1) n arctg (б).n 1Sn 17.(n 12)(n 13)19n 15)5Контрольная работа №2 проводится по теме «Функциональные ряды».Цель. Проверить усвоение приемов нахождения области сходимости ряда,приемов разложения функции в степенной ряд, умений исследовать ряд наравномерную сходимость.Содержание. В контрольную работу №2 входят задачи, аналогичные задачам №2.2, 2.4, 2.5 из части 2 данного пособия.Примерный вариант контрольной работы №21.

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимостьна концах интервала.а)n( x 5) n sin 6 (n 11);n 8(xб)n 22n3) n.n ln n2. Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Указать область сходимости полученного степенного ряда.а) f ( x)( x 2)e 2 x 9 ,x02;x 3,5x 7б) f ( x)x03.3. Доказать, что функциональный ряд сходится равномерно в указаннойобластиn 1nx 3,n6x6x(,).Типовой расчет. В типовой расчет входят задачи из части 2. Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта.

Студент подробно описываетрешение каждой задачи, объясняет решения задач преподавателю, отвечает на вопросы. Наличие выполненного типового расчета является обязательным условием допуска студента на экзамен или зачет.По итогам обучения на основе учебного плана проводится экзаменили зачет.6Примерный вариант экзаменационного (зачетного) билета1. Исследовать ряд на сходимость, ответ обосновать:15а).n 1n3nn2б).n( 1) n 1 arctg (n 12.

Найти интервал сходимости степенного ряда8)7n 15(x4) n. Ис8nn 2 5n lnследовать сходимость ряда на концах интервала.3. Задана функция f ( x)ln(12 x7) , x02 . Разложить функциюf (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Указать область сходимо-сти ряда.4. Разложить функциюf ( x)9 x , заданную на интервале (,),в ряд Фурье.

Обосновать сходимость ряда Фурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье.(n5. Вычислить сумму ряда1) x n . Ответ обосновать.n 06. Теоретический вопрос (из списка теоретических вопросов).7. Доказать равномерную сходимость рядаn 1n cos 2 (nx), x3n nx 2(,)8. Метод Фурье решения волнового уравнения. Пример.Замечание: по усмотрению преподавателя количество задач билета можетбыть изменено.Теоретические вопросы по курсу1.Определение числового ряда, его сходимости. Примеры сходящихся ирасходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числовогоряда.

Признаки сравнения рядов с положительными членами.72.Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки Кошисходимости рядов с положительными членами.3.Определение знакочередующегося числового ряда. Определение абсолютной и условной сходимости. Признак Лейбница сходимостизнакочередующегося ряда.4.Свойства абсолютно сходящихся рядов. Свойства условно сходящихся рядов.

Примеры.5.Определение функционального ряда, его области сходимости. Равномерная сходимость функционального ряда. Теорема Вейерштрасса.6.Теорема о непрерывности суммы функционального ряда. Теорема опочленном интегрировании функционального ряда. Теорема опочленном дифференцировании функционального ряда.7.Определение степенного ряда.

Теорема Абеля. Радиус сходимостистепенного ряда. Поведение ряда на концах интервала сходимости.8.Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов.9.Необходимое условие разложимости функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена.10. Критерий разложимости функции в степенной ряд. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Разложения элементарxных функций в ряд Маклорена ( e , sin x, cos x, ln (1x), (1 x)m ).11.

Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений, к приближенным вычислениям значения функции и определенного интеграла.812. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций. КоэффициентыФурье. Разложение в ряд Фурье четной и нечетной функции. Примеры.13. Ряд Фурье на произвольном периоде. Теорема Дирихле о сходимостиряда Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.14. Интеграл Фурье в вещественной и комплексной форме.

Преобразование Фурье.15. Постановка краевых задач для уравнения колебаний струны.16. Метод Фурье решения волнового уравнения.Рекомендуемая литература1. Аксененкова И.М., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С., Шухов А.Г.Ряды. Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Приложения.

М.: МИРЭА,2015.2. Архипов Г.И.. Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 2000.3. Бугров Я.С, Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике. М., 2001.4. Ильин В.А, Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Издво физ.-мат. лит., 2002.5. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., ЗаляпинВ.И. Вся высшая математика. Том 1- 4.

М.: URSS, 2005.6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1 и 2. М.: Дрофа,2004.7. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И, Сборник задач по курсу математического анализа. Т.2, 3. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2003.8. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Лань, 2005.9Основные типы задачпо курсу математического анализа (3-ий семестр)Материал данного раздела содержит две части:- часть 1 «Числовые ряды»;- часть 2 «Типовой расчет».Часть 1Числовые рядыЗадачи части 1 составляют основу контрольной работы №1. Дляуспешной сдачи контрольной работы рекомендуется прорешать все задачичасти 1.