Электричество и магнетизм

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТРАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМУЧЕБНОЕ ПОСОБИЕМОСКВА 20053Часть I. ЭЛЕКТРИЧЕСТВОВВЕДЕНИЕС древних времен известно, что янтарь, если его потереть омех, способен притягитвать легкие предметы. В 1600 г. английский врач Джилберт исследовал это явление и нашел, что аналогичным свойством обладают другие веществаПодобные явления назвали электризацией (от греческогоэлектрон − янтарь), а тела, обладающие способностью притягивать легкие предметы после того, как их потерли о мех (стекло ошелк), стали называть наэлектризованными.Исследования показали, что существует два вида электричества.

Условились, что на янтаре, потертом о мех, возникает отрицательное электричество, а на стекле, потертом о шелк − положительное.Было найдено, что наэлектризованные тела вступают междусобой во взаимодействие. Для количественной оценки степениэлектризации ввели понятие заряда.Физическая величина, характеризующая свойство телвступать при определенных условиях в электрическое взаимодействие, называется электрическим зарядом.В международной системе физических величин (СИ) в качестве единицы электрического заряда выбран 1 кулон (Кл).

Этоне основная единица. Заряд в 1 Кл определяется как заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за одну секундупри силе тока в нем в 1 А.Сейчас ясно, что микроскопическими носителями зарядовмогут являться заряженные частицы и ионы. Они могут нести заряды разных знаков.

Исследования показали, что заряд любоготела по числовому значению всегда кратен эелементарному заряду е|е|≈1,6⋅10−19 Кл.Носителями элементарного заряда являются частицы, называемые элементарными. Существует лишь несколько элементарных частиц, обладающихэлектрическим зарядом, с бесконечнымвременем жизни (электрон, протон и их античастицы).4В настоящее время принимается, что электроон − точечнаябесструктурная частица с зарядом −е массой me≈9,1⋅10−31 кг.Протон − носитель заряда +е, и он имеет сложную структуру, т.е.

состоит из отдельных частиц − кварков.Элементарные заряды не могут бесследно исчезать и возникать вновь, однако, могут исчезать и рождаться заряды противоположных знаков. Эта особенность поведения электрических зарядов сформулирована в виде одного из основных законов природы − закона сохранения заряда.Суммарный заряд изолированной системы не может изменяться.Исследования показали, что величина заряда, измеренная вразличных инерциальных системах отсчета, одинакова. Это означает, что электрический заряд является релятивистски инвариантным.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ1.1.

Закон КулонаТочечным зарядом называется заряженное тело, размеромкоторого можно пренебречь по сравнению с расстоянием отэтого тела до других тел, несущих электрические заряды.В 1785 г. французский ученый Шарль Кулон экспериментально установил, что для силы взаимодействия двух точечныхзарядов выполняется следующее соотношение:qqF = k 122 ,rт.е. сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна величине зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.В более общем виде закон Кулона можно записатьrrrqq rF21 = k 1 3 2 r12 и F21 = − F12r125F12F21r12q2q1Рис.1.1рующая сила будетОпыт показывает, что сила взаимодействия двух зарядов не меняется, если вблизи них поместитьеще какой−нибудь заряд. Такимобразом, если на заряд qi действуетN зарядов q1,q2,…,qN, то результиr N rF = ∑ F jij =1(1.1)В настоящее время доказано, что закон Кулона выполняетсяв диапазоне расстояний между зарядами от 10−16 до 107 м.В системе СИ закон Кулона имеет видr1 q1q2 r(1.2)F21 =r12 ,4πε 0 r123здесь ε0 ≈ 8,85⋅10−12 Кл2/(Н⋅м2) − электрическая постоянная.1.2.

Понятие об электрическом поле. Напряженность электрического поля1.2.1.Напряженность электрического поляДо первой половины XIX века в теории электромагнетизмагосподствовала теория дальнодействия, т.е. считалось, что заряды действуют друг на друга без посредников, и изменение положения или величины одного из зарядов мгновенно приводит кизменению силового воздействия данного заряда на другие.Только в начале XIX века Фарадеем была высказана гипотеза о том, что действие одного тела на другое может осуществляться либо непосредственным соприкосновением, либо передаваться через промежуточную среду.

В случае электрическоговзаимодействия такой промежуточной средой является электрическое поле.Пусть заряд q создает электрическое поле. Поместим малыйпробный заряд qпр в какую−либо точку этого поля, заданную радиус−вектором r. Согласно закону Кулона (1.2) на заряд qпр будетдействовать сила6r⎛ 1 q r⎞F = qпр ⎜⎜r ⎟⎟34rπε⎝⎠0rr Fне зависит от свойств пробного зарядаМы видим, что E =qпр(даже от его знака), т.е. может являться характеристикой поля,создаваемого зарядом q.

Эта величина называется напряженностью электрического поля.Напряженость электрического поля равна силе, действующей на единичный положительный заряд, находящийся вданной точке поля.r1 q rДля точечного заряда в вакууме E =r.4πε 0 r 31.2.2.Принцип суперпозицииЕсли электрическое поле создается N точечными зарядами,то, согласно (1.1), сила, действующая на пробный заряд со стороны всех N зарядов, будет равна векторной сумме сил, действующих со стороны каждого заряда по отдельности. Следовательно, напряженность результирующего электрического полябудет равнаr N r(1.3)E = ∑ Ei ,i =1т.е. для напряженностей, также как и для сил, выполняется принцип суперпозиции.Напряженность электрического поля системы зарядовравна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности.1.2.3.Графическое изображение полейДля графического изображения электрических полей используются силовые линии.Силовая линия (линия напряженности) − линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает с напрвлением вектора Е (рис.1.2).7Густота силовых линий таЕ1кова, что количество линий, пеЕ2ресекающих площадку единичной площади, ориентированнуюперпендикулярно линиям чисЕ3ленно равна модулю напряженности электрического поля.Рис.1.2Силовые динии электростатического поля начинаютсяна положительных зарядах, заканчиваются на отрицателныхзарядах или уходят в бесконечность.Математическое отступление 1Поток векторного поляЕсли имеется поле некоторого вектора А, то потоком векторного поля через элементарную поверхность dS называетсяdФA=(A,dS),где под dS понимается ndS, т.е.произведение вектора единичАной нормали к поверхности наАn nплощадь поверхности.НормальопределяетсяαdSнеоднозначно.

Для замкнутойповерхности можно ввести поРис.1.2ложительную нормаль (направление наружу).dФA=(A,dS)=AndS=AdScosα.Поток сквозь замкнутую поверхностьr rФА = ∫∫ АdS = ∫∫ Аn dS .(S)S1.3. Теорема Гаусса1.3.1. Теорема Гаусса в интегральной формеНайдем поток ФЕ сквозь замкнутую поверхность, внутрикоторой заключен единственный точечный заряд q.а). Поверхность S − сфера радиуса r, центр которой совпадает с точечным зарядом.В силу симметрии на поверхности сферы E=const и ориентация векторов E и n совпадает, тогда8qq2π=.4rε04πε 0 r 2SSSб).

S − произвольная выпуклая замкнутая поверхность.Поток dФЕ через малую площадку dS равен1 qdФЕ = Еn dS = EdS cos α =dS cos α ,4πε 0 r 2где α−угол между векторами Еdи n, dSn-=dScosα−проекцияЕdSnплощадки dS на поверхность,αперпендикулярную r (рис1.3).nНо dSn=r2dΩ, где dΩ − телесrный угол, опирающийся на dS.dΩТогда1dФЕ =qdΩ ,4πε 0Рис.1.3qтаким образом,qq.Ω=ФЕ = ∫∫ dФЕ =d∫ε04πε 0Sв). S − произвольная поверхность (рис.1.4).Каждая из площадокdS3 dS1, dS2 и dS3 вносит в общийпоток одинаковый по величиdΩне вклад, т.к.

им соответствует один и тот же телесныйугол dΩ, но знак этого вкладаразный (два с “+” и один сdS1dS2“−”). Следовательно, общийвклад будет таким же, как иqдля поверхности без складок,т.е. таким же, как и в случаеб)Рис.1.4q(1.4)ФЕ =ФЕ = ∫∫ Еn dS = ∫∫ ЕdS = Е ∫∫ dS = Е 4πr 2 =1ε0г).

Заряд q лежит вне замкнутой поверхности S (рис.1.5).9В этом случае прямая, исходящая из заряда q либо совсемне пересекает замкнутую поверхность S, либо пересекает ее четное число раз, т.е. вклады в общий поток площадок dS1 и dS2компенсируется. Поэтому полный поток ФЕ равен нулю.Допустим теперь, что поле ЕdS2является суперпозицией полей Е1,Е2, … точечных зарядов q1, q2, …Согласно принципу суперпозицииdS1(1.3) суммарное поле Е=∑Еi. Умножая это соотношение скалярно наdS и проинтегрировав получимФ=∑ФI, а для каждого из потоков qРис.1.5Фi выполняется либо (1.4), либо (если заряд qi находится снаружи поверхности S) он равен нулю.Следовательно, получается следующее фундаментальное соотношение1(1.5)ЕdS=∑ qi ,∫∫ nSε0называемое электростатической теоремой Гаусса.Поток вектора напряженности электрического полясквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0.1.3.2. Теорема Гаусса в дифференциальной форме.

ФормулаПуассонаСоотношение (1.5) связывает значение напряженности электрического поля в точках некоторой замкнутой поверхности свеличиной заряда, находящегося внутри данной поверхности, т.е.связывает величины, относящиеся к разным точкам электрического поля. Это неудобство можно устранить.Несложно доказать,что если в некоторой точке с координатами x, y, z объемная плотность заряда ρ(x,y,z), то напряженностьэлектрического поля в этой же точке может быть найдена из соотношения10r 1∂E x ∂E y ∂E z 1++= ρ ( x , y , z ) или, divE = ρ ( x , y , z )ε0∂x∂y∂z ε 0где введено обозначениеr ∂E ∂E ∂EdivE = x + y + z .∂x∂y∂zСоотношение (1.6) называется формулой Пуассона.(1.6)1.4.

Применение теоремы ГауссаВведем следующие обозначения:Δq dqσ = lim=−поверхностнаяплотностьзаряда,ΔS →∞ ΔSdSΔq−заряд на элементе поверхности ΔS;Δq dqλ = lim=− линейная плотность заряда, Δq−заряд наΔl →∞ Δldlлинейном участке длиной Δl;Δq dqρ = lim=− объемная плотность заряда, Δq−заряд,ΔV →∞ ΔVdVзаключенный внутри объема ΔV.С учетом определения ρ теорему Гаусса можно сформулировать в следующем виде1(1.7)ЕdS=∫∫ n∫∫∫ ρdVSε0Vа).